Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Элементарные преобразования многочленных матриц (λ-матриц)
ОглавлениеЛинейная алгебра

Элементарные преобразования многочленных матриц (λ-матриц)


Элементарными преобразованиями λ-матрицы называются следующие ее преобразования:


I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца {строки) соответствующих элементов другого столбца {строки), умноженных на один и тот же многочлен [math]p(\lambda)[/math].


Матрица [math]B(\lambda)[/math], полученная из исходной матрицы [math]A(\lambda)[/math] конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается [math]A(\lambda)-B(\lambda)[/math].


Напомним, что многочлен [math]d(\lambda)\ne0[/math] называется общим делителем отличных от нуля многочленов [math]p(\lambda)[/math] и [math]q(\lambda)[/math], если каждый из них делится на [math]d(\lambda)[/math] без остатка. Общий делитель максимальной степени (со старшим коэффициентом, равным единице) называется наибольшим общим делителем. У любых ненулевых многочленов существует единственный наибольший общий делитель. Понятия общего делителя и наибольшего общего делителя распространяются на любое конечное число многочленов. В частности, если один из многочленов тождественно равен единице, то он является наибольшим общим делителем.


При помощи элементарных преобразований λ-матрицу можно привести к диагональному виду. Алгоритм повторяет в общих чертах метод Гаусса, но имеются некоторые отличия при выборе ведущего элемента.




Алгоритм приведения многочленной матрицы к диагональному виду


1. В λ-матрице выбрать отличный от нуля элемент наименьшей степени (ведущий элемент). Если имеется несколько элементов наименьшей степени, то среди них выбирается любой. Переставить (при необходимости) два столбца и две строки так, чтобы ведущая строка и ведущий столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, оказались на месте первой строки и первого столбца (преобразование I типа). Ведущий элемент при этом окажется в левом верхнем углу рассматриваемой матрицы.


Если все элементы ведущего столбца и ведущей строки, за исключением ведущего элемента, равны нулю, то этот столбец и эту строку следует исключить из рассмотрения и продолжить поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы и строки, или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые, или в оставшейся части матрицы имеется только один элемент.


Если все элементы ведущего столбца и ведущей строки делятся без остатка на ведущий элемент, то перейти к пункту 3.


Если не все элементы ведущего столбца и ведущей строки делятся на ведущий элемент, то степень ведущего элемента нужно понизить, переходя к пункту 2.


2. Если в первом столбце имеется элемент [math]a_{i1}(\lambda)[/math], который не делится на ведущий элемент [math]a_{11}(\lambda)[/math], то представить этот элемент в виде [math]a_{i1}(\lambda)=p(\lambda)a_{11}(\lambda)+r(\lambda)[/math], где остаток [math]r(\lambda)\ne0[/math] и степень [math]r(\lambda)[/math] меньше, чем степень многочлена [math]a_{i1}(\lambda)[/math]. Прибавить к i-й строке первую строку, умноженную на многочлен [math](-p(\lambda))[/math], при этом получить на месте элемента [math]a_{i1}(\lambda)[/math] многочлен [math]r(\lambda)[/math]. Перейти к выбору ведущего элемента, т.е. к пункту 1. Поступить аналогично, если в первой строке есть элемент, который не делится на ведущий (использовать то же представление и преобразование столбцов).


3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такой многочлен, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа). Аналогично, к каждому столбцу, расположенному правее ведущего прибавить ведущий столбец, умноженный соответственно на такой многочлен, чтобы элементы, стоящие правее ведущего, оказались равными нулю (преобразование III типа).


4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применить к оставшейся части матрицы.




Пример 7.5. Привести λ-матрицы к диагональному виду


[math]A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ \lambda^2+\lambda& -\lambda+1\end{pmatrix}\!,\quad B(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2+2 \lambda+4\\ \lambda^2-2\lambda+1&0\end{pmatrix}\!,\quad C(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. 1. Наименьшую степень имеет элемент [math]a_{11}(\lambda)=\lambda[/math]. Выбираем его в качестве ведущего. Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.


3. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на [math](-\lambda-1):[/math]


[math]A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ \lambda^2+\lambda& -\lambda+1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \lambda&\lambda^2-\lambda\\ 0&-\lambda+1+(-\lambda-1)(\lambda^2-\lambda)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ 0&-\lambda^3+1\end{pmatrix}\!.[/math]

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](1-\lambda):[/math]


[math]A(\lambda)\sim \begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ 0&-\lambda^3+1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda^3+1 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Исключим из рассмотрения первый столбец и первую строку. Оставшаяся часть матрицы состоит из одного элемента. Преобразования закончены, матрица приведена к диагональному виду.


Матрица [math]B[/math]. 1(1). В качестве ведущего элемента выбираем [math]b_{11}(\lambda)=\lambda[/math]. Первый столбец и первая строка матрицы — ведущие. Так как элемент [math]b_{21}(\lambda)=(\lambda-1)^2[/math] не делится на ведущий без остатка, то переходим к пункту 2 алгоритма.


2. Разделим многочлен [math]b_{21}(\lambda)=\lambda^2-2 \lambda+1[/math] на [math]b_{11}(\lambda)=\lambda:[/math]


[math]\lambda^2-2 \lambda +1=(\lambda-2)\cdot \lambda+1,[/math]

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на [math](-\lambda+2):[/math]


[math]B(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2+2 \lambda+4\\ \lambda^2-2\lambda+1& 0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2+2 \lambda+4\\ 1&-\lambda^3+8 \end{pmatrix}\!.[/math]

Возвращаемся к пункту 1.


1(2). Выбираем элемент наименьшей степени (единицу) в качестве ведущего. Меняем местами первую и вторую строки:


[math]B(\lambda)\sim \begin{pmatrix}1&-\lambda^3+8\\ \lambda&\lambda^2+2 \lambda+4 \end{pmatrix}[/math]

Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.


3. Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на [math](-\lambda)[/math], а затем ко второму столбцу прибавляем первый, умноженный на [math](\lambda^3-8):[/math]


[math]B(\lambda)\sim \begin{pmatrix}1&-\lambda^3+8\\ \lambda&\lambda^2+2 \lambda+4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-\lambda^3+8\\ 0&\lambda^4+\lambda^2-6 \lambda+4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\\ 0&\lambda^4+\lambda^2-6 \lambda+4 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец матрицы. Переходим к пункту 1 алгоритма.


1(3). Поскольку в оставшейся части матрицы имеется только один элемент, то преобразования надо закончить — матрица [math]B(\lambda)[/math] приведена к диагональному виду.


Матрица [math]C[/math]. 1(1). Выбираем в качестве ведущего элемент [math]c_{12}(\lambda)=1[/math] наименьшей степени. Меняем местами первый и второй столбцы:


[math]C(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&\lambda&0\\ \lambda&0&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.


3(1). Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на [math](-\lambda)[/math], а затем ко второму столбцу прибавляем первый, умноженный на [math](-\lambda)\colon[/math]


[math]C(\lambda)\sim \begin{pmatrix} 1&\lambda&0\\ \lambda&0&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&\lambda&0\\ 0&-\lambda^2&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-\lambda^2&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

4(1). Исключаем первую строку и первый столбец из рассмотрения и переходим к пункту 1.


1(2). В оставшейся части матрицы выбираем ненулевой элемент наименьшей степени, который равен единице. Меняем местами второй и третий столбцы:


[math]C(\lambda)\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-\lambda^2&1\\ 0&0&\lambda \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-\lambda^2\\ 0&\lambda&0 \end{pmatrix} \!.[/math]

Все элементы ведущей (второй) строки и ведущего (второго) столбца делятся на ведущий элемент (на 1). Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.


3(2). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на [math](-\lambda)[/math], а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на [math]\lambda^2\colon[/math]


[math]С(\lambda)\sim\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-\lambda^2\\ 0&\lambda&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-\lambda^2\\ 0&0&\lambda^3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\lambda^3 \end{pmatrix}\!.[/math]

4(2). Исключаем второй столбец и вторую строку из рассмотрения. Переходим к пункту 1 алгоритма.


1(3). Так как в оставшейся части матрицы имеется единственный элемент, преобразования заканчиваются, матрица приведена к диагональному виду.




Замечания 7.4


1. Диагональный вид λ-матрицы — не единственный. Он зависит от выбранной последовательности элементарных преобразований. Напомним, что простейший вид числовой матрицы определяется единственным образом, несмотря на разные последовательности используемых элементарных преобразований. Для λ-матриц можно уточнить понятие диагонального вида так, чтобы оно отвечало условию единственности. Нормальным диагональным видом λ-матриц n-го порядка называется диагональная матрица


[math]\begin{pmatrix}e_1(\lambda)&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&e_{r}(\lambda)&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\!.[/math]
(7.9)

у которой все многочлены, стоящие на главной диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице; причем многочлен [math]e_2(\lambda)[/math] делится на [math]e_1(\lambda)[/math], [math]e_3(\lambda)[/math] делится на [math]e_2(\lambda)[/math] и т.д. [math]e_r(\lambda)[/math] делится на [math]e_{r-1}(\lambda)[/math]. Количество г ненулевых многочленов больше нуля, так как рассматриваются ненулевые λ-матрицы, и не превосходит порядка матрицы, т.е. [math]1\leqslant r\leqslant n[/math].


2. Чтобы привести λ-матрицу к нормальному диагональному виду, нужно сначала привести матрицу к диагональному виду:


[math]\operatorname{diag}\Bigl(a'_{11}(\lambda),a'_{22}(\lambda),\ldots,a'_{nn}(\lambda)\Bigr).[/math]

Элемент [math]a'_{11}(\lambda)[/math] выбираем в качестве ведущего (если старший коэффициент этого многочлена не равен единице, то разделить на него многочлен). Если среди диагональных элементов есть элемент, например, [math]a'_{ii}(\lambda)[/math], который не делится на ведущий элемент, степень ведущего элемента можно понизить. Для этого прибавляем i-й столбец к ведущему (первому) столбцу, а затем переходим к пункту 2 алгоритма приведения λ-матрицы к диагональному виду.


Если все диагональные элементы делятся на [math]a'_{11}(\lambda)[/math], то, исключив первую строку и первый столбец, следует продолжить преобразования с оставшейся частью диагональной матрицы. Преобразования заканчиваются, если в диагональной матрице остался один ненулевой элемент.


3. Алгоритм приведения λ-матрицы к нормальному диагональному виду отличается от соответствующего алгоритма приведения числовой матрицы к простейшему виду выбором ведущего элемента. Необходимо, чтобы ведущий элемент оказался делителем всех элементов ведущей строки и ведущего столбца (либо всех диагональных элементов, если λ-матрица диагональная). Для этого метод Гаусса дополняется приемами понижения степени ведущего элемента. Действительно, понижая степень многочлена, обязательно получим многочлен, на который делятся другие. В крайнем случае, получим многочлен нулевой степени (отличную от нуля постоянную величину), на который делятся все многочлены.


4. Для λ-матриц, как и для числовых, преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными.


5. Элементарные преобразования числовых матриц можно представить как умножение на элементарные матрицы. Аналогичным образом, λ-матрицу, полученную из единичной матрицы при помощи конечного числа элементарных преобразований, назовем элементарной λ-матрицей. Тогда совокупность элементарных преобразований, приводящих матрицу к нормальному диагональному виду, можно представить как умножение данной λ-матрицы слева и справа на элементарные матрицы. Другими словами, справедливо утверждение: для любой λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] n-го порядка существуют такие элементарные преобразующие матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] n-го порядка, что матрица


[math]\Lambda(\lambda)=S(\lambda)\cdot A(\lambda)\cdot T(\lambda)[/math]
(7.10)

имеет простейший вид (7.9): [math]\Lambda(\lambda)= \operatorname{diag} \Bigl(e_1(\lambda), \ldots, e_r(\lambda),\,0,\ldots,0\Bigr)[/math].


Согласно пункту 4 элементарные матрицы имеют обратные, поэтому (7.10) равносильно равенству [math]A(\lambda)=S^{-1}(\lambda)\Lambda(\lambda)T^{-1}(\lambda)[/math]. Для нахождения элементарных матриц [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] нужно, приписав к данной матрице [math]A(\lambda)[/math] справа и снизу единичные матрицы, составить блочную матрицу [math]\begin{pmatrix}A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}[/math] Элементы правого нижнего блока этой матрицы можно не указывать, так как они не участвуют в дальнейших преобразованиях. Затем при помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый верхний блок [math]A(\lambda)[/math] к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду [math]\begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S(\lambda)\\\hline T(\lambda)\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}[/math], где [math]\Lambda(\lambda)[/math] — матрица простейшего вида (7.9), эквивалентная матрице [math]A(\lambda)[/math], а [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] — искомые преобразующие матрицы, связанные с матрицей [math]A(\lambda)[/math] равенством (7.10).


6. Если λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] эквивалентны, то существуют такие обратимые λ-матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math], что [math]B(\lambda)=S(\lambda)A(\lambda)T(\lambda)[/math].




Пример 7.6. Привести λ-матрицы к нормальному диагональному виду


[math]A(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&\lambda^2-\lambda\\ \lambda^2+\lambda& -\lambda+1\end{pmatrix}\!,\quad B(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda^2+2 \lambda+4\\ \lambda^2-2\lambda+1&0\end{pmatrix}\!,\quad C(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&1&0&\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

Для матрицы [math]A(\lambda)[/math] найти элементарные преобразующие λ-матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math], приводящие ее к виду (7.9).


Решение. Матрица [math]A[/math]. Приписываем к матрице [math]A(\lambda)[/math] справа и снизу единичные матрицы второго порядка [math]\begin{pmatrix} A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}[/math] Приводим блок [math]A(\lambda)[/math] к диагональному виду (см. пример 7.5):


[math]\begin{pmatrix}A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\begin{matrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ \lambda^2+\lambda& -\lambda+1 \end{matrix}\!\!&\vline\!\!& \begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix}\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\begin{matrix}\lambda&\lambda^2-\lambda\\ 0& -\lambda^3+1\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}1&0\\-\lambda-1&1\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} \lambda&0\\ 0& -\lambda^3+1\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}1&0\\-\lambda-1&1\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 1&1-\lambda\\0&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\!.[/math]

Полученный диагональный вид не является нормальным, так как двучлен [math](-\lambda^3+1)[/math] не делится на [math]\lambda[/math]. Продолжаем преобразования согласно пункту 2 замечаний 7.4. Прибавляем к первому столбцу второй. Затем, согласно пункту 2 алгоритма приведения λ-матрицы к диагональному виду, разделим многочлен [math](-\lambda^3+1)[/math] на [math]\lambda:[/math] [math]-\lambda^3+1=(-\lambda^2)\lambda+1[/math] и получим частное [math]p(\lambda)=-\lambda^2[/math]. Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на — [math]p(\lambda)=\lambda^2:[/math]


[math]\begin{pmatrix}A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} \lambda&0\\ -\lambda^3+1& -\lambda^3+1\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}1&0\\-\lambda-1&1\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 2-\lambda&1-\lambda\\1&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} \lambda&0\\ 1& -\lambda^3+1\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}1&0\\ \lambda^2-\lambda-1&1\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 2-\lambda&1-\lambda\\1&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\!.[/math]

Теперь ведущий элемент равен единице. Поэтому меняем местами первую и вторую строки, а затем ко второй строке прибавляем первую, умноженную на [math](-\lambda)\colon[/math]


[math]\begin{pmatrix}A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1& -\lambda^3+1\\ \lambda&0\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}\lambda^2-\lambda-1&1\\ 1&0\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 2-\lambda&1-\lambda\\1&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1& -\lambda^3+1\\ 0&\lambda^4-\lambda\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix}\lambda^2-\lambda-1&1\\ -\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1&-\lambda\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 2-\lambda&1-\lambda\\0&1 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{}\end{pmatrix}\!.[/math]

Прибавляя ко второму столбцу первый, умноженный на [math](\lambda^3-1)[/math], получаем


[math]\begin{pmatrix}A(\lambda)\!\!&\vline\!\!&E\\\hline E\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1& 0\\ 0&\lambda^4-\lambda\end{matrix}\!\!& \vline\!\!& \begin{matrix} \lambda^2-\lambda-1&1\\ -\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1&-\lambda\end{matrix}\\\hline \begin{matrix} 2-\lambda&-\lambda^4+2 \lambda^3-1\\1&\lambda^3 \end{matrix}\!\!& \vline\!\!&{} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S(\lambda)\\\hline T(\lambda)\!\!& \vline\!\!&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]A(\lambda)[/math] приведена к нормальному диагональному виду (7.9), где [math]\Lambda(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0\\0&\lambda^4-\lambda\end{pmatrix}[/math]. Элементарные преобразующие λ-матрицы выписываем, из соответствующих блоков


[math]S(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^2-\lambda-1&1\\ -\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1&-\lambda\end{pmatrix}\!,\quad T(\lambda)= \begin{pmatrix} 2-\lambda&-\lambda^4+2 \lambda^3-1\\1&\lambda^3 \end{pmatrix}\!.[/math]

Проверим равенство (7.10), умножив матрицу [math]A(\lambda)[/math] на элементарные преобразующие λ-матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)\colon[/math]


[math]\begin{aligned}S(\lambda)\cdot A(\lambda)\cdot T(\lambda)&= \begin{pmatrix} \lambda^2-\lambda-1&1\\ -\lambda^3+\lambda^2+ \lambda+1&-\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda&\lambda^2-\lambda\\ \lambda^2+\lambda&-\lambda+1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2-\lambda&-\lambda^4+2 \lambda^3-1\\1&\lambda^3 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} \lambda^2-\lambda-1&1\\ -\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1&-\lambda \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&\lambda^4-\lambda\\ -\lambda^3+ \lambda^2+ \lambda+1& -\lambda^6+ \lambda^5+\lambda^4+ \lambda^3-\lambda^2-\lambda \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 1&0\\0& \lambda^4-\lambda\end{pmatrix}= \Lambda(\lambda). \end{aligned}[/math]

Равенство выполняется. Заметим, что полученные матрицы [math]S(\lambda)[/math] и [math]T(\lambda)[/math] обратимы, так как [math]\det{S(\lambda)}=-1,~\det{T(\lambda)}=1[/math].


Матрица [math]B[/math]. Приводим матрицу к диагональному виду (см. пример 7.5):


[math]B(\lambda)\sim \begin{pmatrix}1&0\\0&\lambda^4+\lambda^2-6 \lambda+4\end{pmatrix}\!.[/math]

Этот вид является нормальным, поскольку многочлен [math]e_2(\lambda)=\lambda^4+\lambda^2-6 \lambda+4[/math] делится на многочлен [math]e_2(\lambda)=1[/math].


Матрица [math]C[/math]. Приводим матрицу [math]C(\lambda)[/math] к диагональному виду (см. пример 7.5):


[math]C(\lambda)\sim \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&\lambda^3 \end{pmatrix}\!.[/math]

Этот вид является нормальным, так как многочлен [math]e_3(\lambda)=\lambda^3[/math] делится на [math]e_2(\lambda)=1[/math], а [math]e_2(\lambda)=1[/math] делится на [math]e_1(\lambda)=1[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved