Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Элементарные функции комплексного переменного
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Элементарные функции комплексного переменного Содержание 1. Показательная функция 2. Тригонометрические и гиперболические функции 3. Комплексный логарифм 4. Логарифмическая функция 5. Обратные тригонометрические и гиперболические функции Показательная функция комплексного переменного В действительной области показательная функция $e^x$ вводится обычно в связи с обобщением понятия степени $a^n$ . В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при $z=x$ ее свойства совпадали с известными свойствами функции $e^x$ . Одно из важнейших свойств функции $e^x$ — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}}$ . Учитывая это, рассматриваем ряд $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}}$ и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом $z$ , т.е. во всей комплексной плоскости $\mathbb{C}$ определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при $z=x$ имеем $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x}$ , то вводим следующее определение: показательной функцией $e^x$ в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\colon}$ $e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},\quad z\in \mathbb{C}.$ (2.3) Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при $z=ix$ , где $x$ — действительное число, имеем $\textstyle{e^{ix}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{i^nx^n}{n!}}$ . Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+ i\cdot \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$ Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций $\cos x$ и $\sin x$ . В результате имеем равенство $e^{ix}= \cos x+i\sin x$ , или, обозначив $x$ через $\varphi\colon$ $e^{i\varphi}= \cos\varphi+ i\sin\varphi.$ (2.4) Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме. Функция $e^z$ обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для $e^x$ . С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет. К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения: $e^{z_1+z_2}= e^{z_1}\cdot e^{z_2}.$ (2.5) Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых $z_1$ и $z_2$ равенства $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!},$ которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см. пример 1.44). Если в равенстве (2.5) положить $z_2=2k\pi i,~ z_1=z$ — любое комплексное число, то, учитывая тождество $e^{2k\pi i}= \cos2k\pi+i\sin2k\pi=1$ , можно записать $e^{z+2k\pi i}= e^z\cdot e^{2k\pi i}= e^z\cdot 1$ . Это равенство, справедливое при любых значениях $z$ , означает, что функция $e^z$ является периодической и ее период — чисто мнимое число $T=2\pi i$ . Аналога этому свойству в действительной области нет, функция $e^x$ — непериодическая. Так же, как и в действительной области, показательная функция $e^z$ не обращается в нуль ни при каком значении аргумента. Действительно, если предположить противное, что существует $z_1$ , при котором $e^{z_1}=0$ , то из тождества $e^z=e^{z_1+z-z_1}= e^{z_1}\cdot e^{z-z_1}$ , где $z$ — любое комплексное число, получили бы, $e^z=0$ при любом $z$ , что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция $e^z$ . В отличие от $e^x$ значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ . Вообще $e^z$ может принимать любые значения в $\mathbb{C}$ , за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (2.5) положить $z_1=x,~ z_2=iy$ и сравнить равенство $e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$ с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном z , т.е. при фиксированных $x$ и $y$ , модуль числа $e^z$ равен $e^x~(r=e^x)$ , а аргумент равен $y~(\varphi=y)$ , т.е. $\|e^z\|= e^x=e^{\operatorname{Re}z},\quad \arg e^z=y=\operatorname{Im}z\,.$ (2.6) Отсюда получаем, что $e^z$ может принимать любые значения $(e^z\ne0)$ , так как $\arg e^z=y$ — любое число. Пример 2.13. Найти $\operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z,~ \arg z$ для чисел: а) $e^{2-i}$ ; б) $-e^{-2+i}$ . Решение а) Находим модуль числа $r=\|e^{2-i}\|=e^2$ и аргумент $\varphi=\arg e^{2-i}=-1$ . После этого можно записать $\operatorname{Re}z=x=r\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z=y=r\sin\varphi$ , то есть $\operatorname{Re}z=e^2\cos1,\quad \operatorname{Im}z=-e^2\sin1$ . Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4): $z=e^{2-i}=e^2\cdot e^{-i}= e^2 \bigl[\cos(-1)+i\sin(-1)\bigr]= e^2(\cos1-i\sin1).$ Полому $\operatorname{Re}z=e^2\cos1,~ \operatorname{Im}z=-e^2\sin1$ , а из показательной формы записи числа $e^2\cdot e^{-i}$ находим $\|z\|=r=e^2,~ \arg z=\varphi=-1$ . б) Представим число в виде произведения $z=-1\cdot e^{-2+i}$ , а множитель $(-1)$ в показательной форме: $-1=e^{\pi i}$ . Тогда $z=-1\cdot e^{-2+i}= e^{\pi i}\cdot e^{-2+i}= e^{-2+i(\pi+1)}= e^{-2}\cdot e^{i(\pi+1)}.$ Поэтому имеем $\|z\|=e^{-2},~ \arg z=\pi+1$ , или $\arg z=-\pi+1$ , так как для данного значения аргумента имеет место ограничение $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ . После этого записываем $\operatorname{Re}z=e^{-2}\cos(\pi+1)=-e^{-2}\cos1,\quad \operatorname{Im}z=e^{-2}\sin(\pi+1)=-e^2\sin1.$ . Пример 2.14. Найти $\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)$ , если $f(z)=e^{z^2}$ . Решение Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим $e^{z^2}= e^{(x+iy)^2}= e^{x^2-y^2+i2xy}= e^{x^2-y^2}\cdot e^{i2xy}$ , то есть $\|e^{z^2}\|= e^{x^2-y^2},~~ \arg e^{z^2}=2xy$ . Поэтому $\operatorname{Re}e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\cos2xy,~ \operatorname{Im} e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\sin2xy$ . Пример 2.15. Показать, что функция $e^{iz}$ является периодической и ее период — действительное число. Решение Нужно показать, что существует число $T\in \mathbb{C}$ такое, что $e^{i(z+T)}=e^{iz}$ для любого $z$ . Но из формулы (2.5) имеем $e^{i(z+T)}= e^{iz}\cdot e^{iT}$ , поэтому число $T$ должно быть таким, чтобы выполнялось равенство $e^{iT}=1$ , а это верно при $T=2\pi$ . Следовательно, период функции $e^{iz}$ — действительное число $T=2\pi$ . Пример 2.16. Доказать, что функция $w=e^z$ является неоднолистной на множестве $\mathbb{C}$ . Найти область однолистности. Решение Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для $z_1=2\pi i$ и $z_2=4\pi i$ получается $e^{z_1}=e^{z_2}=1$ . Чтобы определить область однолистности, запишем разность $w_1-w_2=e^{z_1}-e^{z_2}$ или $w_1-w_2=e^{z_1}(1-e^{z_2-z_1})$ . Значения функции совпадают для тех $z_1$ и $z_2$ , для которых выполняется равенство $e^{z_2-z_1}=1$ , то есть $z_2-z_1=2k\pi i,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ . Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины $2\pi,~ a<\operatorname{Im}z<a+2\pi$ , в частности полосе $\pi<\operatorname{Im}z <\pi$ или $0<\operatorname{Im}z<2\pi$ (рис. 2.9). Любая прямая $z=x+ic~(y=\text{const}=c)$ , параллельная действительной оси отображается в луч $\arg w=c$ , так как из $w=e^{z}= e^{x}\cdot e^{ic}$ получаем $\|w\|=e^x>0,~ \arg w=c$ . В частности, действительная ось $\operatorname{Im}z=0$ , то есть $z=x$ , переходит в луч $\arg w=0$ — действительную положительную полуось, а прямая $\operatorname{Im}z= 2\pi$ , то есть $z=x+i\cdot2\pi$ , — в луч $\arg w=2\pi$ , геометрически это — та же действительная полуось Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой $\operatorname{Im}z=0$ будут соответствовать точки нижнего "берега" оси $\operatorname{Im}w=0$ , а точкам прямой $\operatorname{Im}z=2\pi$ точки верхнего "берега". Такой же результат получим и для следующей полосы $2\pi<\operatorname{Im}z <4\pi$ . Она отображается также в плоскость с разрезом $[0;+\infty)$ . Вообще любая полоса $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ с помощью функции $w=e^z$ переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси. Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции $w=e^z$ по такому же принципу как сделано для $w=z^2$ . Полученный результат (см. решение примера 2.16) запишем в виде утверждения: функция $w=e^z$ взаимно однозначно отображает: 1) любую полосу $a<\operatorname{Im}z<a+2\pi$ — в плоскость с разрезом по лучу $\arg w=a$ ; 2) полосу $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z< (2k+1)\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси; 3) полосу $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси. Тригонометрические и гиперболические комплексные функции Функции $\sin z,~\cos z,~\operatorname{sh}z,~ \operatorname{ch}z$ вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов: $\sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},$ (2.7) $\operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \operatorname{ch}z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.$ (2.8) На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические: $\begin{array}{ll}\operatorname{tg} z= \dfrac{\sin z}{\cos z},~ \cos z\ne0;&\qquad \operatorname{ctg}z= \dfrac{\cos z}{\sin z},~ \sin z\ne0;\\[10pt] \operatorname{th}z= \dfrac{\operatorname{sh}z}{\operatorname{ch}z},~ \operatorname{ch}z\ne0,&\qquad \operatorname{cth}z= \dfrac{\operatorname{ch}z}{\operatorname{sh}z},~ \operatorname{sh}z\ne0. \end{array}$ Из определений следует, что функции $\cos z,~ \operatorname{ch}z$ являются четными, а остальные — нечетными. Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции $e^z$ , получаем следующие формулы, справедливые при любом $z\colon$ $e^{iz}=\cos z+i\sin z\,,$ (2.9) $e^z=\operatorname{ch}z+\operatorname{sh}z\,.$ (2.10) Формулы (2.9) и (2.10) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (2.9) при $z=x~(z=\varphi)$ , где $x$ — действительная переменная, рассмотрена выше (см. формулу (2.4)). Так как формулы (2.9) и (2.10) верны при любых значениях $z$ , то, заменяя $z$ на $(-z)$ и учитывая, что $\sin z$ и $\operatorname{sh}z$ — нечетные, a $\cos z$ и $\operatorname{ch}z$ — четные функции, можем записать $e^{-iz}=\cos z-i\sin z\,,\qquad e^{-z}=\operatorname{ch}z-\operatorname{sh}z\,.$ Комбинируя эти формулы с (2.9) и (2.10), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную: $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\,,\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\,,$ (2.11) $\operatorname{sh}z= \frac{e^z-e^{-z}}{2}\,,\qquad \operatorname{ch}z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}\,.$ (2.12) Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (2.7),(2.8), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами. Так, с помощью (2.11) и (2.12) устанавливается справедливость таких формул сложения, как $\begin{gathered}\sin(z_1+z_2)= \sin z_1\cdot \cos z_2+\sin z_2\cdot \cos z_1,\\[5pt] \operatorname{ch}(z_1+z_2)= \operatorname{ch}z_1\cdot \operatorname{sh}z_2+ \operatorname{sh}z_2\cdot \operatorname{ch}z_1,\end{gathered}$ и других формул, в частности формул тригонометрии. Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через $e^z$ , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (2.11) и (2.12): $\begin{array}{ll}\cos iz=\operatorname{ch}z\,,&\qquad \operatorname{ch}iz= \cos z\,,\\[5pt] \sin iz= i\operatorname{sh}z\,,&\qquad \operatorname{sh}iz= i\sin z\,.\end{array}$ (2.13) Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как $\operatorname{ch}^2z-\operatorname{sh}^2z=1,\qquad \operatorname{ch}^2z+ \operatorname{sh}^2z= \operatorname{ch}2z\,.$ Как и в действительной области, тригонометрические функции $\sin z$ и $\cos z$ являются периодическими и их период равен $2\pi$ . Это следует из формул (2.11) (см. пример 2.15). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции $e^z$ , — мнимое число $T=2\pi i$ (это следует из рассмотрения равенств (2.12)). Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций $\sin z$ и $\cos z$ . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа $\cos i$ по формуле (2.11) имеем: $\cos i=\frac{e^1+e^{-1}}{2}>1$ . Можно показать и в общем виде, что для любого числа $M>0$ найдется такое число $\delta(M)$ , что для всех $z$ , удовлетворяющих условию $\|z\|>\delta(M)$ , выполняется неравенство $\|\cos z\|>M,~ \|\sin z\|>M$ . Для доказательства следует использовать формулы (2.11). Пример 2.17. Найти $\|z\|$ и $\arg z$ для чисел: а) $z=\sin2i$ ; б) $z=i\sin^2\frac{1}{i}$ . Решение а) Используем формулу (2.13): $\sin2i=i \operatorname{sh}2$ , поэтому $\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z= \operatorname{sh}2$ , а так как $\operatorname{sh}2= \frac{e^2-e^{-2}}{2}>0$ , то $\operatorname{Im}z>0$ и, следовательно, $\|z\|=\operatorname{sh}2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ . б) Учитывая равенство $\frac{1}{i}=-i$ , используем, как и выше, формулу (2.13): $i\sin^2 \frac{1}{i}= i\sin^2(-i)= i\sin^2i= i(i \operatorname{sh}1)^2=-i \operatorname{sh}^21\,.$ Поэтому $\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z=-\operatorname{sh}^21<0$ и, следовательно, $\|z\|= \operatorname{sh}^21,~ \arg z=-\frac{\pi}{2}$ . Пример 2.18. Найти $\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)$ , если a) $f(z)=\sin z$ ; б) $f(z)= \operatorname{ch}z$ . Решение Для решения используем формулу сложения, обозначая $z=x+iy$ , а также формулу (2.13). а) Решим первый пример: $f(z)=\sin z= \sin(x+iy)= \sin x\cos iy+ \sin iy\cos x= \sin x \operatorname{ch}y+ i\operatorname{sh}y \cos x\,,$ поэтому $\operatorname{Re}f(z)=\sin x \operatorname{ch}y,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}y\cos x$ . б) Решим второй пример: $f(z)=\operatorname{ch}z= \cos iz= \cos[i(x+iy)]= \cos(ix-y)= \cos ix\cos y+\sin ix\sin y= \cos y \operatorname{ch}x+i \operatorname{sh}x\sin y\,,$ поэтому $\operatorname{Re}f(z)=\cos y \operatorname{ch}x,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}x\sin y$ . Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции: $\operatorname{ch}z= \operatorname{ch}(x+iy)= \operatorname{ch}x \operatorname{ch} iy+ \operatorname{sh}x \sin iy= \cos y \operatorname{ch}x+ i\operatorname{sh}x\sin y\,.$ Пример 2.19. Найти модуль и аргумент числа $f(i)$ , если a) $f(z)=\operatorname{tg}z$ ; 6) $f(z)=(1-i)\operatorname{cth}z^2$ . Решение а) Используем определение функции $\operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z}$ и формулу (2.13): $f(i)= \operatorname{tg}i= \frac{\sin i}{\cos i}= \frac{i\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}=i\operatorname{th}1;\quad \operatorname{Re}f(i)=0,~ \operatorname{Im}f(i)= \operatorname{th}1= \frac{\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}= \frac{e^1-e^{-1}}{e^1+e^{-1}}>0,$ поэтому $\|f(i)\|= \operatorname{th}1= \frac{e^2-1}{e^2+1},~~ \arg f(i)=\frac{\pi}{2}$ . б) Представим число $f(i)=(1-i)\operatorname{cth}i^2$ в виде произведения двух чисел: $f(i)=z_1\cdot z_2,\quad z_1=1-i,\quad z_2=\operatorname{cth}(-1)$ и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа $z_1=1-i$ имеем $\|z_1\|=\sqrt{2},~ \arg z_1=-\frac{\pi}{4}$ . Число $z_2$ является действительным, причем отрицательным, так как $\operatorname{cth}(-1)= \frac{\operatorname{ch}(-1)}{\operatorname{sh}(-1)}=-\frac{\operatorname{ch}1}{\operatorname{sh}1}= \frac{e^1+e^{-1}}{e^{-1}-e^1}<0.$ Поэтому $\|z_2\|= \operatorname{cth}1= \frac{e^2+1}{e^2-1},~~ \arg z_2=\pi$ . Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем $\|f(i)\|= \|z_1\|\cdot \|z_2\|= \sqrt{2} \operatorname{cth}1,\qquad \arg f(i)= \arg z_1+ \arg z_2= \frac{3\pi}{4}\,.$ Пример 2.20. Найти мнимую часть числа $\operatorname{ch}a$ , где $a$ — тот корень уравнения $z^4+4=0$ , который расположен в третьей четверти. Решение Корнями уравнения $z^4+4=0$ , или $z^4=-4$ , являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа: $z=\sqrt[\LARGE{4}]{-4},\quad z_k=\sqrt{2}\exp \frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3.$ Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять $k=2$ . Искомым корнем будет число $a=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi i}{4}$ , или в алгебраической форме $a=\sqrt{2}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-(1+i)$ . Вычислим теперь $\operatorname{ch}(-1-i)$ или, что то же, $\operatorname{ch}(1+i)$ . Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13): $\operatorname{ch}(1+i)= \operatorname{ch}1\cdot \operatorname{ch} i+\operatorname{sh}1\cdot \operatorname{sh} i= \operatorname{ch}1\cdot\cos1+ i\operatorname{sh}1\cdot \sin1\,.$ Получаем ответ: $\operatorname{Im}\operatorname{ch}a= \operatorname{sh}1\cdot \sin1$ . Комплексный логарифм Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа. Логарифмом комплексного числа $z\ne0$ называется число $A$ такое, что справедливо равенство $e^z=A$ ; обозначается $A=\ln z$ . Таким образом, $\ln z=A\Leftrightarrow e^A=z,~z\ne0$ . Для нахождения логарифма числа $z$ , т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа $A~(A=\ln z)$ , запишем число $z$ в показательной форме, и число $A$ будем искать в алгебраической форме: $A=u+iv$ . Тогда равенство $e^{u+iv}=r\,e^{i\varphi}$ или $e^{u}\cdot e^{iv}= r\,e^{i\varphi}$ есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим $u$ и ${v}$ , а именно $e^u=r$ , то есть $u=\ln r~(r>0);$ $v=\varphi+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ . Для искомого числа $A$ получаем выражение: $A=\ln z= \ln r+i(\varphi+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}$ , где $r=\|z\|,~ \varphi=\arg z$ . Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа $z$ ; обозначается $\operatorname{Ln}z\colon$ $\operatorname{Ln}z= \ln\|z\|+i(\varphi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.$ (2.14) Для каждого фиксированного значения $k\in\mathbb{Z}$ получаем определенное число — значение логарифма числа $z$ ; при $k=0$ оно называется главным значением логарифма: $\ln z=\ln\|z\|+i\arg z,\quad-\pi<\arg z\leqslant\pi.$ (2.15) Пример 2.21. Найти $\ln z$ — главные значения и $\operatorname{Ln}z$ для следующих чисел: а) $z=1$ ; б) $z=1+i$ ; в) $z=2-i$ . Решение а) Находим модуль и аргумент числа $z=1\colon\, \|z\|=1,~ \arg z=0$ . По формулам (2.14) и (2.15) получаем: $\ln1=0,\qquad \operatorname{Ln}1=2k\pi i,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ б) Для числа $z=1+i$ находим модуль и аргумент: $\|z\|=\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}$ . Поэтому имеем результат: $\ln(1+i)= \ln\sqrt{2}+i\,\frac{\pi}{4};\qquad \operatorname{Ln}(1+i)= \ln\sqrt{2}+ i \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ в) Находим модуль и аргумент числа $z=2-i\colon\, \|z\|=\sqrt{5},~ \arg z= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)$ . Получаем ответ: $\ln(2-i)= \ln\sqrt{5}+ i \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!,\qquad \operatorname{Ln}(2-i)= \ln\sqrt{5}+i \left(\operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)+ 2k\pi \right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$ Пример 2.22. Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа $\ln2i$ . Решение Находим модуль и аргумент числа $2i\colon\, \|z\|=2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ . По формуле (2.14) получаем $\ln2i= \ln2+i\,\frac{\pi}{2}$ . Поэтому: $\operatorname{Re}(\ln2i)= \ln2,\quad \operatorname{Im}(\ln2i)=\frac{\pi}{2},\quad \|\ln2i\|= \sqrt{\ln^22+\frac{\pi^2}{4}}= \frac{1}{2}\sqrt{\ln^24+\pi^2}.$ Точка $a=\ln2i$ расположена в первой четверти, так как $\operatorname{Re}a>0$ и $\operatorname{Im}a>0$ . Поэтому $\arg(\ln2i)= \operatorname{arctg}\frac{\pi}{2\ln2}= \operatorname{arctg} \frac{\pi}{\ln4}.$ Замечание 2.4. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем $z^{\alpha}$ и показательную функцию с любым комплексным основанием $a^z$ . При $\alpha=n$ и $\alpha=\frac{1}{n}$ , где $n$ — натуральное число, степени $z^n$ и $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ рассмотрены выше; при $\alpha=k$ и $\alpha=\frac{1}{k}$ , где $k$ — целое число $(k\ne0)$ , определение к также очевидно. В общем случае при любом комплексном $\alpha$ степень определяется формулой $z^{\alpha}=e^{\alpha \operatorname{Ln}z},\quad z\ne0.$ (2.16) Аналогично вводится функция $a^z$ с любым комплексным основанием $a\ne0$ $a^z=e^{z \operatorname{Ln}a}.$ (2.17) В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу $z~(z\ne0)$ соответствует бесконечное множество значений степени $z^{\alpha}$ , определяемой по формуле (2.16), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (2.17) при $a\ne0$ . Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов. Пример 2.23. Показать, что выражение $i^i$ принимает только действительные значения. Решение Используя определение для $a^z$ , запишем выражение $i^i$ в виде $i^i=e^{i\operatorname{Ln}i}$ . Найдем значения для $\operatorname{Ln}i\colon$ $\operatorname{Ln}i= \ln1+ i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ , то есть $\operatorname{Ln}i= i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}$ . Поэтому $i^i= e^{i\cdot i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}= e^{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ — действительное число при любом целом $k$ . Пример 2.24. Найти $\ln a$ , где $a$ — корень уравнения $z^6+8=0$ , удовлетворяющий условию $\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi$ . Решение Корнями уравнения $z^6+8=0$ являются числа $z_k= \sqrt[\LARGE{6}]{6}\cdot \exp \left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\cdot i\right)\!,\quad k=0,1,2,3,4,5.$ Условию $\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi$ удовлетворяет корень $z_2=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi\,i}{6}$ . Для найденного числа $z_2=a$ имеем $\|a\|=\sqrt{2},~ \arg a=\frac{5\pi}{6}$ . Поэтому получаем ответ: $\ln a=\ln\sqrt{2}+\frac{5\pi}{6}\cdot i$ Замечание 2.5. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида $e^z+a=0$ . Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения $\operatorname{Ln}(-a)$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-a)$ . Пример 2.25. Решить уравнения: a) $e^z-2=0$ ; б) $e^z+2=0$ ; в) $e^z+2i=0$ . Решение а) Из равенства $e^z=2$ по определению логарифма получаем $z=\operatorname{Ln}2$ . Далее, учитывая равенства $\|2\|=2,~ \arg2=0$ , по формуле (2.14) находим $z=\operatorname{Ln}2= \ln2+i(2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}$ . Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии $2\pi$ друг от друга на прямой $\operatorname{Re}z=\ln2$ , параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число $z_0=\ln2$ — точка на оси $Ox$ . б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения $\operatorname{Ln}(-2)$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-2)= \ln2+ i(\pi+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}$ . в) Из равенства $e^z=-2i$ получаем $z=\operatorname{Ln}(-2i)$ . Находим модуль и аргумент числа $(-2i)\colon\, r=2,~\varphi=-\frac{\pi}{2}$ . Множество решений уравнения описывается равенством $z= \operatorname{Ln}(-2i)= \ln2+ i \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$ В случаях "б" и "в" уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях $k$ среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой $\operatorname{Re}z=\ln2$ , что и в случае "а", на расстоянии $2\pi$ друг от друга; начальными значениями (при $k=0$ ) для них являются $z_0=\ln2+i\pi$ и $z_0^{\ast}=\ln2-i\,\frac{\pi}{2}$ . Решения уравнений "б" и "в" изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные). Пример 2.26. Найти $z$ из уравнения $\operatorname{ch}z=-2i$ . Решение Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения $e^{z}+e^{-z}=-4i$ . Получим квадратное уравнение относительно функции $e^z\colon\, e^{2z}+4i\,e^z+1=0$ , корнями которого являются числа $(-2\pm\sqrt{5})i$ . Далее нужно найти значения выражений $\operatorname{Ln}(-2\pm\sqrt{5})i$ . Для этого используем формулу (2.14): $\begin{aligned}\operatorname{Ln}(-2+\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}; \operatorname{Ln}(-2-\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}$ Получили два множества решений исходного уравнения: $z_k=\ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$ Геометрически — это точки, лежащие на прямых $\operatorname{Re}z= \ln(\sqrt{5}-2)= \ln \frac{1}{\sqrt{5}+2}=-\ln(\sqrt{5}+2),\qquad \operatorname{Re}z=\ln(\sqrt{5}+2),$ параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны $2\pi$ ; начальные значения (при $k=0$ ): $z_0= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\,\frac{\pi}{2}$ или $z_0=-\ln(\sqrt{5}+2)+ i\,\frac{\pi}{2}$ и $z_0^{\ast}= \ln(\sqrt{5}+2)- i\,\frac{\pi}{2}$ (рис. 2.11). Логарифмическая функция комплексного переменного Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения $e^w=z,~ w=\operatorname{Ln}z$ , значения функции при любом $z\ne0$ определяются по формуле (2.14). Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос: $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z<2k\pi,~k\in \mathbb{Z}$ , или $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ . В плоскости с разрезом по лучу $[0;+\infty)$ возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}$ , в частности функция $\ln z$ — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу $0< \operatorname{Im}z<2\pi$ (см. рис. 2.9). В плоскости с разрезом $(-\infty;0]$ также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ , в частности функция $\ln z$ — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу $-\pi<\operatorname{Im}z<\pi$ . Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области. Пример 2.27. Найти решение уравнения $e^z+2i=0$ при условии $\ln(-1)=3\pi i$ . Решение Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной отрицательной оси, то рассматриваем плоскость с разрезом по $[0;+\infty)$ , где главное значение аргумента определяется неравенством $0<\arg z<2\pi$ . Из дополнительного условия определяем значение $k$ , соответствующее выбранной ветви $\operatorname{Arg}z$ , а следовательно и $\operatorname{Ln}z\colon\, \ln(-1)= (\pi+2k\pi)i= 3\pi i,~ k=1$ . Находим решение уравнения $e^z+2i=0,~ z=\operatorname{Ln}(-2i)\colon\, z_k=\ln2+ i\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$ . При $k=1$ получаем ответ: $z=\ln2+ i\, \frac{7\pi}{2}$ . Обратные тригонометрические и гиперболические комплексные функции Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области. Например, обратным тригонометрическим синусом числа $z$ называется число $w$ такое, что выполняется равенство $\sin w=z$ . Отображение обозначается, как и в действительной области, $w=\arcsin z$ . Аналогично определяются и другие тригонометрические функции комплексного аргумента: $\arccos z,\quad \operatorname{arctg}z,\quad \operatorname{arcctg}z,\quad \operatorname{arsh}z,\quad \operatorname{arch}z,\quad \operatorname{arth}z,\quad \operatorname{arcth}z.$ Из определений могут быть получены формулы для нахождения числа $w$ по заданному числу $z$ . Рассмотрим эту задачу на примере нахождения $w=\arcsin z$ . По определению имеем $z=\sin w$ . Заменим $\sin w$ по формуле Эйлера (2.11), и из соотношения $z=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$ или $e^{2iw}-2iz\,e^{iw}-1=0$ , т.е. квадратного уравнения относительно $e^{iw}$ , находим $e^{iw}\colon\, e^{iw}= iz+\sqrt{(iz)^2+1}$ . Перед радикалом записан только знак плюс, так как в комплексной области $\sqrt{a}$ — двузначное выражение. Далее, используя определение логарифма, находим $iw= \operatorname{Ln}\bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr),\qquad w= \frac{1}{i} \operatorname{Ln} \bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr).$ Для каждого числа $z$ получаем бесконечное множество значений для $w$ в силу двузначности $\sqrt{1-z^2}$ и бесконечной значности логарифма. Все это множество значений $w$ обозначается $\operatorname{Arcsin}z$ . Окончательный результат: $\operatorname{Arcsin}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(iz+ \sqrt{1-z^2}\bigr).$ (2.18) Формулы, аналогичные (2.18), могут быть получены и для других функций: $\begin{gathered}\operatorname{Arccos}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arctg}z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz};\quad \operatorname{Arcctg}z= \frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{z-i}{z+i};\\[5pt] \operatorname{Arsh}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{1+z^2}\bigr);\quad \operatorname{Arch}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z};\quad \operatorname{Arcth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{z+1}{z-1}. \end{gathered}$ Все эти формулы, как и (2.18), дают бесконечнозначные выражения — определяют многозначные функции. Выделяя однозначную ветвь выражения $\operatorname{Ln}A$ , можно получить однозначные функции в каждом случае. Большого практического значения эти формулы, как и (2.18), не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций можно использовать их определения и формулы связи тригонометрических и гиперболических функций с показательной функцией (формулы Эйлера (2.11)-(2.12)), т.е. применять метод, с помощью которого выведена формула (2.18). Этим методом решен пример 2.26, где найдено значение $\operatorname{Arch}(-2i)$ . Замечание 2.6. Рассмотрим уравнения, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Простейшими из них являются уравнения: $\begin{array}{llll}\sin z=a,&\quad \cos z=a,&\quad \operatorname{tg}z=a,&\quad \operatorname{ctg}z,\\[5pt] \operatorname{sh}z=a,&\quad \operatorname{ch}z,&\quad \operatorname{th}z=a,&\quad \operatorname{cth}z=a.\end{array}$ Решение их, согласно определению, сводится к нахождению обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Пример 2.28. Решить уравнение $\sin z=2$ . Решение Множество решений уравнения определяется выражением $z=\operatorname{Arcsin}2$ , или с помощью формулы (2.18): $z=-i \operatorname{Ln}\bigl(2i+\sqrt{1-4}\bigr)$ . Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде $a=2i+i\sqrt{3}$ и $b=2i-i\sqrt{3}$ . Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм: а) для числа $a=(2+\sqrt{3})i$ имеем $\|a\|=2+\sqrt{3},~ \arg a=\frac{\pi}{2}$ , поэтому $\operatorname{Ln}a= \operatorname{Ln}(2+\sqrt{3})i= \ln(2+\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z};$ б) для числа $b=(2-\sqrt{3})i$ имеем $\|b\|=2-\sqrt{3},~ \arg b=\frac{\pi}{2}$ , поэтому $\operatorname{Ln}b= \operatorname{Ln}(2-\sqrt{3})i= \ln(2-\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$ Получаем два множества решений уравнения: $z_k=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)- i\ln(2+\sqrt{3}),\qquad z_k^{\ast}= \left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)- i\ln(2-\sqrt{3})$ Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии $2\pi$ друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12): $\operatorname{Im}z= \ln(2-\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2+\sqrt{3}}=-\ln(2+\sqrt{3})$ и $\operatorname{Im}z= \ln(2+\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2-\sqrt{3}}=-\ln(2-\sqrt{3})$ , Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении $k$ среди чисел $z_k$ нет действительных. Это соответствует известному свойству функции $\sin x$ в действительной области $\|\sin x\|\leqslant1$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Элементарные функции комплексного переменного

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Элементарные функции комплексного переменного

Показательная функция комплексного переменного

В действительной области показательная функция $e^x$ вводится обычно в связи с обобщением понятия степени $a^n$ . В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при $z=x$ ее свойства совпадали с известными свойствами функции $e^x$ . Одно из важнейших свойств функции $e^x$ — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}}$ .

Учитывая это, рассматриваем ряд $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}}$ и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом $z$ , т.е. во всей комплексной плоскости $\mathbb{C}$ определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при $z=x$ имеем $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x}$ , то вводим следующее определение: показательной функцией $e^x$ в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\colon}$

$e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},\quad z\in \mathbb{C}.$

(2.3)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при $z=ix$ , где $x$ — действительное число, имеем $\textstyle{e^{ix}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{i^nx^n}{n!}}$ . Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+ i\cdot \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций $\cos x$ и $\sin x$ . В результате имеем равенство $e^{ix}= \cos x+i\sin x$ , или, обозначив $x$ через $\varphi\colon$

$e^{i\varphi}= \cos\varphi+ i\sin\varphi.$

(2.4)

Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.

Функция $e^z$ обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для $e^x$ .

С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.

К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:

$e^{z_1+z_2}= e^{z_1}\cdot e^{z_2}.$

(2.5)

Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых $z_1$ и $z_2$ равенства

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!},$

которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см. пример 1.44).

Если в равенстве (2.5) положить $z_2=2k\pi i,~ z_1=z$ — любое комплексное число, то, учитывая тождество $e^{2k\pi i}= \cos2k\pi+i\sin2k\pi=1$ , можно записать $e^{z+2k\pi i}= e^z\cdot e^{2k\pi i}= e^z\cdot 1$ . Это равенство, справедливое при любых значениях $z$ , означает, что функция $e^z$ является периодической и ее период — чисто мнимое число $T=2\pi i$ . Аналога этому свойству в действительной области нет, функция $e^x$ — непериодическая.

Так же, как и в действительной области, показательная функция $e^z$ не обращается в нуль ни при каком значении аргумента. Действительно, если предположить противное, что существует $z_1$ , при котором $e^{z_1}=0$ , то из тождества $e^z=e^{z_1+z-z_1}= e^{z_1}\cdot e^{z-z_1}$ , где $z$ — любое комплексное число, получили бы, $e^z=0$ при любом $z$ , что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция $e^z$ . В отличие от $e^x$ значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ . Вообще $e^z$ может принимать любые значения в $\mathbb{C}$ , за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (2.5) положить $z_1=x,~ z_2=iy$ и сравнить равенство $e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$ с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном z , т.е. при фиксированных $x$ и $y$ , модуль числа $e^z$ равен $e^x~(r=e^x)$ , а аргумент равен $y~(\varphi=y)$ , т.е.

$|e^z|= e^x=e^{\operatorname{Re}z},\quad \arg e^z=y=\operatorname{Im}z\,.$

(2.6)

Отсюда получаем, что $e^z$ может принимать любые значения $(e^z\ne0)$ , так как $\arg e^z=y$ — любое число.

Пример 2.13. Найти $\operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z,~ \arg z$ для чисел: а) $e^{2-i}$ ; б) $-e^{-2+i}$ .

Решение

а) Находим модуль числа $r=|e^{2-i}|=e^2$ и аргумент $\varphi=\arg e^{2-i}=-1$ . После этого можно записать

$\operatorname{Re}z=x=r\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z=y=r\sin\varphi$ , то есть $\operatorname{Re}z=e^2\cos1,\quad \operatorname{Im}z=-e^2\sin1$ .

Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4):

$z=e^{2-i}=e^2\cdot e^{-i}= e^2 \bigl[\cos(-1)+i\sin(-1)\bigr]= e^2(\cos1-i\sin1).$

Полому $\operatorname{Re}z=e^2\cos1,~ \operatorname{Im}z=-e^2\sin1$ , а из показательной формы записи числа $e^2\cdot e^{-i}$ находим $|z|=r=e^2,~ \arg z=\varphi=-1$ .

б) Представим число в виде произведения $z=-1\cdot e^{-2+i}$ , а множитель $(-1)$ в показательной форме: $-1=e^{\pi i}$ . Тогда

$z=-1\cdot e^{-2+i}= e^{\pi i}\cdot e^{-2+i}= e^{-2+i(\pi+1)}= e^{-2}\cdot e^{i(\pi+1)}.$

Поэтому имеем $|z|=e^{-2},~ \arg z=\pi+1$ , или $\arg z=-\pi+1$ , так как для
данного значения аргумента имеет место ограничение $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ . После этого записываем

$\operatorname{Re}z=e^{-2}\cos(\pi+1)=-e^{-2}\cos1,\quad \operatorname{Im}z=e^{-2}\sin(\pi+1)=-e^2\sin1.$

Пример 2.14. Найти $\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)$ , если $f(z)=e^{z^2}$ .

Решение

Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим

$e^{z^2}= e^{(x+iy)^2}= e^{x^2-y^2+i2xy}= e^{x^2-y^2}\cdot e^{i2xy}$ , то есть $|e^{z^2}|= e^{x^2-y^2},~~ \arg e^{z^2}=2xy$ .

Поэтому $\operatorname{Re}e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\cos2xy,~ \operatorname{Im} e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\sin2xy$ .

Пример 2.15. Показать, что функция $e^{iz}$ является периодической и ее период — действительное число.

Решение

Нужно показать, что существует число $T\in \mathbb{C}$ такое, что $e^{i(z+T)}=e^{iz}$ для любого $z$ . Но из формулы (2.5) имеем $e^{i(z+T)}= e^{iz}\cdot e^{iT}$ , поэтому число $T$ должно быть таким, чтобы выполнялось равенство $e^{iT}=1$ , а это верно при $T=2\pi$ . Следовательно, период функции $e^{iz}$ — действительное число $T=2\pi$ .

Пример 2.16. Доказать, что функция $w=e^z$ является неоднолистной на множестве $\mathbb{C}$ . Найти область однолистности.

Решение

Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для $z_1=2\pi i$ и $z_2=4\pi i$ получается $e^{z_1}=e^{z_2}=1$ .

Чтобы определить область однолистности, запишем разность

$w_1-w_2=e^{z_1}-e^{z_2}$ или $w_1-w_2=e^{z_1}(1-e^{z_2-z_1})$ .

Значения функции совпадают для тех $z_1$ и $z_2$ , для которых выполняется равенство $e^{z_2-z_1}=1$ , то есть $z_2-z_1=2k\pi i,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины $2\pi,~ a<\operatorname{Im}z<a+2\pi$ , в частности полосе $\pi<\operatorname{Im}z <\pi$ или $0<\operatorname{Im}z<2\pi$ (рис. 2.9).

Любая прямая $z=x+ic~(y=\text{const}=c)$ , параллельная действительной оси отображается в луч $\arg w=c$ , так как из $w=e^{z}= e^{x}\cdot e^{ic}$ получаем $|w|=e^x>0,~ \arg w=c$ . В частности, действительная ось $\operatorname{Im}z=0$ , то есть $z=x$ , переходит в луч $\arg w=0$ — действительную положительную полуось, а прямая $\operatorname{Im}z= 2\pi$ , то есть $z=x+i\cdot2\pi$ , — в луч $\arg w=2\pi$ , геометрически это — та же действительная полуось

Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой $\operatorname{Im}z=0$ будут соответствовать точки нижнего "берега" оси $\operatorname{Im}w=0$ , а точкам прямой $\operatorname{Im}z=2\pi$ точки верхнего "берега".

Такой же результат получим и для следующей полосы $2\pi<\operatorname{Im}z <4\pi$ . Она отображается также в плоскость с разрезом $[0;+\infty)$ .

Вообще любая полоса $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ с помощью функции $w=e^z$ переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции $w=e^z$ по такому же принципу как сделано для $w=z^2$ .

Полученный результат (см. решение примера 2.16) запишем в виде утверждения: функция $w=e^z$ взаимно однозначно отображает:

1) любую полосу $a<\operatorname{Im}z<a+2\pi$ — в плоскость с разрезом по лучу $\arg w=a$ ;
2) полосу $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z< (2k+1)\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси;
3) полосу $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}$ во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции $\sin z,~\cos z,~\operatorname{sh}z,~ \operatorname{ch}z$ вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:

$\sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},$

(2.7)

$\operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \operatorname{ch}z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.$

(2.8)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические:

$\begin{array}{ll}\operatorname{tg} z= \dfrac{\sin z}{\cos z},~ \cos z\ne0;&\qquad \operatorname{ctg}z= \dfrac{\cos z}{\sin z},~ \sin z\ne0;\\[10pt] \operatorname{th}z= \dfrac{\operatorname{sh}z}{\operatorname{ch}z},~ \operatorname{ch}z\ne0,&\qquad \operatorname{cth}z= \dfrac{\operatorname{ch}z}{\operatorname{sh}z},~ \operatorname{sh}z\ne0. \end{array}$

Из определений следует, что функции $\cos z,~ \operatorname{ch}z$ являются четными, а остальные — нечетными.

Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции $e^z$ , получаем следующие формулы, справедливые при любом $z\colon$

$e^{iz}=\cos z+i\sin z\,,$

(2.9)

$e^z=\operatorname{ch}z+\operatorname{sh}z\,.$

(2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (2.9) при $z=x~(z=\varphi)$ , где $x$ — действительная переменная, рассмотрена выше (см. формулу (2.4)).

Так как формулы (2.9) и (2.10) верны при любых значениях $z$ , то, заменяя $z$ на $(-z)$ и учитывая, что $\sin z$ и $\operatorname{sh}z$ — нечетные, a $\cos z$ и $\operatorname{ch}z$ — четные функции, можем записать

$e^{-iz}=\cos z-i\sin z\,,\qquad e^{-z}=\operatorname{ch}z-\operatorname{sh}z\,.$

Комбинируя эти формулы с (2.9) и (2.10), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\,,\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\,,$

(2.11)

$\operatorname{sh}z= \frac{e^z-e^{-z}}{2}\,,\qquad \operatorname{ch}z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}\,.$

(2.12)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (2.7),(2.8), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.

Так, с помощью (2.11) и (2.12) устанавливается справедливость таких формул сложения, как

$\begin{gathered}\sin(z_1+z_2)= \sin z_1\cdot \cos z_2+\sin z_2\cdot \cos z_1,\\[5pt] \operatorname{ch}(z_1+z_2)= \operatorname{ch}z_1\cdot \operatorname{sh}z_2+ \operatorname{sh}z_2\cdot \operatorname{ch}z_1,\end{gathered}$

и других формул, в частности формул тригонометрии.

Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через $e^z$ , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (2.11) и (2.12):

$\begin{array}{ll}\cos iz=\operatorname{ch}z\,,&\qquad \operatorname{ch}iz= \cos z\,,\\[5pt] \sin iz= i\operatorname{sh}z\,,&\qquad \operatorname{sh}iz= i\sin z\,.\end{array}$

(2.13)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как

$\operatorname{ch}^2z-\operatorname{sh}^2z=1,\qquad \operatorname{ch}^2z+ \operatorname{sh}^2z= \operatorname{ch}2z\,.$

Как и в действительной области, тригонометрические функции $\sin z$ и $\cos z$ являются периодическими и их период равен $2\pi$ . Это следует из формул (2.11) (см. пример 2.15). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции $e^z$ , — мнимое число $T=2\pi i$ (это следует из рассмотрения равенств (2.12)).

Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций $\sin z$ и $\cos z$ . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа $\cos i$ по формуле (2.11) имеем: $\cos i=\frac{e^1+e^{-1}}{2}>1$ .

Пример 2.17. Найти $|z|$ и $\arg z$ для чисел: а) $z=\sin2i$ ; б) $z=i\sin^2\frac{1}{i}$ .

Решение

а) Используем формулу (2.13): $\sin2i=i \operatorname{sh}2$ , поэтому $\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z= \operatorname{sh}2$ , а так как $\operatorname{sh}2= \frac{e^2-e^{-2}}{2}>0$ , то $\operatorname{Im}z>0$ и, следовательно, $|z|=\operatorname{sh}2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ .

б) Учитывая равенство $\frac{1}{i}=-i$ , используем, как и выше, формулу (2.13):

$i\sin^2 \frac{1}{i}= i\sin^2(-i)= i\sin^2i= i(i \operatorname{sh}1)^2=-i \operatorname{sh}^21\,.$

Поэтому $\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z=-\operatorname{sh}^21<0$ и, следовательно, $|z|= \operatorname{sh}^21,~ \arg z=-\frac{\pi}{2}$ .

Пример 2.18. Найти $\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)$ , если a) $f(z)=\sin z$ ; б) $f(z)= \operatorname{ch}z$ .

Решение

Для решения используем формулу сложения, обозначая $z=x+iy$ , а также формулу (2.13).

а) Решим первый пример:

$f(z)=\sin z= \sin(x+iy)= \sin x\cos iy+ \sin iy\cos x= \sin x \operatorname{ch}y+ i\operatorname{sh}y \cos x\,,$

поэтому $\operatorname{Re}f(z)=\sin x \operatorname{ch}y,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}y\cos x$ .

б) Решим второй пример:

$f(z)=\operatorname{ch}z= \cos iz= \cos[i(x+iy)]= \cos(ix-y)= \cos ix\cos y+\sin ix\sin y= \cos y \operatorname{ch}x+i \operatorname{sh}x\sin y\,,$

поэтому $\operatorname{Re}f(z)=\cos y \operatorname{ch}x,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}x\sin y$ .

Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции:

$\operatorname{ch}z= \operatorname{ch}(x+iy)= \operatorname{ch}x \operatorname{ch} iy+ \operatorname{sh}x \sin iy= \cos y \operatorname{ch}x+ i\operatorname{sh}x\sin y\,.$

Пример 2.19. Найти модуль и аргумент числа $f(i)$ , если a) $f(z)=\operatorname{tg}z$ ; 6) $f(z)=(1-i)\operatorname{cth}z^2$ .

Решение

а) Используем определение функции $\operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z}$ и формулу (2.13):

$f(i)= \operatorname{tg}i= \frac{\sin i}{\cos i}= \frac{i\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}=i\operatorname{th}1;\quad \operatorname{Re}f(i)=0,~ \operatorname{Im}f(i)= \operatorname{th}1= \frac{\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}= \frac{e^1-e^{-1}}{e^1+e^{-1}}>0,$

поэтому $|f(i)|= \operatorname{th}1= \frac{e^2-1}{e^2+1},~~ \arg f(i)=\frac{\pi}{2}$ .

б) Представим число $f(i)=(1-i)\operatorname{cth}i^2$ в виде произведения двух чисел:

$f(i)=z_1\cdot z_2,\quad z_1=1-i,\quad z_2=\operatorname{cth}(-1)$

и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа $z_1=1-i$ имеем $|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=-\frac{\pi}{4}$ . Число $z_2$ является действительным, причем отрицательным, так как

$\operatorname{cth}(-1)= \frac{\operatorname{ch}(-1)}{\operatorname{sh}(-1)}=-\frac{\operatorname{ch}1}{\operatorname{sh}1}= \frac{e^1+e^{-1}}{e^{-1}-e^1}<0.$

Поэтому $|z_2|= \operatorname{cth}1= \frac{e^2+1}{e^2-1},~~ \arg z_2=\pi$ . Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем

$|f(i)|= |z_1|\cdot |z_2|= \sqrt{2} \operatorname{cth}1,\qquad \arg f(i)= \arg z_1+ \arg z_2= \frac{3\pi}{4}\,.$

Пример 2.20. Найти мнимую часть числа $\operatorname{ch}a$ , где $a$ — тот корень уравнения $z^4+4=0$ , который расположен в третьей четверти.

Решение

Корнями уравнения $z^4+4=0$ , или $z^4=-4$ , являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа:

$z=\sqrt[\LARGE{4}]{-4},\quad z_k=\sqrt{2}\exp \frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3.$

Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять $k=2$ . Искомым корнем будет число $a=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi i}{4}$ , или в алгебраической форме $a=\sqrt{2}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-(1+i)$ .

Вычислим теперь $\operatorname{ch}(-1-i)$ или, что то же, $\operatorname{ch}(1+i)$ . Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13):

$\operatorname{ch}(1+i)= \operatorname{ch}1\cdot \operatorname{ch} i+\operatorname{sh}1\cdot \operatorname{sh} i= \operatorname{ch}1\cdot\cos1+ i\operatorname{sh}1\cdot \sin1\,.$

Получаем ответ: $\operatorname{Im}\operatorname{ch}a= \operatorname{sh}1\cdot \sin1$ .

Комплексный логарифм

Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа.

Логарифмом комплексного числа $z\ne0$ называется число $A$ такое, что справедливо равенство $e^z=A$ ; обозначается $A=\ln z$ . Таким образом, $\ln z=A\Leftrightarrow e^A=z,~z\ne0$ .

Для нахождения логарифма числа $z$ , т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа $A~(A=\ln z)$ , запишем число $z$ в показательной форме, и число $A$ будем искать в алгебраической форме: $A=u+iv$ .

Тогда равенство $e^{u+iv}=r\,e^{i\varphi}$ или $e^{u}\cdot e^{iv}= r\,e^{i\varphi}$ есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим $u$ и ${v}$ , а именно $e^u=r$ , то есть $u=\ln r~(r>0);$ $v=\varphi+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ . Для искомого числа $A$ получаем выражение:

$A=\ln z= \ln r+i(\varphi+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}$ , где $r=|z|,~ \varphi=\arg z$ .

Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа $z$ ; обозначается $\operatorname{Ln}z\colon$

$\operatorname{Ln}z= \ln|z|+i(\varphi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.$

(2.14)

Для каждого фиксированного значения $k\in\mathbb{Z}$ получаем определенное число — значение логарифма числа $z$ ; при $k=0$ оно называется главным значением логарифма:

$\ln z=\ln|z|+i\arg z,\quad-\pi<\arg z\leqslant\pi.$

(2.15)

Пример 2.21. Найти $\ln z$ — главные значения и $\operatorname{Ln}z$ для следующих чисел:

а) $z=1$ ; б) $z=1+i$ ; в) $z=2-i$ .

Решение

а) Находим модуль и аргумент числа $z=1\colon\, |z|=1,~ \arg z=0$ . По формулам (2.14) и (2.15) получаем:

$\ln1=0,\qquad \operatorname{Ln}1=2k\pi i,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

б) Для числа $z=1+i$ находим модуль и аргумент: $|z|=\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}$ . Поэтому имеем результат:

$\ln(1+i)= \ln\sqrt{2}+i\,\frac{\pi}{4};\qquad \operatorname{Ln}(1+i)= \ln\sqrt{2}+ i \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

в) Находим модуль и аргумент числа $z=2-i\colon\, |z|=\sqrt{5},~ \arg z= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)$ . Получаем ответ:

$\ln(2-i)= \ln\sqrt{5}+ i \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!,\qquad \operatorname{Ln}(2-i)= \ln\sqrt{5}+i \left(\operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)+ 2k\pi \right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Пример 2.22. Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа $\ln2i$ .

Решение

Находим модуль и аргумент числа $2i\colon\, |z|=2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ . По формуле (2.14) получаем $\ln2i= \ln2+i\,\frac{\pi}{2}$ . Поэтому:

$\operatorname{Re}(\ln2i)= \ln2,\quad \operatorname{Im}(\ln2i)=\frac{\pi}{2},\quad |\ln2i|= \sqrt{\ln^22+\frac{\pi^2}{4}}= \frac{1}{2}\sqrt{\ln^24+\pi^2}.$

Точка $a=\ln2i$ расположена в первой четверти, так как $\operatorname{Re}a>0$ и $\operatorname{Im}a>0$ . Поэтому

$\arg(\ln2i)= \operatorname{arctg}\frac{\pi}{2\ln2}= \operatorname{arctg} \frac{\pi}{\ln4}.$

Замечание 2.4. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем $z^{\alpha}$ и показательную функцию с любым комплексным основанием $a^z$ .

При $\alpha=n$ и $\alpha=\frac{1}{n}$ , где $n$ — натуральное число, степени $z^n$ и $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ рассмотрены выше; при $\alpha=k$ и $\alpha=\frac{1}{k}$ , где $k$ — целое число $(k\ne0)$ , определение к также очевидно.

В общем случае при любом комплексном $\alpha$ степень определяется формулой

$z^{\alpha}=e^{\alpha \operatorname{Ln}z},\quad z\ne0.$

(2.16)

Аналогично вводится функция $a^z$ с любым комплексным основанием $a\ne0$

$a^z=e^{z \operatorname{Ln}a}.$

(2.17)

В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу $z~(z\ne0)$ соответствует бесконечное множество значений степени $z^{\alpha}$ , определяемой по формуле (2.16), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (2.17) при $a\ne0$ . Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов.

Пример 2.23. Показать, что выражение $i^i$ принимает только действительные значения.

Решение

Используя определение для $a^z$ , запишем выражение $i^i$ в виде $i^i=e^{i\operatorname{Ln}i}$ . Найдем значения для $\operatorname{Ln}i\colon$

$\operatorname{Ln}i= \ln1+ i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ , то есть $\operatorname{Ln}i= i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}$ .

Поэтому $i^i= e^{i\cdot i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}= e^{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ — действительное число при любом целом $k$ .

Пример 2.24. Найти $\ln a$ , где $a$ — корень уравнения $z^6+8=0$ , удовлетворяющий условию $\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi$ .

Решение

Корнями уравнения $z^6+8=0$ являются числа

$z_k= \sqrt[\LARGE{6}]{6}\cdot \exp \left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\cdot i\right)\!,\quad k=0,1,2,3,4,5.$

Условию $\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi$ удовлетворяет корень $z_2=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi\,i}{6}$ . Для найденного числа $z_2=a$ имеем $|a|=\sqrt{2},~ \arg a=\frac{5\pi}{6}$ . Поэтому получаем ответ: $\ln a=\ln\sqrt{2}+\frac{5\pi}{6}\cdot i$

Замечание 2.5. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида $e^z+a=0$ . Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения $\operatorname{Ln}(-a)$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-a)$ .

Пример 2.25. Решить уравнения: a) $e^z-2=0$ ; б) $e^z+2=0$ ; в) $e^z+2i=0$ .

Решение

а) Из равенства $e^z=2$ по определению логарифма получаем $z=\operatorname{Ln}2$ . Далее, учитывая равенства $|2|=2,~ \arg2=0$ , по формуле (2.14) находим $z=\operatorname{Ln}2= \ln2+i(2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}$ . Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии $2\pi$ друг от друга на прямой $\operatorname{Re}z=\ln2$ , параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число $z_0=\ln2$ — точка на оси $Ox$ .

б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения $\operatorname{Ln}(-2)$ , то есть $z=\operatorname{Ln}(-2)= \ln2+ i(\pi+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}$ .

в) Из равенства $e^z=-2i$ получаем $z=\operatorname{Ln}(-2i)$ . Находим модуль и аргумент числа $(-2i)\colon\, r=2,~\varphi=-\frac{\pi}{2}$ . Множество решений уравнения описывается равенством

$z= \operatorname{Ln}(-2i)= \ln2+ i \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$

В случаях "б" и "в" уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях $k$ среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой $\operatorname{Re}z=\ln2$ , что и в случае "а", на расстоянии $2\pi$ друг от друга; начальными значениями (при $k=0$ ) для них являются $z_0=\ln2+i\pi$ и $z_0^{\ast}=\ln2-i\,\frac{\pi}{2}$ . Решения уравнений "б" и "в" изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные).

Решения уравнений на комплексной плоскости

Пример 2.26. Найти $z$ из уравнения $\operatorname{ch}z=-2i$ .

Решение

Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения $e^{z}+e^{-z}=-4i$ . Получим квадратное уравнение относительно функции $e^z\colon\, e^{2z}+4i\,e^z+1=0$ , корнями которого являются числа $(-2\pm\sqrt{5})i$ . Далее нужно найти значения выражений $\operatorname{Ln}(-2\pm\sqrt{5})i$ . Для этого используем формулу (2.14):

$\begin{aligned}\operatorname{Ln}(-2+\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}; \operatorname{Ln}(-2-\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}$

Получили два множества решений исходного уравнения:

$z_k=\ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Геометрически — это точки, лежащие на прямых

$\operatorname{Re}z= \ln(\sqrt{5}-2)= \ln \frac{1}{\sqrt{5}+2}=-\ln(\sqrt{5}+2),\qquad \operatorname{Re}z=\ln(\sqrt{5}+2),$

параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны $2\pi$ ; начальные значения (при $k=0$ ):

$z_0= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\,\frac{\pi}{2}$ или $z_0=-\ln(\sqrt{5}+2)+ i\,\frac{\pi}{2}$ и $z_0^{\ast}= \ln(\sqrt{5}+2)- i\,\frac{\pi}{2}$ (рис. 2.11).

Логарифмическая функция комплексного переменного

Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения $e^w=z,~ w=\operatorname{Ln}z$ , значения функции при любом $z\ne0$ определяются по формуле (2.14).

Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос:

$2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z<2k\pi,~k\in \mathbb{Z}$ , или $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ .

В плоскости с разрезом по лучу $[0;+\infty)$ возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос $2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}$ , в частности функция $\ln z$ — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу $0< \operatorname{Im}z<2\pi$ (см. рис. 2.9). В плоскости с разрезом $(-\infty;0]$ также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос $(2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}$ , в частности функция $\ln z$ — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу $-\pi<\operatorname{Im}z<\pi$ . Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области.

Пример 2.27. Найти решение уравнения $e^z+2i=0$ при условии $\ln(-1)=3\pi i$ .

Решение

Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной отрицательной оси, то рассматриваем плоскость с разрезом по $[0;+\infty)$ , где главное значение аргумента определяется неравенством $0<\arg z<2\pi$ . Из дополнительного условия определяем значение $k$ , соответствующее выбранной ветви $\operatorname{Arg}z$ , а следовательно и $\operatorname{Ln}z\colon\, \ln(-1)= (\pi+2k\pi)i= 3\pi i,~ k=1$ .

Находим решение уравнения $e^z+2i=0,~ z=\operatorname{Ln}(-2i)\colon\, z_k=\ln2+ i\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$ . При $k=1$ получаем ответ: $z=\ln2+ i\, \frac{7\pi}{2}$ .

Обратные тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области.

Например, обратным тригонометрическим синусом числа $z$ называется число $w$ такое, что выполняется равенство $\sin w=z$ . Отображение обозначается, как и в действительной области, $w=\arcsin z$ .

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции комплексного аргумента:

$\arccos z,\quad \operatorname{arctg}z,\quad \operatorname{arcctg}z,\quad \operatorname{arsh}z,\quad \operatorname{arch}z,\quad \operatorname{arth}z,\quad \operatorname{arcth}z.$

Из определений могут быть получены формулы для нахождения числа $w$ по заданному числу $z$ .

Рассмотрим эту задачу на примере нахождения $w=\arcsin z$ . По определению имеем $z=\sin w$ . Заменим $\sin w$ по формуле Эйлера (2.11), и из соотношения $z=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$ или $e^{2iw}-2iz\,e^{iw}-1=0$ , т.е. квадратного уравнения относительно $e^{iw}$ , находим $e^{iw}\colon\, e^{iw}= iz+\sqrt{(iz)^2+1}$ . Перед радикалом записан только знак плюс, так как в комплексной области $\sqrt{a}$ — двузначное выражение. Далее, используя определение логарифма, находим

$iw= \operatorname{Ln}\bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr),\qquad w= \frac{1}{i} \operatorname{Ln} \bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr).$

Для каждого числа $z$ получаем бесконечное множество значений для $w$ в силу двузначности $\sqrt{1-z^2}$ и бесконечной значности логарифма. Все это множество значений $w$ обозначается $\operatorname{Arcsin}z$ . Окончательный результат:

$\operatorname{Arcsin}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(iz+ \sqrt{1-z^2}\bigr).$

(2.18)

Формулы, аналогичные (2.18), могут быть получены и для других функций:

$\begin{gathered}\operatorname{Arccos}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arctg}z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz};\quad \operatorname{Arcctg}z= \frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{z-i}{z+i};\\[5pt] \operatorname{Arsh}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{1+z^2}\bigr);\quad \operatorname{Arch}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z};\quad \operatorname{Arcth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{z+1}{z-1}. \end{gathered}$

Все эти формулы, как и (2.18), дают бесконечнозначные выражения — определяют многозначные функции. Выделяя однозначную ветвь выражения $\operatorname{Ln}A$ , можно получить однозначные функции в каждом случае.

Большого практического значения эти формулы, как и (2.18), не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций можно использовать их определения и формулы связи тригонометрических и гиперболических функций с показательной функцией (формулы Эйлера (2.11)-(2.12)), т.е. применять метод, с помощью которого выведена формула (2.18). Этим методом решен пример 2.26, где найдено значение $\operatorname{Arch}(-2i)$ .

Замечание 2.6. Рассмотрим уравнения, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Простейшими из них являются уравнения:

$\begin{array}{llll}\sin z=a,&\quad \cos z=a,&\quad \operatorname{tg}z=a,&\quad \operatorname{ctg}z,\\[5pt] \operatorname{sh}z=a,&\quad \operatorname{ch}z,&\quad \operatorname{th}z=a,&\quad \operatorname{cth}z=a.\end{array}$

Решение их, согласно определению, сводится к нахождению обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.

Пример 2.28. Решить уравнение $\sin z=2$ .

Решение

Множество решений уравнения определяется выражением $z=\operatorname{Arcsin}2$ , или с помощью формулы (2.18): $z=-i \operatorname{Ln}\bigl(2i+\sqrt{1-4}\bigr)$ . Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде $a=2i+i\sqrt{3}$ и $b=2i-i\sqrt{3}$ . Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм:

а) для числа $a=(2+\sqrt{3})i$ имеем $|a|=2+\sqrt{3},~ \arg a=\frac{\pi}{2}$ , поэтому

$\operatorname{Ln}a= \operatorname{Ln}(2+\sqrt{3})i= \ln(2+\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z};$

б) для числа $b=(2-\sqrt{3})i$ имеем $|b|=2-\sqrt{3},~ \arg b=\frac{\pi}{2}$ , поэтому

$\operatorname{Ln}b= \operatorname{Ln}(2-\sqrt{3})i= \ln(2-\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Получаем два множества решений уравнения:

$z_k=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)- i\ln(2+\sqrt{3}),\qquad z_k^{\ast}= \left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)- i\ln(2-\sqrt{3})$

Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии $2\pi$ друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12):

$\operatorname{Im}z= \ln(2-\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2+\sqrt{3}}=-\ln(2+\sqrt{3})$ и $\operatorname{Im}z= \ln(2+\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2-\sqrt{3}}=-\ln(2-\sqrt{3})$ ,

Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении $k$ среди чисел $z_k$ нет действительных. Это соответствует известному свойству функции $\sin x$ в действительной области $|\sin x|\leqslant1$ .

Множество точек на комплексной плоскости

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]