Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Двойное векторное произведение и его свойства

Двойное векторное произведение и его свойства


Двойным векторным произведением векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется вектор \bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr], равный векторному произведению вектора \vec{a} на векторное произведение векторов \vec{b} и \vec{c}. Произведение \bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr] обозначается также \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}).


Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми для любых векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c}:


1. \bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=(\vec{a},\vec{c})\cdot\vec{b}-(\vec{a},\vec{b})\cdot\vec{c};


2. \bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,+\bigl[\vec{b},[\vec{c},\vec{a}]\bigr]\,+\bigl[\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr]\,=\vec{o};


3. \vec{b}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr],~\vec{a}\ne\vec{o};


4. Если a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T~b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T,~c=\begin{pmatrix}x_c&y_c&z_c\end{pmatrix}^T — координатные столбцы векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} в стандартном базисе, то координатный столбец d=\begin{pmatrix}x_d&y_d&z_d\end{pmatrix}^T двойного векторного произведения \vec{d}=\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr] находится по формуле \vec{d}=b\cdot a^T\cdot c-c\cdot a^T\cdot b (мнемоническое правило: "бац" минус "цаб").


Первое свойство доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе.


Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: \bigl[\vec{b},[\vec{c},\vec{a}]\bigr]\,=(\vec{b},\vec{c})\cdot\vec{c}-(\vec{b},\vec{c})\cdot\vec{a}, \bigl[\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr]\,=(\vec{c},\vec{b})\cdot\vec{a}-(\vec{c},\vec{a})\cdot\vec{b}, а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учитывая коммутативность скалярного произведения).


Третье свойство следует из первого (если положить \vec{c}=\vec{a}). Это равенство дает разложение произвольного вектора \vec{b} в виде суммы ортогональной проекции \vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a} и ортогональной составляющей \vec{b}_{\perp\vec{a}}=\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr] вектора \vec{b} относительно оси, задаваемой вектором \vec{a} (см. разд. 1.6).


Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется, не переставляя матрицы.




Пример 1.24. Даны векторы \vec{a}=\vec{i}+2{\cdot}\vec{j}+2{\cdot}\vec{k},~\vec{b}=3{\cdot}\vec{i}-2{\cdot}\vec{j}+\vec{k},~\vec{c}=2{\cdot}\vec{i}-1{\cdot}\vec{j}+3{\cdot}\vec{k}. Требуется:


а) показать, что векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} образуют базис, и найти векторы \vec{a}\,^{\ast}, \vec{b}\,^{\ast}, \vec{c}\,^{\ast} взаимного базиса;
б) найти двойное векторное произведение \bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr];
в) найти ортогональную проекцию вектора \vec{b} на ось, заданную вектором \vec{a}, и ортогональную составляющую вектора \vec{b}
относительно этой оси.

Решение. а) Поскольку смешанное произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-17, найденное в примере 1.22, отлично от нуля, то векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} не компланарны (согласно второму геометрическому свойству смешанного произведения), т.е. образуют базис пространства. Найдем векторы взаимного базиса по формулам пункта 3 замечаний 1.13:


\begin{aligned} \vec{a}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{b},\vec{c}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(-5{\cdot}\vec{i}-7{\cdot}\vec{j}+1{\cdot}\vec{k}\bigr);\\ \vec{b}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{c},\vec{a}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(-8{\cdot}\vec{i}-1{\cdot}\vec{j}+5{\cdot}\vec{k}\bigr);\\ \vec{c}\,^{\ast}=&\frac{[\vec{a},\vec{b}]}{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}=\frac{1}{-17}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&2\\3&-2&1\end{vmatrix}=-\frac{1}{17}\bigl(6{\cdot}\vec{i}+5{\cdot}\vec{j}-8{\cdot}\vec{k}\bigr). \end{aligned}

б) По свойству 1 находим


\begin{aligned}\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=\,&(\vec{a},\vec{c})\cdot\vec{b}-(\vec{a},\vec{b})\cdot\vec{c}=\\[3pt]=\,&(1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot3)\bigl(3\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\bigr)\,-\,(1\cdot3+2\cdot(-2)+2\cdot1)\bigl(2\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}\bigr)\,=\\[2pt] =\,&16\cdot\vec{i}-11\cdot\vec{j}+ 3\cdot\vec{k}.\end{aligned}

Для нахождения двойного векторного произведения можно использовать матричную форму записи (см. четвертое свойство). Векторам \vec{a},\vec{b},\vec{c} соответствуют координатные столбцы


a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\!.

По свойству 4 получаем координатный столбец \vec{d} двойного векторного произведения \vec{d}=\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]:


\begin{aligned} d=&\begin{pmatrix}x_d\\y_d\\z_d\end{pmatrix}= b\cdot a^T\cdot c-c\cdot a^T\cdot b= \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\\[2pt] =&\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot3\end{pmatrix}- \left(\!\!\!\begin{array}{*{20}{r}}2&4&4\\-1&-2&-1\\3&6&6\end{array}\!\!\right)\!\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}18\\-12\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}16\\-11\\3\end{pmatrix}. \end{aligned}

то есть \vec{d}=16\cdot\vec{i}-11\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}.


в) Учитывая,что |\vec{a}|^2=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=1^2+2^2+2^2=9,~\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1 и


\begin{aligned}\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr]\,=\,&\langle\vec{a},\vec{a}\rangle\cdot\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\cdot\vec{a}=9\cdot\vec{b}-1\cdot\vec{a}=\\[2pt]=\,&9\cdot\bigl(3\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\bigr)\,-\,1\cdot\bigl(1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\bigr)\,=\\[2pt]=\,&26\cdot\vec{i}-20\cdot\vec{j}+7\cdot\vec{k}.\end{aligned}
по свойству 3 находим
\begin{aligned}\vec{b}&=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\bigl[\vec{a},[\vec{b},\vec{a}]\bigr]\,=\frac{1}{9}\cdot\vec{a}+\frac{1}{9}\cdot\bigl(9\cdot\vec{b}-1\cdot\vec{a}\bigr)\,=\\[3pt] &=\frac{1}{9}\cdot\bigl(1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\bigr)\,+\frac{1}{9}\cdot\bigl(26\cdot\vec{i}-20\cdot\vec{j}+7\cdot\vec{k}\bigr),\end{aligned}

т.е. ортогональная проекция \vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{1}{9}\cdot\vec{a}=\frac{1}{9}\cdot\vec{i}+\frac{2}{9}\cdot\vec{j}+\frac{2}{9}\cdot\vec{k}, а ортогональная составляющая равна


\vec{b}_{\perp\vec{a}}=\vec{b}-\vec{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}=\vec{b}-\frac{1}{9}\cdot\vec{a}=\frac{26}{9}\cdot\vec{i}-\frac{20}{9}\cdot\vec{j}+\frac{7}{9}\cdot\vec{k}.
Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved