Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Элементарные функции комплексного переменного

Элементарные функции комплексного переменного


Показательная функция комплексного переменного


В действительной области показательная функция [math]e^x[/math] вводится обычно в связи с обобщением понятия степени [math]a^n[/math]. В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при [math]z=x[/math] ее свойства совпадали с известными свойствами функции [math]e^x[/math]. Одно из важнейших свойств функции [math]e^x[/math] — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда [math]\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}}[/math].


Учитывая это, рассматриваем ряд [math]\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}}[/math] и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом [math]z[/math], т.е. во всей комплексной плоскости [math]\mathbb{C}[/math] определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при [math]z=x[/math] имеем [math]\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x}[/math], то вводим следующее определение: показательной функцией [math]e^x[/math] в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда [math]\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\colon}[/math]


[math]e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},\quad z\in \mathbb{C}.[/math]
(2.3)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при [math]z=ix[/math], где [math]x[/math] — действительное число, имеем [math]\textstyle{e^{ix}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{i^nx^n}{n!}}[/math]. Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:


[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+ i\cdot \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}.[/math]

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций [math]\cos x[/math] и [math]\sin x[/math]. В результате имеем равенство [math]e^{ix}= \cos x+i\sin x[/math], или, обозначив [math]x[/math] через [math]\varphi\colon[/math]


[math]e^{i\varphi}= \cos\varphi+ i\sin\varphi.[/math]
(2.4)

Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.


Функция [math]e^z[/math] обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для [math]e^x[/math].


С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.


К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:


[math]e^{z_1+z_2}= e^{z_1}\cdot e^{z_2}.[/math]
(2.5)

Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] равенства


[math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!},[/math]

которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см. пример 1.44).


Если в равенстве (2.5) положить [math]z_2=2k\pi i,~ z_1=z[/math] — любое комплексное число, то, учитывая тождество [math]e^{2k\pi i}= \cos2k\pi+i\sin2k\pi=1[/math], можно записать [math]e^{z+2k\pi i}= e^z\cdot e^{2k\pi i}= e^z\cdot 1[/math]. Это равенство, справедливое при любых значениях [math]z[/math], означает, что функция [math]e^z[/math] является периодической и ее период — чисто мнимое число [math]T=2\pi i[/math]. Аналога этому свойству в действительной области нет, функция [math]e^x[/math] — непериодическая.


Так же, как и в действительной области, показательная функция [math]e^z[/math] не обращается в нуль ни при каком значении аргумента. Действительно, если предположить противное, что существует [math]z_1[/math], при котором [math]e^{z_1}=0[/math], то из тождества [math]e^z=e^{z_1+z-z_1}= e^{z_1}\cdot e^{z-z_1}[/math], где [math]z[/math] — любое комплексное число, получили бы, [math]e^z=0[/math] при любом [math]z[/math], что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция [math]e^z[/math]. В отличие от [math]e^x[/math] значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например [math]e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1[/math]. Вообще [math]e^z[/math] может принимать любые значения в [math]\mathbb{C}[/math], за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (2.5) положить [math]z_1=x,~ z_2=iy[/math] и сравнить равенство [math]e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}[/math] с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном z , т.е. при фиксированных [math]x[/math] и [math]y[/math], модуль числа [math]e^z[/math] равен [math]e^x~(r=e^x)[/math], а аргумент равен [math]y~(\varphi=y)[/math], т.е.


[math]|e^z|= e^x=e^{\operatorname{Re}z},\quad \arg e^z=y=\operatorname{Im}z\,.[/math]
(2.6)

Отсюда получаем, что [math]e^z[/math] может принимать любые значения [math](e^z\ne0)[/math], так как [math]\arg e^z=y[/math] — любое число.


Пример 2.13. Найти [math]\operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z,~ \arg z[/math] для чисел: а) [math]e^{2-i}[/math]; б) [math]-e^{-2+i}[/math].


▼ Решение

а) Находим модуль числа [math]r=|e^{2-i}|=e^2[/math] и аргумент [math]\varphi=\arg e^{2-i}=-1[/math]. После этого можно записать


[math]\operatorname{Re}z=x=r\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z=y=r\sin\varphi[/math], то есть [math]\operatorname{Re}z=e^2\cos1,\quad \operatorname{Im}z=-e^2\sin1[/math].

Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4):


[math]z=e^{2-i}=e^2\cdot e^{-i}= e^2 \bigl[\cos(-1)+i\sin(-1)\bigr]= e^2(\cos1-i\sin1).[/math]

Полому [math]\operatorname{Re}z=e^2\cos1,~ \operatorname{Im}z=-e^2\sin1[/math], а из показательной формы записи числа [math]e^2\cdot e^{-i}[/math] находим [math]|z|=r=e^2,~ \arg z=\varphi=-1[/math].


б) Представим число в виде произведения [math]z=-1\cdot e^{-2+i}[/math], а множитель [math](-1)[/math] в показательной форме: [math]-1=e^{\pi i}[/math]. Тогда


[math]z=-1\cdot e^{-2+i}= e^{\pi i}\cdot e^{-2+i}= e^{-2+i(\pi+1)}= e^{-2}\cdot e^{i(\pi+1)}.[/math]

Поэтому имеем [math]|z|=e^{-2},~ \arg z=\pi+1[/math], или [math]\arg z=-\pi+1[/math], так как для
данного значения аргумента имеет место ограничение [math]-\pi<\arg z\leqslant\pi[/math]. После этого записываем


[math]\operatorname{Re}z=e^{-2}\cos(\pi+1)=-e^{-2}\cos1,\quad \operatorname{Im}z=e^{-2}\sin(\pi+1)=-e^2\sin1.[/math]
.

Пример 2.14. Найти [math]\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)[/math] , если [math]f(z)=e^{z^2}[/math].


▼ Решение

Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим


[math]e^{z^2}= e^{(x+iy)^2}= e^{x^2-y^2+i2xy}= e^{x^2-y^2}\cdot e^{i2xy}[/math], то есть [math]|e^{z^2}|= e^{x^2-y^2},~~ \arg e^{z^2}=2xy[/math].

Поэтому [math]\operatorname{Re}e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\cos2xy,~ \operatorname{Im} e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\sin2xy[/math].


Пример 2.15. Показать, что функция [math]e^{iz}[/math] является периодической и ее период — действительное число.


▼ Решение

Нужно показать, что существует число [math]T\in \mathbb{C}[/math] такое, что [math]e^{i(z+T)}=e^{iz}[/math] для любого [math]z[/math]. Но из формулы (2.5) имеем [math]e^{i(z+T)}= e^{iz}\cdot e^{iT}[/math], поэтому число [math]T[/math] должно быть таким, чтобы выполнялось равенство [math]e^{iT}=1[/math], а это верно при [math]T=2\pi[/math]. Следовательно, период функции [math]e^{iz}[/math] — действительное число [math]T=2\pi[/math].


Пример 2.16. Доказать, что функция [math]w=e^z[/math] является неоднолистной на множестве [math]\mathbb{C}[/math]. Найти область однолистности.


▼ Решение

Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для [math]z_1=2\pi i[/math] и [math]z_2=4\pi i[/math] получается [math]e^{z_1}=e^{z_2}=1[/math].


Чтобы определить область однолистности, запишем разность


[math]w_1-w_2=e^{z_1}-e^{z_2}[/math] или [math]w_1-w_2=e^{z_1}(1-e^{z_2-z_1})[/math].

Значения функции совпадают для тех [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], для которых выполняется равенство [math]e^{z_2-z_1}=1[/math] , то есть [math]z_2-z_1=2k\pi i,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math].


Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины [math]2\pi,~ a<\operatorname{Im}z<a+2\pi[/math], в частности полосе [math]\pi<\operatorname{Im}z <\pi[/math] или [math]0<\operatorname{Im}z<2\pi[/math] (рис. 2.9).


Любая прямая [math]z=x+ic~(y=\text{const}=c)[/math], параллельная действительной оси отображается в луч [math]\arg w=c[/math], так как из [math]w=e^{z}= e^{x}\cdot e^{ic}[/math] получаем [math]|w|=e^x>0,~ \arg w=c[/math]. В частности, действительная ось [math]\operatorname{Im}z=0[/math], то есть [math]z=x[/math], переходит в луч [math]\arg w=0[/math] — действительную положительную полуось, а прямая [math]\operatorname{Im}z= 2\pi[/math], то есть [math]z=x+i\cdot2\pi[/math], — в луч [math]\arg w=2\pi[/math], геометрически это — та же действительная полуось


Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой [math]\operatorname{Im}z=0[/math] будут соответствовать точки нижнего "берега" оси [math]\operatorname{Im}w=0[/math], а точкам прямой [math]\operatorname{Im}z=2\pi[/math] точки верхнего "берега".


Такой же результат получим и для следующей полосы [math]2\pi<\operatorname{Im}z <4\pi[/math]. Она отображается также в плоскость с разрезом [math][0;+\infty)[/math].


Вообще любая полоса [math]2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}[/math] с помощью функции [math]w=e^z[/math] переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.


Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции [math]w=e^z[/math] по такому же принципу как сделано для [math]w=z^2[/math].


Полученный результат (см. решение примера 2.16) запишем в виде утверждения: функция [math]w=e^z[/math] взаимно однозначно отображает:


1) любую полосу [math]a<\operatorname{Im}z<a+2\pi[/math] — в плоскость с разрезом по лучу [math]\arg w=a[/math];
2) полосу [math](2k-1)\pi< \operatorname{Im}z< (2k+1)\pi,~ k\in\mathbb{Z}[/math] в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси;
3) полосу [math]2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z}[/math] во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.



Тригонометрические и гиперболические комплексные функции


Функции [math]\sin z,~\cos z,~\operatorname{sh}z,~ \operatorname{ch}z[/math] вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:


[math]\sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},[/math]
(2.7)

[math]\operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \operatorname{ch}z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.[/math]
(2.8)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические:


[math]\begin{array}{ll}\operatorname{tg} z= \dfrac{\sin z}{\cos z},~ \cos z\ne0;&\qquad \operatorname{ctg}z= \dfrac{\cos z}{\sin z},~ \sin z\ne0;\\[10pt] \operatorname{th}z= \dfrac{\operatorname{sh}z}{\operatorname{ch}z},~ \operatorname{ch}z\ne0,&\qquad \operatorname{cth}z= \dfrac{\operatorname{ch}z}{\operatorname{sh}z},~ \operatorname{sh}z\ne0. \end{array}[/math]

Из определений следует, что функции [math]\cos z,~ \operatorname{ch}z[/math] являются четными, а остальные — нечетными.


Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции [math]e^z[/math], получаем следующие формулы, справедливые при любом [math]z\colon[/math]


[math]e^{iz}=\cos z+i\sin z\,,[/math]
(2.9)

[math]e^z=\operatorname{ch}z+\operatorname{sh}z\,.[/math]
(2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (2.9) при [math]z=x~(z=\varphi)[/math], где [math]x[/math] — действительная переменная, рассмотрена выше (см. формулу (2.4)).


Так как формулы (2.9) и (2.10) верны при любых значениях [math]z[/math], то, заменяя [math]z[/math] на [math](-z)[/math] и учитывая, что [math]\sin z[/math] и [math]\operatorname{sh}z[/math] — нечетные, a [math]\cos z[/math] и [math]\operatorname{ch}z[/math] — четные функции, можем записать


[math]e^{-iz}=\cos z-i\sin z\,,\qquad e^{-z}=\operatorname{ch}z-\operatorname{sh}z\,.[/math]

Комбинируя эти формулы с (2.9) и (2.10), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную:


[math]\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\,,\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\,,[/math]
(2.11)

[math]\operatorname{sh}z= \frac{e^z-e^{-z}}{2}\,,\qquad \operatorname{ch}z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}\,.[/math]
(2.12)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (2.7),(2.8), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.


Так, с помощью (2.11) и (2.12) устанавливается справедливость таких формул сложения, как


[math]\begin{gathered}\sin(z_1+z_2)= \sin z_1\cdot \cos z_2+\sin z_2\cdot \cos z_1,\\[5pt] \operatorname{ch}(z_1+z_2)= \operatorname{ch}z_1\cdot \operatorname{sh}z_2+ \operatorname{sh}z_2\cdot \operatorname{ch}z_1,\end{gathered}[/math]

и других формул, в частности формул тригонометрии.


Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через [math]e^z[/math], они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (2.11) и (2.12):


[math]\begin{array}{ll}\cos iz=\operatorname{ch}z\,,&\qquad \operatorname{ch}iz= \cos z\,,\\[5pt] \sin iz= i\operatorname{sh}z\,,&\qquad \operatorname{sh}iz= i\sin z\,.\end{array}[/math]
(2.13)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как


[math]\operatorname{ch}^2z-\operatorname{sh}^2z=1,\qquad \operatorname{ch}^2z+ \operatorname{sh}^2z= \operatorname{ch}2z\,.[/math]

Как и в действительной области, тригонометрические функции [math]\sin z[/math] и [math]\cos z[/math] являются периодическими и их период равен [math]2\pi[/math]. Это следует из формул (2.11) (см. пример 2.15). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции [math]e^z[/math], — мнимое число [math]T=2\pi i[/math] (это следует из рассмотрения равенств (2.12)).


Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций [math]\sin z[/math] и [math]\cos z[/math]. Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа [math]\cos i[/math] по формуле (2.11) имеем: [math]\cos i=\frac{e^1+e^{-1}}{2}>1[/math].


Можно показать и в общем виде, что для любого числа [math]M>0[/math] найдется такое число [math]\delta(M)[/math], что для всех [math]z[/math], удовлетворяющих условию [math]|z|>\delta(M)[/math], выполняется неравенство [math]|\cos z|>M,~ |\sin z|>M[/math]. Для доказательства следует использовать формулы (2.11).


Пример 2.17. Найти [math]|z|[/math] и [math]\arg z[/math] для чисел: а) [math]z=\sin2i[/math]; б) [math]z=i\sin^2\frac{1}{i}[/math].


▼ Решение

а) Используем формулу (2.13): [math]\sin2i=i \operatorname{sh}2[/math], поэтому [math]\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z= \operatorname{sh}2[/math], а так как [math]\operatorname{sh}2= \frac{e^2-e^{-2}}{2}>0[/math], то [math]\operatorname{Im}z>0[/math] и, следовательно, [math]|z|=\operatorname{sh}2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}[/math].


б) Учитывая равенство [math]\frac{1}{i}=-i[/math], используем, как и выше, формулу (2.13):


[math]i\sin^2 \frac{1}{i}= i\sin^2(-i)= i\sin^2i= i(i \operatorname{sh}1)^2=-i \operatorname{sh}^21\,.[/math]

Поэтому [math]\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z=-\operatorname{sh}^21<0[/math] и, следовательно, [math]|z|= \operatorname{sh}^21,~ \arg z=-\frac{\pi}{2}[/math].


Пример 2.18. Найти [math]\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)[/math], если a) [math]f(z)=\sin z[/math]; б) [math]f(z)= \operatorname{ch}z[/math].


▼ Решение

Для решения используем формулу сложения, обозначая [math]z=x+iy[/math], а также формулу (2.13).


а) Решим первый пример:


[math]f(z)=\sin z= \sin(x+iy)= \sin x\cos iy+ \sin iy\cos x= \sin x \operatorname{ch}y+ i\operatorname{sh}y \cos x\,,[/math]

поэтому [math]\operatorname{Re}f(z)=\sin x \operatorname{ch}y,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}y\cos x[/math].


б) Решим второй пример:


[math]f(z)=\operatorname{ch}z= \cos iz= \cos[i(x+iy)]= \cos(ix-y)= \cos ix\cos y+\sin ix\sin y= \cos y \operatorname{ch}x+i \operatorname{sh}x\sin y\,,[/math]

поэтому [math]\operatorname{Re}f(z)=\cos y \operatorname{ch}x,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}x\sin y[/math].


Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции:


[math]\operatorname{ch}z= \operatorname{ch}(x+iy)= \operatorname{ch}x \operatorname{ch} iy+ \operatorname{sh}x \sin iy= \cos y \operatorname{ch}x+ i\operatorname{sh}x\sin y\,.[/math]

Пример 2.19. Найти модуль и аргумент числа [math]f(i)[/math], если a) [math]f(z)=\operatorname{tg}z[/math]; 6) [math]f(z)=(1-i)\operatorname{cth}z^2[/math].


▼ Решение

а) Используем определение функции [math]\operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z}[/math] и формулу (2.13):


[math]f(i)= \operatorname{tg}i= \frac{\sin i}{\cos i}= \frac{i\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}=i\operatorname{th}1;\quad \operatorname{Re}f(i)=0,~ \operatorname{Im}f(i)= \operatorname{th}1= \frac{\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}= \frac{e^1-e^{-1}}{e^1+e^{-1}}>0,[/math]

поэтому [math]|f(i)|= \operatorname{th}1= \frac{e^2-1}{e^2+1},~~ \arg f(i)=\frac{\pi}{2}[/math].


б) Представим число [math]f(i)=(1-i)\operatorname{cth}i^2[/math] в виде произведения двух чисел:


[math]f(i)=z_1\cdot z_2,\quad z_1=1-i,\quad z_2=\operatorname{cth}(-1)[/math]

и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа [math]z_1=1-i[/math] имеем [math]|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=-\frac{\pi}{4}[/math]. Число [math]z_2[/math] является действительным, причем отрицательным, так как


[math]\operatorname{cth}(-1)= \frac{\operatorname{ch}(-1)}{\operatorname{sh}(-1)}=-\frac{\operatorname{ch}1}{\operatorname{sh}1}= \frac{e^1+e^{-1}}{e^{-1}-e^1}<0.[/math]

Поэтому [math]|z_2|= \operatorname{cth}1= \frac{e^2+1}{e^2-1},~~ \arg z_2=\pi[/math]. Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем


[math]|f(i)|= |z_1|\cdot |z_2|= \sqrt{2} \operatorname{cth}1,\qquad \arg f(i)= \arg z_1+ \arg z_2= \frac{3\pi}{4}\,.[/math]

Пример 2.20. Найти мнимую часть числа [math]\operatorname{ch}a[/math], где [math]a[/math] — тот корень уравнения [math]z^4+4=0[/math], который расположен в третьей четверти.


▼ Решение

Корнями уравнения [math]z^4+4=0[/math], или [math]z^4=-4[/math], являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа:


[math]z=\sqrt[4]{-4},\quad z_k=\sqrt{2}\exp \frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3.[/math]

Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять [math]k=2[/math]. Искомым корнем будет число [math]a=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi i}{4}[/math], или в алгебраической форме [math]a=\sqrt{2}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-(1+i)[/math].


Вычислим теперь [math]\operatorname{ch}(-1-i)[/math] или, что то же, [math]\operatorname{ch}(1+i)[/math]. Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13):


[math]\operatorname{ch}(1+i)= \operatorname{ch}1\cdot \operatorname{ch} i+\operatorname{sh}1\cdot \operatorname{sh} i= \operatorname{ch}1\cdot\cos1+ i\operatorname{sh}1\cdot \sin1\,.[/math]

Получаем ответ: [math]\operatorname{Im}\operatorname{ch}a= \operatorname{sh}1\cdot \sin1[/math].




Комплексный логарифм


Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа.


Логарифмом комплексного числа [math]z\ne0[/math] называется число [math]A[/math] такое, что справедливо равенство [math]e^z=A[/math]; обозначается [math]A=\ln z[/math]. Таким образом, [math]\ln z=A\Leftrightarrow e^A=z,~z\ne0[/math].


Для нахождения логарифма числа [math]z[/math], т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа [math]A~(A=\ln z)[/math], запишем число [math]z[/math] в показательной форме, и число [math]A[/math] будем искать в алгебраической форме: [math]A=u+iv[/math].


Тогда равенство [math]e^{u+iv}=r\,e^{i\varphi}[/math] или [math]e^{u}\cdot e^{iv}= r\,e^{i\varphi}[/math] есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим [math]u[/math] и [math]{v}[/math], а именно [math]e^u=r[/math], то есть [math]u=\ln r~(r>0);[/math] [math]v=\varphi+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z}[/math]. Для искомого числа [math]A[/math] получаем выражение:


[math]A=\ln z= \ln r+i(\varphi+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}[/math], где [math]r=|z|,~ \varphi=\arg z[/math].

Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа [math]z[/math]; обозначается [math]\operatorname{Ln}z\colon[/math]


[math]\operatorname{Ln}z= \ln|z|+i(\varphi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.[/math]
(2.14)

Для каждого фиксированного значения [math]k\in\mathbb{Z}[/math] получаем определенное число — значение логарифма числа [math]z[/math]; при [math]k=0[/math] оно называется главным значением логарифма:


[math]\ln z=\ln|z|+i\arg z,\quad-\pi<\arg z\leqslant\pi.[/math]
(2.15)

Пример 2.21. Найти [math]\ln z[/math] — главные значения и [math]\operatorname{Ln}z[/math] для следующих чисел:


а) [math]z=1[/math]; б) [math]z=1+i[/math]; в) [math]z=2-i[/math].


▼ Решение

а) Находим модуль и аргумент числа [math]z=1\colon\, |z|=1,~ \arg z=0[/math]. По формулам (2.14) и (2.15) получаем:


[math]\ln1=0,\qquad \operatorname{Ln}1=2k\pi i,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]

б) Для числа [math]z=1+i[/math] находим модуль и аргумент: [math]|z|=\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}[/math]. Поэтому имеем результат:


[math]\ln(1+i)= \ln\sqrt{2}+i\,\frac{\pi}{4};\qquad \operatorname{Ln}(1+i)= \ln\sqrt{2}+ i \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]

в) Находим модуль и аргумент числа [math]z=2-i\colon\, |z|=\sqrt{5},~ \arg z= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)[/math]. Получаем ответ:


[math]\ln(2-i)= \ln\sqrt{5}+ i \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!,\qquad \operatorname{Ln}(2-i)= \ln\sqrt{5}+i \left(\operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)+ 2k\pi \right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.[/math]

Пример 2.22. Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа [math]\ln2i[/math].


▼ Решение

Находим модуль и аргумент числа [math]2i\colon\, |z|=2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}[/math]. По формуле (2.14) получаем [math]\ln2i= \ln2+i\,\frac{\pi}{2}[/math]. Поэтому:


[math]\operatorname{Re}(\ln2i)= \ln2,\quad \operatorname{Im}(\ln2i)=\frac{\pi}{2},\quad |\ln2i|= \sqrt{\ln^22+\frac{\pi^2}{4}}= \frac{1}{2}\sqrt{\ln^24+\pi^2}.[/math]

Точка [math]a=\ln2i[/math] расположена в первой четверти, так как [math]\operatorname{Re}a>0[/math] и [math]\operatorname{Im}a>0[/math]. Поэтому


[math]\arg(\ln2i)= \operatorname{arctg}\frac{\pi}{2\ln2}= \operatorname{arctg} \frac{\pi}{\ln4}.[/math]

Замечание 2.4. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем [math]z^{\alpha}[/math] и показательную функцию с любым комплексным основанием [math]a^z[/math].


При [math]\alpha=n[/math] и [math]\alpha=\frac{1}{n}[/math], где [math]n[/math] — натуральное число, степени [math]z^n[/math] и [math]\sqrt[n]{z}[/math] рассмотрены выше; при [math]\alpha=k[/math] и [math]\alpha=\frac{1}{k}[/math], где [math]k[/math] — целое число [math](k\ne0)[/math], определение к также очевидно.


В общем случае при любом комплексном [math]\alpha[/math] степень определяется формулой


[math]z^{\alpha}=e^{\alpha \operatorname{Ln}z},\quad z\ne0.[/math]
(2.16)

Аналогично вводится функция [math]a^z[/math] с любым комплексным основанием [math]a\ne0[/math]


[math]a^z=e^{z \operatorname{Ln}a}.[/math]
(2.17)

В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу [math]z~(z\ne0)[/math] соответствует бесконечное множество значений степени [math]z^{\alpha}[/math], определяемой по формуле (2.16), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (2.17) при [math]a\ne0[/math]. Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов.


Пример 2.23. Показать, что выражение [math]i^i[/math] принимает только действительные значения.


▼ Решение

Используя определение для [math]a^z[/math], запишем выражение [math]i^i[/math] в виде [math]i^i=e^{i\operatorname{Ln}i}[/math]. Найдем значения для [math]\operatorname{Ln}i\colon[/math]


[math]\operatorname{Ln}i= \ln1+ i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/math], то есть [math]\operatorname{Ln}i= i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}[/math].

Поэтому [math]i^i= e^{i\cdot i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}= e^{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}[/math] — действительное число при любом целом [math]k[/math].


Пример 2.24. Найти [math]\ln a[/math], где [math]a[/math] — корень уравнения [math]z^6+8=0[/math], удовлетворяющий условию [math]\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi[/math].


▼ Решение

Корнями уравнения [math]z^6+8=0[/math] являются числа


[math]z_k= \sqrt[6]{6}\cdot \exp \left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\cdot i\right)\!,\quad k=0,1,2,3,4,5.[/math]

Условию [math]\frac{\pi}{2}<\arg z<\pi[/math] удовлетворяет корень [math]z_2=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi\,i}{6}[/math]. Для найденного числа [math]z_2=a[/math] имеем [math]|a|=\sqrt{2},~ \arg a=\frac{5\pi}{6}[/math]. Поэтому получаем ответ: [math]\ln a=\ln\sqrt{2}+\frac{5\pi}{6}\cdot i[/math]


Замечание 2.5. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида [math]e^z+a=0[/math]. Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения [math]\operatorname{Ln}(-a)[/math], то есть [math]z=\operatorname{Ln}(-a)[/math].


Пример 2.25. Решить уравнения: a) [math]e^z-2=0[/math]; б) [math]e^z+2=0[/math]; в) [math]e^z+2i=0[/math].


▼ Решение

а) Из равенства [math]e^z=2[/math] по определению логарифма получаем [math]z=\operatorname{Ln}2[/math]. Далее, учитывая равенства [math]|2|=2,~ \arg2=0[/math], по формуле (2.14) находим [math]z=\operatorname{Ln}2= \ln2+i(2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}[/math]. Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии [math]2\pi[/math] друг от друга на прямой [math]\operatorname{Re}z=\ln2[/math], параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число [math]z_0=\ln2[/math] — точка на оси [math]Ox[/math].


б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения [math]\operatorname{Ln}(-2)[/math], то есть [math]z=\operatorname{Ln}(-2)= \ln2+ i(\pi+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}[/math].


в) Из равенства [math]e^z=-2i[/math] получаем [math]z=\operatorname{Ln}(-2i)[/math]. Находим модуль и аргумент числа [math](-2i)\colon\, r=2,~\varphi=-\frac{\pi}{2}[/math]. Множество решений уравнения описывается равенством


[math]z= \operatorname{Ln}(-2i)= \ln2+ i \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.[/math]

В случаях "б" и "в" уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях [math]k[/math] среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой [math]\operatorname{Re}z=\ln2[/math], что и в случае "а", на расстоянии [math]2\pi[/math] друг от друга; начальными значениями (при [math]k=0[/math]) для них являются [math]z_0=\ln2+i\pi[/math] и [math]z_0^{\ast}=\ln2-i\,\frac{\pi}{2}[/math]. Решения уравнений "б" и "в" изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные).


Пример 2.26. Найти [math]z[/math] из уравнения [math]\operatorname{ch}z=-2i[/math].


▼ Решение

Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения [math]e^{z}+e^{-z}=-4i[/math]. Получим квадратное уравнение относительно функции [math]e^z\colon\, e^{2z}+4i\,e^z+1=0[/math], корнями которого являются числа [math](-2\pm\sqrt{5})i[/math]. Далее нужно найти значения выражений [math]\operatorname{Ln}(-2\pm\sqrt{5})i[/math]. Для этого используем формулу (2.14):


[math]\begin{aligned}\operatorname{Ln}(-2+\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}; \operatorname{Ln}(-2-\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}[/math]

Получили два множества решений исходного уравнения:


[math]z_k=\ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.[/math]

Геометрически — это точки, лежащие на прямых


[math]\operatorname{Re}z= \ln(\sqrt{5}-2)= \ln \frac{1}{\sqrt{5}+2}=-\ln(\sqrt{5}+2),\qquad \operatorname{Re}z=\ln(\sqrt{5}+2),[/math]

параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны [math]2\pi[/math]; начальные значения (при [math]k=0[/math]):


[math]z_0= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\,\frac{\pi}{2}[/math] или [math]z_0=-\ln(\sqrt{5}+2)+ i\,\frac{\pi}{2}[/math] и [math]z_0^{\ast}= \ln(\sqrt{5}+2)- i\,\frac{\pi}{2}[/math] (рис. 2.11).



Логарифмическая функция комплексного переменного


Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения [math]e^w=z,~ w=\operatorname{Ln}z[/math], значения функции при любом [math]z\ne0[/math] определяются по формуле (2.14).


Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос:


[math]2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z<2k\pi,~k\in \mathbb{Z}[/math], или [math](2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}[/math].

В плоскости с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос [math]2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}[/math], в частности функция [math]\ln z[/math] — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу [math]0< \operatorname{Im}z<2\pi[/math] (см. рис. 2.9). В плоскости с разрезом [math](-\infty;0][/math] также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос [math](2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}[/math], в частности функция [math]\ln z[/math] — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу [math]-\pi<\operatorname{Im}z<\pi[/math]. Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области.


Пример 2.27. Найти решение уравнения [math]e^z+2i=0[/math] при условии [math]\ln(-1)=3\pi i[/math].


▼ Решение

Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной отрицательной оси, то рассматриваем плоскость с разрезом по [math][0;+\infty)[/math], где главное значение аргумента определяется неравенством [math]0<\arg z<2\pi[/math]. Из дополнительного условия определяем значение [math]k[/math], соответствующее выбранной ветви [math]\operatorname{Arg}z[/math], а следовательно и [math]\operatorname{Ln}z\colon\, \ln(-1)= (\pi+2k\pi)i= 3\pi i,~ k=1[/math].


Находим решение уравнения [math]e^z+2i=0,~ z=\operatorname{Ln}(-2i)\colon\, z_k=\ln2+ i\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)[/math]. При [math]k=1[/math] получаем ответ: [math]z=\ln2+ i\, \frac{7\pi}{2}[/math].




Обратные тригонометрические и гиперболические комплексные функции


Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области.


Например, обратным тригонометрическим синусом числа [math]z[/math] называется число [math]w[/math] такое, что выполняется равенство [math]\sin w=z[/math]. Отображение обозначается, как и в действительной области, [math]w=\arcsin z[/math].


Аналогично определяются и другие тригонометрические функции комплексного аргумента:


[math]\arccos z,\quad \operatorname{arctg}z,\quad \operatorname{arcctg}z,\quad \operatorname{arsh}z,\quad \operatorname{arch}z,\quad \operatorname{arth}z,\quad \operatorname{arcth}z.[/math]

Из определений могут быть получены формулы для нахождения числа [math]w[/math] по заданному числу [math]z[/math].


Рассмотрим эту задачу на примере нахождения [math]w=\arcsin z[/math]. По определению имеем [math]z=\sin w[/math]. Заменим [math]\sin w[/math] по формуле Эйлера (2.11), и из соотношения [math]z=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}[/math] или [math]e^{2iw}-2iz\,e^{iw}-1=0[/math], т.е. квадратного уравнения относительно [math]e^{iw}[/math], находим [math]e^{iw}\colon\, e^{iw}= iz+\sqrt{(iz)^2+1}[/math]. Перед радикалом записан только знак плюс, так как в комплексной области [math]\sqrt{a}[/math] — двузначное выражение. Далее, используя определение логарифма, находим


[math]iw= \operatorname{Ln}\bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr),\qquad w= \frac{1}{i} \operatorname{Ln} \bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr).[/math]

Для каждого числа [math]z[/math] получаем бесконечное множество значений для [math]w[/math] в силу двузначности [math]\sqrt{1-z^2}[/math] и бесконечной значности логарифма. Все это множество значений [math]w[/math] обозначается [math]\operatorname{Arcsin}z[/math]. Окончательный результат:


[math]\operatorname{Arcsin}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(iz+ \sqrt{1-z^2}\bigr).[/math]
(2.18)

Формулы, аналогичные (2.18), могут быть получены и для других функций:


[math]\begin{gathered}\operatorname{Arccos}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arctg}z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz};\quad \operatorname{Arcctg}z= \frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{z-i}{z+i};\\[5pt] \operatorname{Arsh}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{1+z^2}\bigr);\quad \operatorname{Arch}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z};\quad \operatorname{Arcth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{z+1}{z-1}. \end{gathered}[/math]

Все эти формулы, как и (2.18), дают бесконечнозначные выражения — определяют многозначные функции. Выделяя однозначную ветвь выражения [math]\operatorname{Ln}A[/math], можно получить однозначные функции в каждом случае.


Большого практического значения эти формулы, как и (2.18), не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций можно использовать их определения и формулы связи тригонометрических и гиперболических функций с показательной функцией (формулы Эйлера (2.11)-(2.12)), т.е. применять метод, с помощью которого выведена формула (2.18). Этим методом решен пример 2.26, где найдено значение [math]\operatorname{Arch}(-2i)[/math].


Замечание 2.6. Рассмотрим уравнения, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Простейшими из них являются уравнения:


[math]\begin{array}{llll}\sin z=a,&\quad \cos z=a,&\quad \operatorname{tg}z=a,&\quad \operatorname{ctg}z,\\[5pt] \operatorname{sh}z=a,&\quad \operatorname{ch}z,&\quad \operatorname{th}z=a,&\quad \operatorname{cth}z=a.\end{array}[/math]

Решение их, согласно определению, сводится к нахождению обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.


Пример 2.28. Решить уравнение [math]\sin z=2[/math].


▼ Решение

Множество решений уравнения определяется выражением [math]z=\operatorname{Arcsin}2[/math], или с помощью формулы (2.18): [math]z=-i \operatorname{Ln}\bigl(2i+\sqrt{1-4}\bigr)[/math]. Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде [math]a=2i+i\sqrt{3}[/math] и [math]b=2i-i\sqrt{3}[/math]. Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм:


а) для числа [math]a=(2+\sqrt{3})i[/math] имеем [math]|a|=2+\sqrt{3},~ \arg a=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому


[math]\operatorname{Ln}a= \operatorname{Ln}(2+\sqrt{3})i= \ln(2+\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z};[/math]

б) для числа [math]b=(2-\sqrt{3})i[/math] имеем [math]|b|=2-\sqrt{3},~ \arg b=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому


[math]\operatorname{Ln}b= \operatorname{Ln}(2-\sqrt{3})i= \ln(2-\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.[/math]

Получаем два множества решений уравнения:


[math]z_k=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)- i\ln(2+\sqrt{3}),\qquad z_k^{\ast}= \left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)- i\ln(2-\sqrt{3})[/math]

Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии [math]2\pi[/math] друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12):


[math]\operatorname{Im}z= \ln(2-\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2+\sqrt{3}}=-\ln(2+\sqrt{3})[/math] и [math]\operatorname{Im}z= \ln(2+\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2-\sqrt{3}}=-\ln(2-\sqrt{3})[/math],

Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении [math]k[/math] среди чисел [math]z_k[/math] нет действительных. Это соответствует известному свойству функции [math]\sin x[/math] в действительной области [math]|\sin x|\leqslant1[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved