Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Элементарные функции комплексного переменного

Элементарные функции комплексного переменного


Показательная функция комплексного переменного


В действительной области показательная функция e^x вводится обычно в связи с обобщением понятия степени a^n. В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при z=x ее свойства совпадали с известными свойствами функции e^x. Одно из важнейших свойств функции e^x — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда \textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}}.


Учитывая это, рассматриваем ряд \textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}} и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом z, т.е. во всей комплексной плоскости \mathbb{C} определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при z=x имеем \textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x}, то вводим следующее определение: показательной функцией e^x в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда \textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\colon}


e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},\quad z\in \mathbb{C}.
(2.3)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при z=ix, где x — действительное число, имеем \textstyle{e^{ix}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{i^nx^n}{n!}}. Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:


\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+ i\cdot \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}.

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций \cos x и \sin x. В результате имеем равенство e^{ix}= \cos x+i\sin x, или, обозначив x через \varphi\colon


e^{i\varphi}= \cos\varphi+ i\sin\varphi.
(2.4)

Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.


Функция e^z обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для e^x.


С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.


К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:


e^{z_1+z_2}= e^{z_1}\cdot e^{z_2}.
(2.5)

Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых z_1 и z_2 равенства


\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z_1^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!},

которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см. пример 1.44).


Если в равенстве (2.5) положить z_2=2k\pi i,~ z_1=z — любое комплексное число, то, учитывая тождество e^{2k\pi i}= \cos2k\pi+i\sin2k\pi=1, можно записать e^{z+2k\pi i}= e^z\cdot e^{2k\pi i}= e^z\cdot 1. Это равенство, справедливое при любых значениях z, означает, что функция e^z является периодической и ее период — чисто мнимое число T=2\pi i. Аналога этому свойству в действительной области нет, функция e^x — непериодическая.


Так же, как и в действительной области, показательная функция e^z не обращается в нуль ни при каком значении аргумента. Действительно, если предположить противное, что существует z_1, при котором e^{z_1}=0, то из тождества e^z=e^{z_1+z-z_1}= e^{z_1}\cdot e^{z-z_1}, где z — любое комплексное число, получили бы, e^z=0 при любом z, что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция e^z. В отличие от e^x значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1. Вообще e^z может принимать любые значения в \mathbb{C}, за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (2.5) положить z_1=x,~ z_2=iy и сравнить равенство e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy} с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном z , т.е. при фиксированных x и y, модуль числа e^z равен e^x~(r=e^x), а аргумент равен y~(\varphi=y), т.е.


|e^z|= e^x=e^{\operatorname{Re}z},\quad \arg e^z=y=\operatorname{Im}z\,.
(2.6)

Отсюда получаем, что e^z может принимать любые значения (e^z\ne0), так как \arg e^z=y — любое число.


Пример 2.13. Найти \operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z,~ \arg z для чисел: а) e^{2-i}; б) -e^{-2+i}.


▼ Решение

а) Находим модуль числа r=|e^{2-i}|=e^2 и аргумент \varphi=\arg e^{2-i}=-1. После этого можно записать


\operatorname{Re}z=x=r\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z=y=r\sin\varphi, то есть \operatorname{Re}z=e^2\cos1,\quad \operatorname{Im}z=-e^2\sin1.

Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4):


z=e^{2-i}=e^2\cdot e^{-i}= e^2 \bigl[\cos(-1)+i\sin(-1)\bigr]= e^2(\cos1-i\sin1).

Полому \operatorname{Re}z=e^2\cos1,~ \operatorname{Im}z=-e^2\sin1, а из показательной формы записи числа e^2\cdot e^{-i} находим |z|=r=e^2,~ \arg z=\varphi=-1.


б) Представим число в виде произведения z=-1\cdot e^{-2+i}, а множитель (-1) в показательной форме: -1=e^{\pi i}. Тогда


z=-1\cdot e^{-2+i}= e^{\pi i}\cdot e^{-2+i}= e^{-2+i(\pi+1)}= e^{-2}\cdot e^{i(\pi+1)}.

Поэтому имеем |z|=e^{-2},~ \arg z=\pi+1, или \arg z=-\pi+1, так как для
данного значения аргумента имеет место ограничение -\pi<\arg z\leqslant\pi. После этого записываем


\operatorname{Re}z=e^{-2}\cos(\pi+1)=-e^{-2}\cos1,\quad \operatorname{Im}z=e^{-2}\sin(\pi+1)=-e^2\sin1.
.

Пример 2.14. Найти \operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z) , если f(z)=e^{z^2}.


▼ Решение

Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим


e^{z^2}= e^{(x+iy)^2}= e^{x^2-y^2+i2xy}= e^{x^2-y^2}\cdot e^{i2xy}, то есть |e^{z^2}|= e^{x^2-y^2},~~ \arg e^{z^2}=2xy.

Поэтому \operatorname{Re}e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\cos2xy,~ \operatorname{Im} e^{z^2}= e^{x^2-y^2}\sin2xy.


Пример 2.15. Показать, что функция e^{iz} является периодической и ее период — действительное число.


▼ Решение

Нужно показать, что существует число T\in \mathbb{C} такое, что e^{i(z+T)}=e^{iz} для любого z. Но из формулы (2.5) имеем e^{i(z+T)}= e^{iz}\cdot e^{iT}, поэтому число T должно быть таким, чтобы выполнялось равенство e^{iT}=1, а это верно при T=2\pi. Следовательно, период функции e^{iz} — действительное число T=2\pi.


Пример 2.16. Доказать, что функция w=e^z является неоднолистной на множестве \mathbb{C}. Найти область однолистности.


▼ Решение

Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для z_1=2\pi i и z_2=4\pi i получается e^{z_1}=e^{z_2}=1.


Чтобы определить область однолистности, запишем разность


w_1-w_2=e^{z_1}-e^{z_2} или w_1-w_2=e^{z_1}(1-e^{z_2-z_1}).

Значения функции совпадают для тех z_1 и z_2, для которых выполняется равенство e^{z_2-z_1}=1 , то есть z_2-z_1=2k\pi i,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots.


Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины 2\pi,~ a<\operatorname{Im}z<a+2\pi, в частности полосе \pi<\operatorname{Im}z <\pi или 0<\operatorname{Im}z<2\pi (рис. 2.9).


Полосы на комплексной плоскости

Любая прямая z=x+ic~(y=\text{const}=c), параллельная действительной оси отображается в луч \arg w=c, так как из w=e^{z}= e^{x}\cdot e^{ic} получаем |w|=e^x>0,~ \arg w=c. В частности, действительная ось \operatorname{Im}z=0, то есть z=x, переходит в луч \arg w=0 — действительную положительную полуось, а прямая \operatorname{Im}z= 2\pi, то есть z=x+i\cdot2\pi, — в луч \arg w=2\pi, геометрически это — та же действительная полуось


Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой \operatorname{Im}z=0 будут соответствовать точки нижнего "берега" оси \operatorname{Im}w=0, а точкам прямой \operatorname{Im}z=2\pi точки верхнего "берега".


Такой же результат получим и для следующей полосы 2\pi<\operatorname{Im}z <4\pi. Она отображается также в плоскость с разрезом [0;+\infty).


Вообще любая полоса 2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z} с помощью функции w=e^z переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.


Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции w=e^z по такому же принципу как сделано для w=z^2.


Полученный результат (см. решение примера 2.16) запишем в виде утверждения: функция w=e^z взаимно однозначно отображает:


1) любую полосу a<\operatorname{Im}z<a+2\pi — в плоскость с разрезом по лучу \arg w=a;
2) полосу (2k-1)\pi< \operatorname{Im}z< (2k+1)\pi,~ k\in\mathbb{Z} в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси;
3) полосу 2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~ k\in\mathbb{Z} во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.



Тригонометрические и гиперболические комплексные функции


Функции \sin z,~\cos z,~\operatorname{sh}z,~ \operatorname{ch}z вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:


\sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},
(2.7)

\operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},\qquad \operatorname{ch}z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
(2.8)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические:


\begin{array}{ll}\operatorname{tg} z= \dfrac{\sin z}{\cos z},~ \cos z\ne0;&\qquad \operatorname{ctg}z= \dfrac{\cos z}{\sin z},~ \sin z\ne0;\\[10pt] \operatorname{th}z= \dfrac{\operatorname{sh}z}{\operatorname{ch}z},~ \operatorname{ch}z\ne0,&\qquad \operatorname{cth}z= \dfrac{\operatorname{ch}z}{\operatorname{sh}z},~ \operatorname{sh}z\ne0. \end{array}

Из определений следует, что функции \cos z,~ \operatorname{ch}z являются четными, а остальные — нечетными.


Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции e^z, получаем следующие формулы, справедливые при любом z\colon


e^{iz}=\cos z+i\sin z\,,
(2.9)

e^z=\operatorname{ch}z+\operatorname{sh}z\,.
(2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (2.9) при z=x~(z=\varphi), где x — действительная переменная, рассмотрена выше (см. формулу (2.4)).


Так как формулы (2.9) и (2.10) верны при любых значениях z, то, заменяя z на (-z) и учитывая, что \sin z и \operatorname{sh}z — нечетные, a \cos z и \operatorname{ch}z — четные функции, можем записать


e^{-iz}=\cos z-i\sin z\,,\qquad e^{-z}=\operatorname{ch}z-\operatorname{sh}z\,.

Комбинируя эти формулы с (2.9) и (2.10), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную:


\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\,,\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\,,
(2.11)

\operatorname{sh}z= \frac{e^z-e^{-z}}{2}\,,\qquad \operatorname{ch}z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}\,.
(2.12)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (2.7),(2.8), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.


Так, с помощью (2.11) и (2.12) устанавливается справедливость таких формул сложения, как


\begin{gathered}\sin(z_1+z_2)= \sin z_1\cdot \cos z_2+\sin z_2\cdot \cos z_1,\\[5pt] \operatorname{ch}(z_1+z_2)= \operatorname{ch}z_1\cdot \operatorname{sh}z_2+ \operatorname{sh}z_2\cdot \operatorname{ch}z_1,\end{gathered}

и других формул, в частности формул тригонометрии.


Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через e^z, они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (2.11) и (2.12):


\begin{array}{ll}\cos iz=\operatorname{ch}z\,,&\qquad \operatorname{ch}iz= \cos z\,,\\[5pt] \sin iz= i\operatorname{sh}z\,,&\qquad \operatorname{sh}iz= i\sin z\,.\end{array}
(2.13)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как


\operatorname{ch}^2z-\operatorname{sh}^2z=1,\qquad \operatorname{ch}^2z+ \operatorname{sh}^2z= \operatorname{ch}2z\,.

Как и в действительной области, тригонометрические функции \sin z и \cos z являются периодическими и их период равен 2\pi. Это следует из формул (2.11) (см. пример 2.15). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции e^z, — мнимое число T=2\pi i (это следует из рассмотрения равенств (2.12)).


Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций \sin z и \cos z. Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа \cos i по формуле (2.11) имеем: \cos i=\frac{e^1+e^{-1}}{2}>1.


Можно показать и в общем виде, что для любого числа M>0 найдется такое число \delta(M), что для всех z, удовлетворяющих условию |z|>\delta(M), выполняется неравенство |\cos z|>M,~ |\sin z|>M. Для доказательства следует использовать формулы (2.11).


Пример 2.17. Найти |z| и \arg z для чисел: а) z=\sin2i; б) z=i\sin^2\frac{1}{i}.


▼ Решение

а) Используем формулу (2.13): \sin2i=i \operatorname{sh}2, поэтому \operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z= \operatorname{sh}2, а так как \operatorname{sh}2= \frac{e^2-e^{-2}}{2}>0, то \operatorname{Im}z>0 и, следовательно, |z|=\operatorname{sh}2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}.


б) Учитывая равенство \frac{1}{i}=-i, используем, как и выше, формулу (2.13):


i\sin^2 \frac{1}{i}= i\sin^2(-i)= i\sin^2i= i(i \operatorname{sh}1)^2=-i \operatorname{sh}^21\,.

Поэтому \operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z=-\operatorname{sh}^21<0 и, следовательно, |z|= \operatorname{sh}^21,~ \arg z=-\frac{\pi}{2}.


Пример 2.18. Найти \operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z), если a) f(z)=\sin z; б) f(z)= \operatorname{ch}z.


▼ Решение

Для решения используем формулу сложения, обозначая z=x+iy, а также формулу (2.13).


а) Решим первый пример:


f(z)=\sin z= \sin(x+iy)= \sin x\cos iy+ \sin iy\cos x= \sin x \operatorname{ch}y+ i\operatorname{sh}y \cos x\,,

поэтому \operatorname{Re}f(z)=\sin x \operatorname{ch}y,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}y\cos x.


б) Решим второй пример:


f(z)=\operatorname{ch}z= \cos iz= \cos[i(x+iy)]= \cos(ix-y)= \cos ix\cos y+\sin ix\sin y= \cos y \operatorname{ch}x+i \operatorname{sh}x\sin y\,,

поэтому \operatorname{Re}f(z)=\cos y \operatorname{ch}x,~ \operatorname{Im}f(z)= \operatorname{sh}x\sin y.


Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции:


\operatorname{ch}z= \operatorname{ch}(x+iy)= \operatorname{ch}x \operatorname{ch} iy+ \operatorname{sh}x \sin iy= \cos y \operatorname{ch}x+ i\operatorname{sh}x\sin y\,.

Пример 2.19. Найти модуль и аргумент числа f(i), если a) f(z)=\operatorname{tg}z; 6) f(z)=(1-i)\operatorname{cth}z^2.


▼ Решение

а) Используем определение функции \operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z} и формулу (2.13):


f(i)= \operatorname{tg}i= \frac{\sin i}{\cos i}= \frac{i\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}=i\operatorname{th}1;\quad \operatorname{Re}f(i)=0,~ \operatorname{Im}f(i)= \operatorname{th}1= \frac{\operatorname{sh}1}{\operatorname{ch}1}= \frac{e^1-e^{-1}}{e^1+e^{-1}}>0,

поэтому |f(i)|= \operatorname{th}1= \frac{e^2-1}{e^2+1},~~ \arg f(i)=\frac{\pi}{2}.


б) Представим число f(i)=(1-i)\operatorname{cth}i^2 в виде произведения двух чисел:


f(i)=z_1\cdot z_2,\quad z_1=1-i,\quad z_2=\operatorname{cth}(-1)

и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа z_1=1-i имеем |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=-\frac{\pi}{4}. Число z_2 является действительным, причем отрицательным, так как


\operatorname{cth}(-1)= \frac{\operatorname{ch}(-1)}{\operatorname{sh}(-1)}=-\frac{\operatorname{ch}1}{\operatorname{sh}1}= \frac{e^1+e^{-1}}{e^{-1}-e^1}<0.

Поэтому |z_2|= \operatorname{cth}1= \frac{e^2+1}{e^2-1},~~ \arg z_2=\pi. Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем


|f(i)|= |z_1|\cdot |z_2|= \sqrt{2} \operatorname{cth}1,\qquad \arg f(i)= \arg z_1+ \arg z_2= \frac{3\pi}{4}\,.

Пример 2.20. Найти мнимую часть числа \operatorname{ch}a, где a — тот корень уравнения z^4+4=0, который расположен в третьей четверти.


▼ Решение

Корнями уравнения z^4+4=0, или z^4=-4, являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа:


z=\sqrt[\LARGE{4}]{-4},\quad z_k=\sqrt{2}\exp \frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3.

Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять k=2. Искомым корнем будет число a=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi i}{4}, или в алгебраической форме a=\sqrt{2}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-(1+i).


Вычислим теперь \operatorname{ch}(-1-i) или, что то же, \operatorname{ch}(1+i). Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13):


\operatorname{ch}(1+i)= \operatorname{ch}1\cdot \operatorname{ch} i+\operatorname{sh}1\cdot \operatorname{sh} i= \operatorname{ch}1\cdot\cos1+ i\operatorname{sh}1\cdot \sin1\,.

Получаем ответ: \operatorname{Im}\operatorname{ch}a= \operatorname{sh}1\cdot \sin1.




Комплексный логарифм


Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа.


Логарифмом комплексного числа z\ne0 называется число A такое, что справедливо равенство e^z=A; обозначается A=\ln z. Таким образом, \ln z=A\Leftrightarrow e^A=z,~z\ne0.


Для нахождения логарифма числа z, т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа A~(A=\ln z), запишем число z в показательной форме, и число A будем искать в алгебраической форме: A=u+iv.


Тогда равенство e^{u+iv}=r\,e^{i\varphi} или e^{u}\cdot e^{iv}= r\,e^{i\varphi} есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим u и {v}, а именно e^u=r, то есть u=\ln r~(r>0); v=\varphi+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z}. Для искомого числа A получаем выражение:


A=\ln z= \ln r+i(\varphi+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}, где r=|z|,~ \varphi=\arg z.

Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа z; обозначается \operatorname{Ln}z\colon


\operatorname{Ln}z= \ln|z|+i(\varphi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
(2.14)

Для каждого фиксированного значения k\in\mathbb{Z} получаем определенное число — значение логарифма числа z; при k=0 оно называется главным значением логарифма:


\ln z=\ln|z|+i\arg z,\quad-\pi<\arg z\leqslant\pi.
(2.15)

Пример 2.21. Найти \ln z — главные значения и \operatorname{Ln}z для следующих чисел:


а) z=1; б) z=1+i; в) z=2-i.


▼ Решение

а) Находим модуль и аргумент числа z=1\colon\, |z|=1,~ \arg z=0. По формулам (2.14) и (2.15) получаем:


\ln1=0,\qquad \operatorname{Ln}1=2k\pi i,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots

б) Для числа z=1+i находим модуль и аргумент: |z|=\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}. Поэтому имеем результат:


\ln(1+i)= \ln\sqrt{2}+i\,\frac{\pi}{4};\qquad \operatorname{Ln}(1+i)= \ln\sqrt{2}+ i \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots

в) Находим модуль и аргумент числа z=2-i\colon\, |z|=\sqrt{5},~ \arg z= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right). Получаем ответ:


\ln(2-i)= \ln\sqrt{5}+ i \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!,\qquad \operatorname{Ln}(2-i)= \ln\sqrt{5}+i \left(\operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)+ 2k\pi \right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.

Пример 2.22. Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа \ln2i.


▼ Решение

Находим модуль и аргумент числа 2i\colon\, |z|=2,~ \arg z=\frac{\pi}{2}. По формуле (2.14) получаем \ln2i= \ln2+i\,\frac{\pi}{2}. Поэтому:


\operatorname{Re}(\ln2i)= \ln2,\quad \operatorname{Im}(\ln2i)=\frac{\pi}{2},\quad |\ln2i|= \sqrt{\ln^22+\frac{\pi^2}{4}}= \frac{1}{2}\sqrt{\ln^24+\pi^2}.

Точка a=\ln2i расположена в первой четверти, так как \operatorname{Re}a>0 и \operatorname{Im}a>0. Поэтому


\arg(\ln2i)= \operatorname{arctg}\frac{\pi}{2\ln2}= \operatorname{arctg} \frac{\pi}{\ln4}.

Замечание 2.4. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем z^{\alpha} и показательную функцию с любым комплексным основанием a^z.


При \alpha=n и \alpha=\frac{1}{n}, где n — натуральное число, степени z^n и \sqrt[\LARGE{n}]{z} рассмотрены выше; при \alpha=k и \alpha=\frac{1}{k}, где k — целое число (k\ne0), определение к также очевидно.


В общем случае при любом комплексном \alpha степень определяется формулой


z^{\alpha}=e^{\alpha \operatorname{Ln}z},\quad z\ne0.
(2.16)

Аналогично вводится функция a^z с любым комплексным основанием a\ne0


a^z=e^{z \operatorname{Ln}a}.
(2.17)

В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу z~(z\ne0) соответствует бесконечное множество значений степени z^{\alpha}, определяемой по формуле (2.16), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (2.17) при a\ne0. Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов.


Пример 2.23. Показать, что выражение i^i принимает только действительные значения.


▼ Решение

Используя определение для a^z, запишем выражение i^i в виде i^i=e^{i\operatorname{Ln}i}. Найдем значения для \operatorname{Ln}i\colon


\operatorname{Ln}i= \ln1+ i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right), то есть \operatorname{Ln}i= i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in \mathbb{Z}.

Поэтому i^i= e^{i\cdot i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}= e^{-\frac{\pi}{2}+2k\pi} — действительное число при любом целом k.


Пример 2.24. Найти \ln a, где a — корень уравнения z^6+8=0, удовлетворяющий условию \frac{\pi}{2}<\arg z<\pi.


▼ Решение

Корнями уравнения z^6+8=0 являются числа


z_k= \sqrt[\LARGE{6}]{6}\cdot \exp \left(\frac{\pi+2k\pi}{6}\cdot i\right)\!,\quad k=0,1,2,3,4,5.

Условию \frac{\pi}{2}<\arg z<\pi удовлетворяет корень z_2=\sqrt{2}\exp \frac{5\pi\,i}{6}. Для найденного числа z_2=a имеем |a|=\sqrt{2},~ \arg a=\frac{5\pi}{6}. Поэтому получаем ответ: \ln a=\ln\sqrt{2}+\frac{5\pi}{6}\cdot i


Замечание 2.5. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида e^z+a=0. Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения \operatorname{Ln}(-a), то есть z=\operatorname{Ln}(-a).


Пример 2.25. Решить уравнения: a) e^z-2=0; б) e^z+2=0; в) e^z+2i=0.


▼ Решение

а) Из равенства e^z=2 по определению логарифма получаем z=\operatorname{Ln}2. Далее, учитывая равенства |2|=2,~ \arg2=0, по формуле (2.14) находим z=\operatorname{Ln}2= \ln2+i(2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}. Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии 2\pi друг от друга на прямой \operatorname{Re}z=\ln2, параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число z_0=\ln2 — точка на оси Ox.


б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения \operatorname{Ln}(-2), то есть z=\operatorname{Ln}(-2)= \ln2+ i(\pi+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}.


в) Из равенства e^z=-2i получаем z=\operatorname{Ln}(-2i). Находим модуль и аргумент числа (-2i)\colon\, r=2,~\varphi=-\frac{\pi}{2}. Множество решений уравнения описывается равенством


z= \operatorname{Ln}(-2i)= \ln2+ i \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.

В случаях "б" и "в" уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях k среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой \operatorname{Re}z=\ln2, что и в случае "а", на расстоянии 2\pi друг от друга; начальными значениями (при k=0) для них являются z_0=\ln2+i\pi и z_0^{\ast}=\ln2-i\,\frac{\pi}{2}. Решения уравнений "б" и "в" изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные).


Решения уравнений на комплексной плоскости

Пример 2.26. Найти z из уравнения \operatorname{ch}z=-2i.


▼ Решение

Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения e^{z}+e^{-z}=-4i. Получим квадратное уравнение относительно функции e^z\colon\, e^{2z}+4i\,e^z+1=0, корнями которого являются числа (-2\pm\sqrt{5})i. Далее нужно найти значения выражений \operatorname{Ln}(-2\pm\sqrt{5})i. Для этого используем формулу (2.14):


\begin{aligned}\operatorname{Ln}(-2+\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}; \operatorname{Ln}(-2-\sqrt{5})i&= \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}

Получили два множества решений исходного уравнения:


z_k=\ln(\sqrt{5}-2)+ i\left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)\!,\quad \ln(\sqrt{5}+2)+ i\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.

Геометрически — это точки, лежащие на прямых


\operatorname{Re}z= \ln(\sqrt{5}-2)= \ln \frac{1}{\sqrt{5}+2}=-\ln(\sqrt{5}+2),\qquad \operatorname{Re}z=\ln(\sqrt{5}+2),

параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны 2\pi; начальные значения (при k=0):


z_0= \ln(\sqrt{5}-2)+ i\,\frac{\pi}{2} или z_0=-\ln(\sqrt{5}+2)+ i\,\frac{\pi}{2} и z_0^{\ast}= \ln(\sqrt{5}+2)- i\,\frac{\pi}{2} (рис. 2.11).



Логарифмическая функция комплексного переменного


Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения e^w=z,~ w=\operatorname{Ln}z, значения функции при любом z\ne0 определяются по формуле (2.14).


Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос:


2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z<2k\pi,~k\in \mathbb{Z}, или (2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}.

В плоскости с разрезом по лучу [0;+\infty) возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос 2(k-1)\pi< \operatorname{Im}z< 2k\pi,~k\in \mathbb{Z}, в частности функция \ln z — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу 0< \operatorname{Im}z<2\pi (см. рис. 2.9). В плоскости с разрезом (-\infty;0] также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос (2k-1)\pi< \operatorname{Im}z<(2k+1)\pi,~ k\in \mathbb{Z}, в частности функция \ln z — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу -\pi<\operatorname{Im}z<\pi. Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области.


Пример 2.27. Найти решение уравнения e^z+2i=0 при условии \ln(-1)=3\pi i.


▼ Решение

Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной отрицательной оси, то рассматриваем плоскость с разрезом по [0;+\infty), где главное значение аргумента определяется неравенством 0<\arg z<2\pi. Из дополнительного условия определяем значение k, соответствующее выбранной ветви \operatorname{Arg}z, а следовательно и \operatorname{Ln}z\colon\, \ln(-1)= (\pi+2k\pi)i= 3\pi i,~ k=1.


Находим решение уравнения e^z+2i=0,~ z=\operatorname{Ln}(-2i)\colon\, z_k=\ln2+ i\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right). При k=1 получаем ответ: z=\ln2+ i\, \frac{7\pi}{2}.




Обратные тригонометрические и гиперболические комплексные функции


Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области.


Например, обратным тригонометрическим синусом числа z называется число w такое, что выполняется равенство \sin w=z. Отображение обозначается, как и в действительной области, w=\arcsin z.


Аналогично определяются и другие тригонометрические функции комплексного аргумента:


\arccos z,\quad \operatorname{arctg}z,\quad \operatorname{arcctg}z,\quad \operatorname{arsh}z,\quad \operatorname{arch}z,\quad \operatorname{arth}z,\quad \operatorname{arcth}z.

Из определений могут быть получены формулы для нахождения числа w по заданному числу z.


Рассмотрим эту задачу на примере нахождения w=\arcsin z. По определению имеем z=\sin w. Заменим \sin w по формуле Эйлера (2.11), и из соотношения z=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} или e^{2iw}-2iz\,e^{iw}-1=0, т.е. квадратного уравнения относительно e^{iw}, находим e^{iw}\colon\, e^{iw}= iz+\sqrt{(iz)^2+1}. Перед радикалом записан только знак плюс, так как в комплексной области \sqrt{a} — двузначное выражение. Далее, используя определение логарифма, находим


iw= \operatorname{Ln}\bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr),\qquad w= \frac{1}{i} \operatorname{Ln} \bigl(iz+\sqrt{1-z^2}\bigr).

Для каждого числа z получаем бесконечное множество значений для w в силу двузначности \sqrt{1-z^2} и бесконечной значности логарифма. Все это множество значений w обозначается \operatorname{Arcsin}z. Окончательный результат:


\operatorname{Arcsin}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(iz+ \sqrt{1-z^2}\bigr).
(2.18)

Формулы, аналогичные (2.18), могут быть получены и для других функций:


\begin{gathered}\operatorname{Arccos}z= \frac{1}{i} \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arctg}z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz};\quad \operatorname{Arcctg}z= \frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{z-i}{z+i};\\[5pt] \operatorname{Arsh}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{1+z^2}\bigr);\quad \operatorname{Arch}z= \operatorname{Ln}\bigl(z+ \sqrt{z^2-1}\bigr);\quad \operatorname{Arth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z};\quad \operatorname{Arcth}z= \frac{1}{2} \operatorname{Ln}\frac{z+1}{z-1}. \end{gathered}

Все эти формулы, как и (2.18), дают бесконечнозначные выражения — определяют многозначные функции. Выделяя однозначную ветвь выражения \operatorname{Ln}A, можно получить однозначные функции в каждом случае.


Большого практического значения эти формулы, как и (2.18), не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций можно использовать их определения и формулы связи тригонометрических и гиперболических функций с показательной функцией (формулы Эйлера (2.11)-(2.12)), т.е. применять метод, с помощью которого выведена формула (2.18). Этим методом решен пример 2.26, где найдено значение \operatorname{Arch}(-2i).


Замечание 2.6. Рассмотрим уравнения, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Простейшими из них являются уравнения:


\begin{array}{llll}\sin z=a,&\quad \cos z=a,&\quad \operatorname{tg}z=a,&\quad \operatorname{ctg}z,\\[5pt] \operatorname{sh}z=a,&\quad \operatorname{ch}z,&\quad \operatorname{th}z=a,&\quad \operatorname{cth}z=a.\end{array}

Решение их, согласно определению, сводится к нахождению обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.


Пример 2.28. Решить уравнение \sin z=2.


▼ Решение

Множество решений уравнения определяется выражением z=\operatorname{Arcsin}2, или с помощью формулы (2.18): z=-i \operatorname{Ln}\bigl(2i+\sqrt{1-4}\bigr). Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде a=2i+i\sqrt{3} и b=2i-i\sqrt{3}. Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм:


а) для числа a=(2+\sqrt{3})i имеем |a|=2+\sqrt{3},~ \arg a=\frac{\pi}{2}, поэтому


\operatorname{Ln}a= \operatorname{Ln}(2+\sqrt{3})i= \ln(2+\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z};

б) для числа b=(2-\sqrt{3})i имеем |b|=2-\sqrt{3},~ \arg b=\frac{\pi}{2}, поэтому


\operatorname{Ln}b= \operatorname{Ln}(2-\sqrt{3})i= \ln(2-\sqrt{3})+ i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,\quad k\in \mathbb{Z}.

Получаем два множества решений уравнения:


z_k=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)- i\ln(2+\sqrt{3}),\qquad z_k^{\ast}= \left(\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right)- i\ln(2-\sqrt{3})

Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии 2\pi друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12):


\operatorname{Im}z= \ln(2-\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2+\sqrt{3}}=-\ln(2+\sqrt{3}) и \operatorname{Im}z= \ln(2+\sqrt{3})= \ln \frac{1}{2-\sqrt{3}}=-\ln(2-\sqrt{3}),

Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении k среди чисел z_k нет действительных. Это соответствует известному свойству функции \sin x в действительной области |\sin x|\leqslant1.


Множество точек на комплексной плоскости
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved