Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матриц


Квадратную матрицу, полученную из единичной при помощи конечного числа элементарных преобразований, будем называть элементарной. Покажем, что элементарные преобразования можно представить как процесс умножения данной матрицы на элементарные матрицы.


I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы. Пусть дана матрица [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math]. Для перестановки двух столбцов (i-гo и j-го) данной матрицы достаточно умножить ее справа на квадратную матрицу [math]S_{{}_{I}}^{{}^{\Pi}}[/math] n-го порядка вида


[math]S_{{}_{I}}^{{}^{\Pi}}= \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.\\ \begin{smallmatrix}1& \phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}&i&\phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}&j&\phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}&n\end{smallmatrix} \end{matrix}[/math]
(1.1)

Эта матрица получена из единичной матрицы n-го порядка при помощи перестановки i-го и j-го столбцов.


Чтобы поменять местами две строки (i-ю и j-ю) данной матрицы [math]A[/math], достаточно умножить ее слева на элементарную матрицу [math]S_{{}_{I}}^{\land}[/math] m-го порядка вида


[math]S_{{}_{I}}^{\land}= \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!\! \begin{matrix} \scriptstyle{1}\\ \phantom{\vdots}\\ \scriptstyle{i}\\ \phantom{\vdots}\\ \scriptstyle{j}\\ \phantom{\vdots}\\ \scriptstyle{m} \end{matrix}.[/math]
(1.2)

Эта матрица получена из единичной матрицы m-го порядка при помощи перестановки i-й и j-й строк.


Пример 1.33. Дана матрица [math]A= \left(\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&4&5&6\\3&5&6&7\end{smallmatrix}\right)[/math]. Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу [math]S_1= \left(\begin{smallmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{smallmatrix}\right)[/math] приводит к перестановке 2-й и 3-й строк матрицы [math]A[/math], а умножение данной матрицы [math]A[/math] справа на матрицу [math]S_2= \left(\begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0 \end{smallmatrix}\right)[/math] приводит к перестановке 2-го и 4-го столбцов.


▼ Решение

Матрица [math]A[/math] имеет размеры [math]3\times4[/math], т.е. [math]m=3,~n=4[/math]. Матрица [math]S_1[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка при помощи перестановки 2-й и 3-й строк. Находим произведение матрицы [math][/math] на матрицу [math]S_1[/math] слева:


[math]S_1\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&5&6\\3&5&6&7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&5&6&7\\2&4&5&6\end{pmatrix}\!.[/math]

Сравнивая результат с исходной матрицей [math]A[/math], замечаем, что 2-я и 3-я строки поменялись местами.


Матрица [math]S_2[/math] получена из единичной матрицы четвертого порядка при помощи перестановки 2-го и 4-го столбцов. Умножим матрицу [math]A[/math] справа на [math]S_2:[/math]


[math]A\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&5&6\\3&5&6&7\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&4&3&2\\2&6&5&4\\3&7&6&5\end{pmatrix}\!.[/math]

Сравнивая результат с исходной матрицей [math]A[/math], замечаем, что 2-й и 4-й столбцы поменялись местами.


II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля. Пусть дана матрица [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math]. Для умножения всех элементов одного столбца (i-го) данной матрицы на одно и то же число [math]\lambda[/math], отличное от нуля, достаточно умножить матрицу [math]A[/math] справа на элементарную матрицу:


[math]S_{{}_{I\!I}}^{{}^{\Pi}}= \begin{matrix} \begin{pmatrix}1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.\\ \begin{smallmatrix}1& \phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots} &i&\phantom{\cdots \cdots\cdots\cdots}&n\end{smallmatrix}\end{matrix}[/math]
1.3

Эта квадратная матрица n-го порядка получена из единичной матрицы n-го порядка умножением i-го столбца на число [math]\lambda[/math].


Чтобы умножить все элементы i-й строки данной матрицы на одно и то же число [math]\lambda[/math], отличное от нуля, достаточно умножить матрицу [math]A[/math] слева на элементарную матрицу вида:


[math]S_{{}_{I\!I}}^{{}^{\land}}= \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!\!\!\!\!\!& \begin{matrix}{}^{1}\\{}\\{}_{i}\\{}\\{}_{n}\end{matrix}\end{matrix}[/math]
1.4

Эта квадратная матрица m-ro порядка получена из единичной матрицы m-го порядка умножением i-й строки на число [math]\lambda[/math].


Пример 1.34. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}[/math]. Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу [math]S_1=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}[/math] приводит к умножению всех элементов 1-й строки матрицы [math]A[/math] на число 2; умножение матрицы [math]A[/math] справа на матрицу [math]S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}[/math] приводит к умножению 3-го столбца матрицы [math]A[/math] на матрицу на число 3.


▼ Решение

Матрица [math]A[/math] имеет размеры [math]2\times3[/math], т.е. [math]m=1,~n=3[/math]. Матрица [math]S_1[/math] получена из единичной матрицы второго порядка умножением первой строки на число 2. Матрица [math]S_2[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка умножением 3-го столбца на число 3. Находим произведения:


[math]\begin{gathered}S_1\cdot A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4&6\\ 2&3&4\end{pmatrix}\!;\\[5pt] A\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&9\\2&3&12\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

что и требовалось показать.


III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число. Пусть дана матрица [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math]. Чтобы прибавить к одному столбцу (i-му) соответствующие элементы другого столбца (j-го), умноженные на одно и то же число [math]\lambda[/math], достаточно умножить матрицу [math]A[/math] справа на элементарную матрицу вида:


[math]S_{{}_{I\!I\!I}}^{{}^{\Pi}}= \begin{matrix}\begin{pmatrix} 1&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.\\ \begin{smallmatrix}1& \phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}&i& \phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}&j&\phantom{\cdots\cdots\cdots\cdots}& n\end{smallmatrix}\end{matrix}[/math]
(1.5)

Эта квадратная матрица n-го порядка получена из единичной матрицы n-го порядка в результате прибавления к i-му столбцу соответствующих элементов j-го столбца, умноженных на число [math]\lambda[/math].


Чтобы прибавить к одной строке (i-й) соответствующие элементы другой строки (j-й), умноженные на одно и то же число [math]\lambda[/math], достаточно умножить матрицу [math]A[/math] слева на элементарную матрицу вида:


[math]S_{{}_{I\!I}}^{{}^{\land}}= \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots&{}&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&{}&\vdots&{}&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!\!\!\!\!& \begin{matrix}{}^{1}\\{}\\{}_{i}\\{}\\{}_{j}\\{}\\{}_{m}\end{matrix}\end{matrix}[/math]
(1.6)

Эта квадратная матрица m-го порядка получена из единичной матрицы m-го порядка прибавлением к элементам i -й строки соответствующих элементов j-й строки, умноженных на число [math]\lambda[/math].


Пример 1.35. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}[/math]. Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу [math]S_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}[/math] приводит к прибавлению к элементам второй строки соответствующих элементов первой строки, умноженных на (-2).


▼ Решение

Матрица [math]A[/math] имеет размеры [math]2\times3[/math], т.е. [math]m=2,~n=3[/math]. Матрица [math]S_1[/math] получена из единичной матрицы второго порядка путем прибавления к элементам 2-й строки соответствующих элементов 1-й строки, умноженных на число (-2). Находим произведение:


[math]S_1\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\end{pmatrix}\!,[/math]

что и требовалось показать.


Приведение матрицы к ступенчатому виду (методом Гаусса) или к простейшему виду (методом Гаусса-Жордана) сводится к последовательному умножению данной матрицы на элементарные матрицы.


Пример 1.36. Привести матрицу [math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\end{pmatrix}[/math] к простейшему виду 2 4 5 при помощи умножения на элементарные матрицы.


▼ Решение

При помощи элементарных преобразований эта матрица в примере 1.32 была приведена к простейшему виду. Запишем последовательность преобразований, представляя их как умножения на матрицы специального вида.


На первом шаге ко второй строке прибавляли первую, умноженную на (- 2). Этому преобразованию соответствует умножение матрицы [math]A[/math] слева на матрицу [math]S_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}[/math] (см. пример 1.35):


[math]S_1\cdot A= \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix}\!.[/math]

Затем ко второму столбцу прибавили первый, умноженный на (-2), а к третьему — первый, умноженный на (-3). Эти действия соответствуют последовательному умножению данной матрицы справа на матрицы


[math]S_2=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\quad S_3=\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]S_2[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка путем прибавления к элементам 2-го столбца соответствующих элементов 1-го столбца, умноженных на число (-2). Матрица [math]S_3[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка путем прибавления к элементам 3-го столбца соответствующих элементов 1-го столбца, умноженных на число (-3). Находим произведения


[math]\begin{gathered}S_1\cdot A\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!,\\[2pt] S_1\cdot A\cdot S_2\cdot S_3= \begin{pmatrix}1&0&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-`\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Последний шаг — умножение последнего столбца на (-1) и перестановка его на место второго. Этим действиям соответствует последовательное умножение преобразуемой матрицы справа на матрицы


[math]S_4=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,\quad S_5=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]S_4[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка путем умножения элементов 3-го столбца на число (-1). Матрица [math]S_5[/math] получена из единичной матрицы третьего порядка при помощи перестановки 2-го и 3-го столбцов. Находим произведения


[math]\begin{gathered}S_1\cdot A\cdot S_2\cdot S_3\cdot S_4= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!,\\[2pt] S_1\cdot A\cdot S_2\cdot S_3\cdot S_4\cdot S_5= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Таким образом, исходная матрица [math]A[/math] с помощью умножения на элементарные матрицы приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).


Пример 1.37. Привести матрицу к ступенчатому виду при помощи умножения на элементарные матрицы

[math]A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&1&1&2&3&2\\ 0&2&2&1&2&1\\ 0&4&4&4&6&4 \end{pmatrix}[/math]

▼ Решение

При помощи элементарных преобразований эта матрица в примере 1.30 была приведена к ступенчатому виду, причем преобразования выполнялись только над ее строками. Запишем последовательность преобразований, представляя их как умножения матрицы [math]A[/math] слева на элементарные матрицы. Первое преобразование — прибавление ко второй строке первой, умноженной на (-1), — соответствует умножению матрицы [math]A[/math] слева на матрицу


[math]S_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]
Действительно,
[math]S_1A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} 0&1&1&1&1&1\\ 0&1&1&2&3&2\\ 0&2&2&1&2&1\\ 0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&2&2&1&2&1\\ 0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}\!.[/math]

Второе преобразование — прибавление к третьей строке первой, умноженной на (-2), что соответствует умножению матрицы [math]S_1A[/math] слева на матрицу


[math]S_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ -2&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]
Действительно,
[math]S_2S_1A= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ -2&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&2&2&1&2&1\\ 0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&4&4&4&6&4 \end{pmatrix}\!.[/math]

Третье преобразование — прибавление к четвертой строке первой, умноженной на (-4), что соответствует умножению матрицы [math]S_2S_1A[/math] слева на матрицу


[math]S_3=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\-4&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]
Действительно
[math]S_3S_2S_1A= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ -0&0&1&0\\-4&0&0&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Далее были использованы следующие преобразования: к третьей строке прибавляли вторую; умножили третью строку на 0,5; к четвертой строке прибавили третью, умноженную на (-2). Этим преобразованиям соответствует умножение матрицы [math]S_3S_2S_1A[/math] слева на матрицы:


[math]S_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!;\quad S_5=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0,\!5&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!;\quad S_6=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-2&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Действительно, выполняя умножения, получаем ступенчатый вид


[math]S_6S_5S_4S_3S_2S_1A= \begin{pmatrix} 0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]



Приведение матрицы к простейшему виду


Указанные ранее свойства элементарных преобразований можно переформулировать следующим образом:


1. Для любой матрицы [math]A[/math] существует набор таких элементарных матриц [math]S_1,S_2,\ldots,S_p[/math] вида (1.2), (1.4), (1.6), что матрица [math]S_p\cdots S_2S_1A[/math] будет иметь ступенчатый или даже упрощенный вид. В частности, если матрица [math]A[/math] — квадратная, то матрица [math]S_p\cdots S_2S_1A[/math] будет верхней треугольной.


2. Для любой матрицы [math]A[/math] существуют набор таких элементарных матриц [math]S_1,S_2,\ldots,S_p,\,S'_1,\ldots,S'_q[/math] вида (1.1)–(1.6), что матрица [math]S_p\cdots S_2S_1AS'_1S'_2\cdots S'_q[/math] будет иметь простейший вид.


Так как произведение элементарных матриц является элементарной матрицей, то последнее свойство можно сформулировать следующим образом.


Теорема 1.2 о приведении матрицы к простейшему виду. Для любой матрицы [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] существуют такие элементарные матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math] m-го и n-го порядков соответственно, что матрица [math]\Lambda=S\cdot A\cdot T[/math] имеет простейший вид (см. рис. 1.6):


[math]\Lambda=S\cdot A\cdot T=\begin{pmatrix}E_r&\!\!\vline\!\!&O\\ \hline O&\!\!\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!.[/math]
(1.7)

где [math]0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\}[/math]. Матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math] будем называть элементарными преобразующими матрицами.




Алгоритм приведения матрицы к простейшему виду


Для приведения матрицы [math]A[/math] к простейшему виду (1.7) и нахождения элементарных преобразующих матриц [math]S[/math] и [math]T[/math] нужно выполнить следующие действия.


1. Приписав к матрице [math]A[/math] (размеров [math]m\times n[/math]) справа и снизу единичные матрицы [math]E_m[/math] и [math]E_n[/math] соответственно, составить блочную матрицу:


[math]\begin{pmatrix}A&\!\!\vline&\!\! E_m\\ \hline E_n&\!\!\vline&\!\!{}\end{pmatrix}\!.[/math]
(1.8)

Элементы правого нижнего блока этой матрицы можно не указывать, так как они не участвуют в дальнейших преобразованиях, либо считать их равными нулю.


2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый верхний блок [math]A[/math] к простейшему виду (1.7). При этом блочная матрица преобразуется к виду


[math]\begin{pmatrix}\Lambda&\!\!\vline&\!\! S\\ \hline T&\!\!\vline&\!\!{}\end{pmatrix}\!,[/math]
(1.9)

где [math]\Lambda[/math] — матрица простейшего вида, а [math]S[/math] и [math]T[/math] — искомые преобразующие матрицы, связанные с матрицей [math]A[/math] равенством (1.7).


Действительно, элементарные преобразования (указанные в п.2 алгоритма) относятся к первым [math]m[/math] строкам и первым [math]n[/math] столбцам блочной матрицы (1.8). Этим преобразованиям соответствует умножение матрицы (1.8) слева на матрицу [math]\begin{pmatrix}S&\!\!\vline&\!\! O\\ \hline O&\!\!\vline&\!\!E_n\end{pmatrix}[/math] и справа на матрицу [math]\begin{pmatrix}T&\!\!\vline&\!\! O\\ \hline O&\!\!\vline&\!\!E_m\end{pmatrix}[/math], где символом [math]O[/math] обозначены нулевые матрицы соответствующих размеров. Выполняя умножение блочных матриц, получаем


[math]\begin{pmatrix}S&\!\!\vline&\!\! O\\ \hline O&\!\!\vline&\!\!E_n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A&\!\!\vline&\!\! E_m\\ \hline E_n&\!\!\vline&\!\!O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}T&\!\!\vline&\!\! O\\ \hline O&\!\!\vline&\!\!E_m\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}S\cdot A&\!\!\vline&\!\! S\\ \hline E_n&\!\!\vline&\!\!O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}T&\!\!\vline&\!\! O\\ \hline O&\!\!\vline&\!\!E_m\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}S\cdot A\cdot T&\!\!\vline&\!\! S\\ \hline T&\!\!\vline&\!\!O\end{pmatrix}\!.[/math]

Эта матрица совпадает с (1.9), если [math]\Lambda=S\cdot A\cdot T[/math]. Другими словами, если в результате п.2 алгоритма левый верхний блок [math]A[/math] матрицы (1.8) приведен к простейшему виду [math]\Lambda[/math], то в других блоках матрицы (1.9) получаем искомые преобразующие матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math].


Пример 1.38. Привести матрицу [math]A=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\0&1&-1&1\end{pmatrix}[/math] к простейшему виду. Найти элементарные преобразующие матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math], удовлетворяющие равенству (1.7).


▼ Решение

Припишем к матрице [math]A[/math] справа и снизу единичные матрицы соответствующих размеров


[math]\begin{pmatrix}A&\!\!\vline&\!\! E_3\\ \hline E_4&\!\!\vline&\!\!{}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ -1&2&-3&1&\!\!\vline&\!\!0&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Возьмем в качестве ведущего элемент [math]a_{11}=1\ne0[/math]. Ко второй строке прибавим первую:


[math]\begin{pmatrix}1&-1&2&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ -1&2&-3&1&\!\!\vline&\!\!0&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&2&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Ко второму столбцу прибавим первый, к третьему — первый, умноженный на (-2):


[math]\begin{pmatrix}1&-1&2&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&1&-2&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Теперь возьмем в качестве ведущего элемент [math]a_{22}=1\ne0[/math]. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-1):


[math]\begin{pmatrix}1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!0&0&1\\ \hline 1&1&-2&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&0&0&0&\!\!\vline&\!\!-1&-1&1\\ \hline 1&1&-2&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

К третьему столбцу прибавим второй, а к четвертому столбцу — второй, умноженный на (-1):


[math]\begin{pmatrix}1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&-1&1&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&0&0&0&\!\!\vline&\!\!-1&-1&1\\ \hline 1&1&-2&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0&\!\!\vline&\!\!1&0&0\\ 0&1&0&0&\!\!\vline&\!\!1&1&0\\ 0&0&0&0&\!\!\vline&\!\!-1&-1&1\\ \hline 1&1&-1&-1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&1&1&-1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&1&0&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{}\\ 0&0&0&1&\!\!\vline&\!\!{}&{}&{} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\Lambda&\!\!\vline&\!\! S\\\hline T&\!\!\vline&\!\!{}\end{pmatrix}\!.[/math]

В результате преобразований на месте исходной матрицы [math]A[/math] получена матрица


[math]\Lambda= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_2&\!\!\vline&\!\! O\\\hline O&\!\!\vline&\!\!O\end{pmatrix}[/math]

простейшего вида (1.7), а на месте единичных матриц — элементарные преобразующие матрицы


[math]S= \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&1&0\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}\!,\quad T= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Проверим равенство [math]\Lambda=S\cdot A\cdot T[/math], вычисляя произведение


[math]\begin{aligned}S\cdot A\cdot T&= \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\ -1&2&-3&1\\0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\\ &= \begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\0&1&1&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}= \Lambda,\end{aligned}[/math]
что и требовалось показать.



Замечания 1.12


1. Элементарные преобразующие матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math] находятся неоднозначно, так как зависят от выбранной последовательности преобразований.


2. Если требуется найти одну из элементарных преобразующих матриц, например, [math]S[/math], то достаточно применить рассмотренный выше алгоритм к матрице [math](A\mid E_m)[/math]. Выполняя элементарные преобразования над строками матрицы [math](A\mid E_m)[/math] и над первыми ее столбцами, входящими в левый блок, получим матрицу [math](\Lambda\mid S)[/math], где [math]\Lambda[/math] — матрица простейшего вида, а [math]S[/math] — искомая матрица. Если требуется найти одну матрицу [math]T[/math], то выполняем преобразования матрицы [math]\begin{pmatrix}\dfrac{A}{E_n}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\dfrac{\Lambda}{T}\end{pmatrix}[/math].


3. Учитывая свойство 1 элементарных преобразований, теорему 1.1 можно сформулировать следующим образом: для любой матрицы [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] существует такая элементарная матрица [math]S[/math] m-го порядка, что матрица [math]SA[/math] имеет упрощенный вид (см. рис. 1.5).


Для нахождения матрицы [math]S[/math] нужно составить блочную матрицу [math](A\mid E_m)[/math], затем при помощи элементарных преобразований, выполняемых только над строками матрицы [math](A\mid E_m)[/math], привести ее левый блок [math]A[/math] к упрощенному виду. При этом блочная матрица преобразуется к виду [math](\Lambda\mid S)[/math], где ,[math]\Lambda[/math] — матрица упрощенного вида (см. рис. 1.5), а [math]S[/math] — искомая элементарная матрица.


4. Диагональная матрица является элементарной.


Пример 1.39. Найти элементарную преобразующую матрицу [math]S[/math], приводящую матрицу [math]A=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\0&1&-1&1\end{pmatrix}[/math] к упрощенному виду (см. рис. 1.5).


▼ Решение

Припишем к матрице [math]A[/math] справа единичную матрицу 3-го порядка.


[math]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ -1&2&-3&1\!\!&\vline\!\!& 0&1&0\\ 0&1&-1&1\!\!&\vline\!\!& 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Элементарными преобразованиями строк блочной матрицы приводим ее левый блок к упрощенному виду. Для этого ко второй строке прибавляем первую. Затем к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-1), а к первой строке прибавляем вторую. В результате преобразований получаем:


[math]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&2&0\!\!&\vline\!\!& 1&0&0\\ 0&1&-1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&0\\ 0&1&-1&1\!\!&\vline\!\!& 0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1&1\!\!&\vline\!\!& 2&1&0\\ 0&1&-1&1\!\!&\vline\!\!& 1&1&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!& -1&-1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\Lambda\mid S\end{pmatrix}\!.[/math]

Левый блок [math]\Lambda[/math] матрицы [math]\begin{pmatrix}\Lambda\mid S\end{pmatrix}[/math] имеет упрощенный вид, а правый блок -искомая матрица [math]S[/math]. Проверим равенство [math]\Lambda=SA[/math], вычисляя произведение


[math]SA= \begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\0&1&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]SA[/math] действительно имеет упрощенный вид.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved