Дифференцирование функций комплексного переменного
Правила дифференцирования
Так как производная функции комплексного переменного определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела , то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение.
Утверждение 2.5
1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, и справедливы равенства:
Из этого свойства и очевидного равенства следует
2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю:
3. Сложная функция комплексного переменного дифференцируема в точке , если в этой точке дифференцируема функция , а функция дифференцируема в точке , где и . При этом в точке имеет место формула
Условия Коши-Римана дифференцируемости функции
Очевидно, между свойствами дифференцируемости функции комплексного переменного как функции точки плоскости и дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных существует тесная связь.
Утверждение 2.6
1. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши-Римана:
(2.19)
2. Если и дифференцируемы в точке и в этой точке выполняются условия (2.19), то функция дифференцируема в точке .
3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:
(2.20)
Доказательство этих утверждений не представляет трудностей и опирается только на определения дифференцируемости функций .
Анализ утверждения 2.6 позволяет сделать следующие полезные для исследования функций на дифференцируемость замечания.
Замечания 2.7
1. Выполнение условий (2.19) является необходимым условием дифференцируемости функции в точке. Следовательно, их невыполнения достаточно для утверждения о том, что функция не является дифференцируемой в соответствующей точке.
2. Условия (2.19) не являются достаточными. Согласно п.2 утверждения 2.6 в соответствующей точке должны быть дифференцируемы функции и . Напомним, что условием дифференцируемости функции двух действительных переменных в точке является существование и непрерывность частных производных в этой точке.
Из утверждения 2.6 и замечаний 2.7 следует правило исследования функции на дифференцируемость.
Правило 2.1. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции.
1. Для заданной функции найти действительную и мнимую части:
2. Найти частные производные функций .
3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия (2.19) выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема.
4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (2.20).
▼ Примеры 2.32-2.34
Пример 2.32. Исследовать на дифференцируемость функцию .
Решение
Для решения выделим два случая. Первый случай. Рассмотрим произвольную точку . Исследование проводим по правилу 2.1. 1. По условию . 2. Очевидно, для любой точки. Находим частные производные функции . Для нахождения положим и, учитывая определение модуля, рассмотрим два случая: (тогда ) и (тогда ). Получаем Аналогично при любом имеем 3. Проверяем условие (2.19). Условие выполняется в точках прямой при любом . Условие выполняется в точках прямой при любом . Вместе эти условия не выполняются ни в одной точке. Согласно п.2 замечаний 2.7 функция не является дифференцируемой. Второй случай. Рассмотрим точку . 1,2. Найдем частные производные функции в точке , используя определение: Аналогично , так как , то и . 3. Условие Коши-Римана (2.19) в точке (то есть ) выполняется. Согласно п.2 замечаний 2.7 следует проверить дифференцируемость функций в точке . Это можно сделать, установив непрерывность частных производных в точке , для чего следует рассмотреть пределы всех найденных в п. "а" производных при , то есть . В данном случае удобнее проверить дифференцируемость в точке по определению производной. В точке рассмотрим произвольное приращение и составим приращение функции . Далее записываем предел Производная в точке существует, если этот предел имеет одно и то же значение при любом стремлении к 0, при этом нельзя ограничиться никаким специальным классом путей. Выберем сначала в качестве пути простейший — прямую или в комплексной форме . Тогда выражение для предела принимает вид из чего следует, что значение предела зависит от , от наклона прямой — т.е. от выбранного пути. В частности, при , т.е. для прямой , можно записать поэтому при , а при . По определению не существует и функция не дифференцируема в точке . Объединяя результаты пунктов "а" и "б" , получаем окончательный ответ: данная функция не дифференцируема всюду.
Пример 2.33. Исследовать на дифференцируемость функции: а) ; б) .
Решение
Пример 2.34. Исследовать на дифференцируемость функцию . Найти производную.
Решение
1. Из равенства находим . 2. Находим частные производные: 3. Условия (2.19) выполняются в любой точке , и частные производные, очевидно, непрерывны всюду. Поэтому функция дифференцируема всюду в . 4. Надо полагать, что . Действительно, записываем производную По формуле (2.20), используя найденные частные производные
Условия Коши-Римана в полярных координатах
Пример 2.35. Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.
Решение. Пусть дифференцируема в точке и . Находим частные производные сложных функций , где
или, в силу условий (2.19),
или, используя условия (2.19):
Сравнивая равенства для и , имеем , а из равенств для и получаем . Выписываем результат:
(2.21)
Это и есть искомые условия Коши-Римана в полярных координатах.
▼ Примеры 2.36-2.37
Пример 2.36. Записать производную функции для случая в полярных координатах.
Решение
Пусть и . Запишем частные производные по правилу дифференцирования сложной функции: Используя условия (2.21), запишем выражение для . Получим Далее находим производные функций и выписываем выражения, стоящие в скобках: Для производной получаем выражение (2.22)
Пример 2.37. Исследовать на дифференцируемость функцию . Найти производную.
Решение
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Производная как функция комплексного переменного определяет отображение некоторой области — области дифференцируемости функции на область . В каждой точке определено комплексное число , следовательно, определены и , если . Геометрически число — длина радиуса-вектора точки , a — угол наклона этого радиуса-вектора к действительной оси.
Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение в точке . Как известно, для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .
Рассмотрим геометрические свойства величин и , полагая , а функцию дифференцируемой в окрестности точки . Так как по определению производной предел в точке не зависит от направления и способа стремления к нулю, то можно взять произвольную гладкую кривую , проходящую через точку , и на ней любую точку из окрестности точки .
Образ кривой при отображении обозначим , образы точек и через и соответственно; из непрерывности отображения очевидно, что и . Приращения переменных и геометрически есть векторы (рис. 2.13,а), их длины — .
Из определения производной и свойства предела имеем , следовательно,
Последнее неравенство, согласно определению, означает . Перепишем его следующим образом:
где и — длины соответствующих дуг кривых и , как известно, эквивалентных при стягивающим их хордам и ; и — элементы длин дуг и в точках и соответственно.
Отношение определяет изменение масштаба (растяжение, сжатие) в точке при отображении . В этом заключается геометрический смысл модуля производной.
Величина не зависит от вида кривой , поэтому отмеченное свойство имеет место и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку .
Следовательно, величина модуля производной есть величина постоянная для данной функции и данной точки .
Для аргумента производной имеет место равенство , где и — углы между действительными осями в плоскостях и соответственно и касательными, проведенными к кривым в точке и в точке (рис. 2.13,а).
Если точки и совместить, то — угол поворота кривой в точке при отображении (рис. 2.13,б).
В этом заключается геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.
Это свойство, очевидно, имеет место и для любой другой гладкой i кривых и проходящих через точки и соответственно, . Из равенств и получаем . Это означает, что угол между кривыми и — в равен углу между кривым и (рис. 2.14). Следовательно, при отображении сохраняются углы между кривыми.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.
Полученные результаты сформулируем в виде утверждения.
Утверждение 2.7
1. Модуль производной функции , дифференцируемой в окрестности точки , есть коэффициент линейного растяжения кривой в точке при отображении .
2. Аргумент производной в точке есть угол поворота кривой в этой точке при отображении .
3. Отображение с помощью дифференцируемой в окрестности точки функции , удовлетворяющее условию , является конформным в точке . Оно обладает свойством постоянства растяжения и сохранения углов. Причем углы сохраняются как по величине, так и по направлению отсчета.
▼ Примеры 2.38-2.40
Пример 2.38. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке при отображении .
Решение
Пример 2.39. Определить, какая часть плоскости при отображении растягивается, а какая — сжимается.
Решение
Пример 2.40. Показать, что при отображении координатная сетка плоскости соответствует двум ортогональным семействам кривых плоскости .
Решение
Так как , то отображение конформно всюду, кроме точки . Координатная сетка плоскости — это совокупность линий . Очевидно, любая пара таких линий в точках пересечения образует прямой угол (рис. 2.15,а). Прообразами этих линий в плоскости (г) будут два семейства гипербол: и (рис. 2.15,б). Они получаются из равенства , то есть или . Линии рассматриваются при любых значениях . Заметим, что при линии проходят через точку , где . Покажем, что гиперболы и при любых пересекаются под прямым углом, т.е. прямой угол образуют касательные к этим кривым в точке пересечения кривых (например, точка на рис. 2.15,б). Угловой коэффициент кривой первого семейства — производную точке — находим по правилу дифференцирования неявной функции для кривой второго семейства . Но в точке пересечения верно равенство , поэтому . Условие ортогональности касательных выполнено: .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|