Двойное векторное произведение и его свойства
Двойным векторным произведением векторов называется вектор , равный векторному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Произведение обозначается также .
Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми для любых векторов :
1. ;
2. ;
3. ;
4. Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе, то координатный столбец двойного векторного произведения находится по формуле (мнемоническое правило: "бац" минус "цаб").
Первое свойство доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе.
Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: , , а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учитывая коммутативность скалярного произведения).
Третье свойство следует из первого (если положить ). Это равенство дает разложение произвольного вектора в виде суммы ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора относительно оси, задаваемой вектором (см. разд. 1.6).
Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется, не переставляя матрицы.
Пример 1.24. Даны векторы . Требуется:
а) показать, что векторы  образуют базис, и найти векторы  взаимного базиса; б) найти двойное векторное произведение ![\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]](data:image/png;base64,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) ; в) найти ортогональную проекцию вектора  на ось, заданную вектором  , и ортогональную составляющую вектора  относительно этой оси.
Решение. а) Поскольку смешанное произведение , найденное в примере 1.22, отлично от нуля, то векторы не компланарны (согласно второму геометрическому свойству смешанного произведения), т.е. образуют базис пространства. Найдем векторы взаимного базиса по формулам пункта 3 замечаний 1.13:
б) По свойству 1 находим
Для нахождения двойного векторного произведения можно использовать матричную форму записи (см. четвертое свойство). Векторам соответствуют координатные столбцы
По свойству 4 получаем координатный столбец двойного векторного произведения :
то есть .
в) Учитывая,что и по свойству 3 находим
т.е. ортогональная проекция , а ортогональная составляющая равна
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|