Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Эллипс: определение, свойства, построение

Эллипс: определение, свойства, построение


Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек [math]F_1[/math], и [math]F_2[/math] есть величина постоянная [math](2a)[/math], бо́льшая расстояния [math](2c)[/math] между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.


Фокальное свойство эллипса


Точки [math]F_1[/math], и [math]F_2[/math] называются фокусами эллипса, расстояние между ними [math]2c=F_1F_2[/math] — фокусным расстоянием, середина [math]O[/math] отрезка [math]F_1F_2[/math] — центром эллипса, число [math]2a[/math] — длиной большой оси эллипса (соответственно, число [math]a[/math] — большой полуосью эллипса). Отрезки [math]F_1M[/math] и [math]F_2M[/math], соединяющие произвольную точку [math]M[/math] эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки [math]M[/math]. Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.


Отношение [math]e=\frac{c}{a}[/math] называется эксцентриситетом эллипса. Из определения [math](2a>2c)[/math] следует, что [math]0\leqslant e<1[/math]. При [math]e=0[/math], т.е. при [math]c=0[/math], фокусы [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math], а также центр [math]O[/math] совпадают, и эллипс является окружностью радиуса [math]a[/math] (рис.3.36,6).


Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.[/math]
(3.49)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр [math]O[/math] эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки [math]F_1[/math] к точке [math]F_2[/math]); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат [math]Oxy[/math] оказалась правой).


Эллипс и его фокальные свойства, эксцентриситет эллипса

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов [math]F_1(-c,0),~F_2(c,0)[/math]. Для произвольной точки [math]M(x,y)[/math], принадлежащей эллипсу, имеем:


[math]\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.[/math]

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:


[math]\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.[/math]

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:


[math](x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.[/math]

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:


[math]a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).[/math]

Обозначив [math]b=\sqrt{a^2-c^2}>0[/math], получаем [math]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/math]. Разделив обе части на [math]a^2b^2\ne0[/math], приходим к каноническому уравнению эллипса:


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.[/math]

Следовательно, выбранная система координат является канонической.


Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку [math]a=b[/math]. В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке [math]O\equiv F_1\equiv F_2[/math], a уравнение [math]x^2+y^2=a^2[/math] является уравнением окружности с центром в точке [math]O[/math] и радиусом, равным [math]a[/math].


Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.




Директориальное свойство эллипса


Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии [math]\frac{a^2}{c}[/math] от нее. При [math]c=0[/math], когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).


Эллипс с эксцентриситетом [math]0<e<1[/math] можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки [math]F[/math] (фокуса) к расстоянию до заданной прямой [math]d[/math] (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету [math]e[/math] (директориальное свойство эллипса). Здесь [math]F[/math] и [math]d[/math] — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. [math]F_1,d_1[/math] или [math]F_2,d_2[/math].


В самом деле, например, для фокуса [math]F_2[/math] и директрисы [math]d_2[/math] (рис.3.37,6) условие [math]\frac{r_2}{\rho_2}=e[/math] можно записать в координатной форме:


[math]\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\cdot\!\left(\frac{a^2}{c}-x\right)[/math]

Избавляясь от иррациональности и заменяя [math]e=\frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2[/math], приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса [math]F_1[/math] и директрисы [math]d_1\colon\frac{r_1}{\rho_1}=e[/math].


Эллипс и его директориальное свойство, эксцентриситет эллипса



Уравнение эллипса в полярной системе координат


Построение кривой эллипса по точкам в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат [math]F_1r\varphi[/math] (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид


[math]r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}[/math]

где [math]p=\frac{b^2}{a}[/math] фокальный параметр эллипса.


В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус [math]F_1[/math] эллипса, а в качестве полярной оси — луч [math]F_1F_2[/math] (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки [math]M(r,\varphi)[/math], согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем [math]r+MF_2=2a[/math]. Выражаем расстояние между точками [math]M(r,\varphi)[/math] и [math]F_2(2c,0)[/math] (см. пункт 2 замечаний 2.8):


[math]\begin{aligned}F_2M&=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0)}=\\[3pt] &=\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.\end{aligned}[/math]

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса [math]F_1M+F_2M=2a[/math] имеет вид


[math]r+\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}=2\cdot a.[/math]

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:


[math]r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac{c}{a}\cdot\cos\varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.[/math]

Выражаем полярный радиус [math]r[/math] и делаем замену [math]e=\frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=\frac{b^2}{a}[/math]:


[math]r=\frac{a^2-c^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},[/math]

что и требовалось доказать.




Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса


Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение [math]y=0[/math], находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): [math]x=\pm a[/math]. Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна [math]2a[/math]. Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число [math]a[/math] — большой полуосью эллипса. Подставляя [math]x=0[/math], получаем [math]y=\pm b[/math]. Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна [math]2b[/math]. Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число [math]b[/math] — малой полуосью эллипса.


Действительно, [math]b=\sqrt{a^2-c^2}\leqslant\sqrt{a^2}=a[/math], причем равенство [math]b=a[/math] получается только в случае [math]c=0[/math], когда эллипс является окружностью. Отношение [math]k=\frac{b}{a}\leqslant1[/math] называется коэффициентом сжатия эллипса.




Замечания 3.9


1. Прямые [math]x=\pm a,~y=\pm b[/math] ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).


2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.


Действительно, пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] уравнение окружности имеет вид [math]x^2+y^2=a^2[/math]. При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом [math]0<k\leqslant1[/math] координаты произвольной точки [math]M(x,y)[/math], принадлежащей окружности, изменяются по закону


[math]\begin{cases}x'=x,\\y'=k\cdot y.\end{cases}[/math]

Подставляя в уравнение окружности [math]x=x'[/math] и [math]y=\frac{1}{k}y'[/math], получаем уравнение для координат образа [math]M'(x',y')[/math] точки [math]M(x,y)[/math]:


[math](x')^2+{\left(\frac{1}{k}\cdot y'\right)\!}^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=1,[/math]

поскольку [math]b=k\cdot a[/math]. Это каноническое уравнение эллипса.


3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.


Действительно, если точка [math]M(x,y)[/math] принадлежит эллипсу [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. то и точки [math]M'(x,-y)[/math] и [math]M''(-x,y)[/math], симметричные точке [math]M[/math] относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.


4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат [math]r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}[/math] (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ([math]r=p[/math] при [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math]).


Эксцентриситет, коэффициент сжатия и фокусы эллипса

5. Эксцентриситет [math]e[/math] характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше [math]e[/math], тем эллипс более вытянут, а чем ближе [math]e[/math] к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что [math]e=\frac{c}{a}[/math] и [math]c^2=a^2-b^2[/math], получаем


[math]e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{\left(\frac{a}{b}\right)\!}^2=1-k^2,[/math]

где [math]k[/math] — коэффициент сжатия эллипса, [math]0<k\leqslant1[/math]. Следовательно, [math]e=\sqrt{1-k^2}[/math]. Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия [math]k[/math] и больше эксцентриситет. Для окружности [math]k=1[/math] и [math]e=0[/math].


6. Уравнение [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] при [math]a<b[/math] определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси [math]Oy[/math] (рис.3.38,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).


7. Уравнение [math]\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~a\geqslant b[/math] определяет эллипс с центром в точке [math]O'(x_0,y_0)[/math], оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).


При [math]a=b=R[/math] уравнение [math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/math] описывает окружность радиуса [math]R[/math] с центром в точке [math]O'(x_0,y_0)[/math].




Параметрическое уравнение эллипса


Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид


[math]\begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.[/math]

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству [math]\cos^2t+\sin^2t=1[/math].




Пример построения эллипса в канонической системе координат

Пример 3.20. Изобразить эллипс [math]\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1[/math] в канонической системе координат [math]Oxy[/math]. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.


Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: [math]a=2[/math] — большая полуось, [math]b=1[/math] — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами [math]2a=4,~2b=2[/math] с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя [math]x=1[/math] в уравнение эллипса, получаем


[math]\frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.[/math]

Следовательно, точки с координатами [math]\left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/math] — принадлежат эллипсу.


Вычисляем коэффициент сжатия [math]k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}[/math]; фокусное расстояние [math]2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}[/math]; эксцентриситет [math]e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]; фокальный параметр [math]p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}[/math]. Составляем уравнения директрис: [math]x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved