Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Двойное векторное произведение и его свойства

Двойное векторное произведение и его свойства


Двойным векторным произведением векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] называется вектор [math]\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr][/math], равный векторному произведению вектора [math]\vec{a}[/math] на векторное произведение векторов [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]. Произведение [math]\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr][/math] обозначается также [math]\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})[/math].


Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math]:


1. [math]\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=(\vec{a},\vec{c})\cdot\vec{b}-(\vec{a},\vec{b})\cdot\vec{c}[/math];


2. [math]\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,+\bigl[\vec{b},[\vec{c},\vec{a}]\bigr]\,+\bigl[\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr]\,=\vec{o}[/math];


3. [math]\vec{b}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr],~\vec{a}\ne\vec{o}[/math];


4. Если [math]a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T~b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T,~c=\begin{pmatrix}x_c&y_c&z_c\end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] в стандартном базисе, то координатный столбец [math]d=\begin{pmatrix}x_d&y_d&z_d\end{pmatrix}^T[/math] двойного векторного произведения [math]\vec{d}=\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr][/math] находится по формуле [math]\vec{d}=b\cdot a^T\cdot c-c\cdot a^T\cdot b[/math] (мнемоническое правило: "бац" минус "цаб").


Первое свойство доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе.


Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: [math]\bigl[\vec{b},[\vec{c},\vec{a}]\bigr]\,=(\vec{b},\vec{c})\cdot\vec{c}-(\vec{b},\vec{c})\cdot\vec{a}[/math], [math]\bigl[\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr]\,=(\vec{c},\vec{b})\cdot\vec{a}-(\vec{c},\vec{a})\cdot\vec{b}[/math], а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учитывая коммутативность скалярного произведения).


Третье свойство следует из первого (если положить [math]\vec{c}=\vec{a}[/math]). Это равенство дает разложение произвольного вектора [math]\vec{b}[/math] в виде суммы ортогональной проекции [math]\vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}[/math] и ортогональной составляющей [math]\vec{b}_{\perp\vec{a}}=\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr][/math] вектора [math]\vec{b}[/math] относительно оси, задаваемой вектором [math]\vec{a}[/math] (см. разд. 1.6).


Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется, не переставляя матрицы.




Пример 1.24. Даны векторы [math]\vec{a}=\vec{i}+2{\cdot}\vec{j}+2{\cdot}\vec{k},~\vec{b}=3{\cdot}\vec{i}-2{\cdot}\vec{j}+\vec{k},~\vec{c}=2{\cdot}\vec{i}-1{\cdot}\vec{j}+3{\cdot}\vec{k}[/math]. Требуется:


а) показать, что векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] образуют базис, и найти векторы [math]\vec{a}\,^{\ast}, \vec{b}\,^{\ast}, \vec{c}\,^{\ast}[/math] взаимного базиса;
б) найти двойное векторное произведение [math]\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr][/math];
в) найти ортогональную проекцию вектора [math]\vec{b}[/math] на ось, заданную вектором [math]\vec{a}[/math], и ортогональную составляющую вектора [math]\vec{b}[/math]
относительно этой оси.

Решение. а) Поскольку смешанное произведение [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-17[/math], найденное в примере 1.22, отлично от нуля, то векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] не компланарны (согласно второму геометрическому свойству смешанного произведения), т.е. образуют базис пространства. Найдем векторы взаимного базиса по формулам пункта 3 замечаний 1.13:


[math]\begin{aligned} \vec{a}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{b},\vec{c}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(-5{\cdot}\vec{i}-7{\cdot}\vec{j}+1{\cdot}\vec{k}\bigr);\\ \vec{b}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{c},\vec{a}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(-8{\cdot}\vec{i}-1{\cdot}\vec{j}+5{\cdot}\vec{k}\bigr);\\ \vec{c}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{a},\vec{b}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&2\\3&-2&1\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(6{\cdot}\vec{i}+5{\cdot}\vec{j}-8{\cdot}\vec{k}\bigr). \end{aligned}[/math]

б) По свойству 1 находим


[math]\begin{aligned}\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=\,&(\vec{a},\vec{c})\cdot\vec{b}-(\vec{a},\vec{b})\cdot\vec{c}=\\[3pt]=\,&(1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot3)\bigl(3\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\bigr)\,-\,(1\cdot3+2\cdot(-2)+2\cdot1)\bigl(2\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}\bigr)\,=\\[2pt] =\,&16\cdot\vec{i}-11\cdot\vec{j}+ 3\cdot\vec{k}.\end{aligned}[/math]

Для нахождения двойного векторного произведения можно использовать матричную форму записи (см. четвертое свойство). Векторам [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] соответствуют координатные столбцы


[math]a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\!.[/math]

По свойству 4 получаем координатный столбец [math]\vec{d}[/math] двойного векторного произведения [math]\vec{d}=\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr][/math]:


[math]\begin{aligned} d=&\begin{pmatrix}x_d\\y_d\\z_d\end{pmatrix}= b\cdot a^T\cdot c-c\cdot a^T\cdot b= \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\\[2pt] =&\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot3\end{pmatrix}- \left(\!\!\!\begin{array}{*{20}{r}}2&4&4\\-1&-2&-1\\3&6&6\end{array}\!\!\right)\!\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}18\\-12\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}16\\-11\\3\end{pmatrix}. \end{aligned}[/math]

то есть [math]\vec{d}=16\cdot\vec{i}-11\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}[/math].


в) Учитывая,что [math]|\vec{a}|^2=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=1^2+2^2+2^2=9,~\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1[/math] и


[math]\begin{aligned}\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=\,&\langle\vec{a},\vec{a}\rangle\cdot\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\cdot\vec{a}=9\cdot\vec{b}-1\cdot\vec{a}=\\[2pt]=\,&9\cdot\bigl(3\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\bigr)\,-\,1\cdot\bigl(1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\bigr)\,=\\[2pt]=\,&26\cdot\vec{i}-20\cdot\vec{j}+7\cdot\vec{k}.\end{aligned}[/math]
по свойству 3 находим
[math]\begin{aligned}\vec{b}&=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr]\,=\frac{1}{9}\cdot\vec{a}+\frac{1}{9}\cdot\bigl(9\cdot\vec{b}-1\cdot\vec{a}\bigr)\,=\\[3pt] &=\frac{1}{9}\cdot\bigl(1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\bigr)\,+\frac{1}{9}\cdot\bigl(26\cdot\vec{i}-20\cdot\vec{j}+7\cdot\vec{k}\bigr),\end{aligned}[/math]

т.е. ортогональная проекция [math]\vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{1}{9}\cdot\vec{a}=\frac{1}{9}\cdot\vec{i}+\frac{2}{9}\cdot\vec{j}+\frac{2}{9}\cdot\vec{k}[/math], а ортогональная составляющая равна


[math]\vec{b}_{\perp\vec{a}}=\vec{b}-\vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\vec{b}-\frac{1}{9}\cdot\vec{a}=\frac{26}{9}\cdot\vec{i}-\frac{20}{9}\cdot\vec{j}+\frac{7}{9}\cdot\vec{k}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved