Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Дифференцирование функций комплексного переменного

Дифференцирование функций комплексного переменного


Правила дифференцирования


Так как производная функции комплексного переменного определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f(z_0)}{\Delta z}, то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение.


Утверждение 2.5


1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, и справедливы равенства:


\begin{aligned}\bigl(f_1(z)+f_2(z)\bigr)'&= f'_1(z)+ f'_2(z),\\ \bigl(f_1(z)\cdot f_2(z)\bigr)'&= f'_1(z)\cdot f_2(z)+ f_1(z)\cdot f'_2(z). \end{aligned}

Из этого свойства и очевидного равенства c'=0~(c=\text{const}) следует


\left(\sum_{k=1}^{n}c_kf_k(z)\right)'= \sum_{k=1}^{n}\bigl(c_k\cdot f'_k(z)\bigr).

2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю:


\left(\frac{f_1(z)}{f_2(z)}\right)'= \frac{f'_1(z)\cdot f_2(z)-f_1(z)\cdot f'_2(z)}{f_2^2(z)}\,.

3. Сложная функция комплексного переменного f(\varphi(z)) дифференцируема в точке z_0, если в этой точке дифференцируема функция \varphi(z), а функция f(u) дифференцируема в точке u_0, где u_0=\varphi(z_0) и u=\varphi(z). При этом в точке z_0 имеет место формула


\bigl(f(\varphi(z))\bigr)'= f'(\varphi(z))\cdot \varphi'(z).

▼ Примеры 2.29-2.31

Пример 2.29. Доказать дифференцируемость во всей плоскости функций: a) w=z; б) w=z^n. Найти их производные.


▼ Решение

а) По определению производной для любой точки z\in \mathbb{C} записываем \lim_{\Delta z\to0}\frac{(z+\Delta z)-z}{\Delta z}=1; предел существует для любой точки z\in\mathbb{C} и z'=1.


б) Для любой точки z_0\in\mathbb{C} и любого приращения \Delta z рассмотрим


\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to0}\frac{(z_0+\Delta z)^n-z_0^n}{\Delta z}\,.

Выражение (z_0+\Delta z)^n раскрываем по формуле бинома Ньютона:


(z_0+\Delta z)^n= z_0^n+ n\cdot z_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\cdot (\Delta z)^2\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^n,

в результате получаем


\begin{aligned}\lim_{\Delta z\to0}\frac{(z_0+\Delta z)^n-z_0^n}{\Delta z}&= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta z \left(nz_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\Delta z\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^{n-1}\right)}{\Delta z }=\\ &=\lim_{\Delta z\to0}\! \left(nz_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\Delta z\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^{n-1}\right)= nz_0^{n-1}.\end{aligned}

Предел существует, следовательно, функция дифференцируема в точке z_0. Так как z_0 — произвольная точка плоскости, то доказана дифференцируемость z^n (n — натуральное) при любом z и получена формула (z^n)'=nz^{n-1}.


Пример 2.30. Исследовать дифференцируемость функций комплексного переменного:

а) P_n(z) — многочлен степени n; б) R(z) — рациональная функция.


▼ Решение

а) Дифференцируемость многочлена в любой точке z\in \mathbb{C} следует из дифференцируемости функции z^n (пример 2.29) и п. 1 утверждения 2.5.


б) Дифференцируемость рациональной функции R(z)=\frac{P_n(z)}{Q_n(z)} отношения двух многочленов в любой точке из области определения, т.е. за исключением нулей знаменателя, получается из результата п. "а" и п. 2 утверждения 2.5.


Пример 2.31. Найти модуль и аргумент производной f'(z) в точке z_0, если

а) f(z)=2iz-3i; б) f(z)=\frac{z-4i}{z+2i},~z_0=1-i; в) f(z)=z^2.


▼ Решение

а) Используя правила дифференцирования, находим f'(z)=2i. Поэтому f'(z_0)=2i для любой точки z_0 и |f'(z_0)|=2,~ \arg f'(z_0)= \frac{\pi}{2}.


б) Используя правила дифференцирования частного, находим


f'(z)= \frac{z+2i-(z-4i)}{(z+2i)^2}= \frac{6i}{(z+2i)^2},\quad f'(z_0)= \frac{6i}{(z_0+2i)^2}= f'(1-i)= \frac{6i}{(1+i)^2}= \frac{6i}{2i}=3.

Поэтому в результате имеем |f'(1-i)|=3,~ \arg f'(1-i)=0.


в) Используя результат примера 2.29, находим (z^2)'=2z, поэтому f'(z_0)= 2z_0 и |f'(z_0)|=2|z_0|,~ \arg f'(z_0)= 2\arg z_0.




Условия Коши-Римана дифференцируемости функции


Очевидно, между свойствами дифференцируемости функции комплексного переменного как функции точки плоскости и дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных существует тесная связь.


Утверждение 2.6


1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной u(x,y) и мнимой v(x,y) частей и выполняются условия Коши-Римана:


\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial v}{\partial y},\\[9pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}= -\dfrac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}
(2.19)

2. Если u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x_0,y_0) и в этой точке выполняются условия (2.19), то функция f(z)=u+iv дифференцируема в точке z_0=x_0+iy_0.


3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:


\begin{array}{ll}f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial x},&\quad f'(z)= \dfrac{\partial v}{\partial y}- i\,\dfrac{\partial u}{\partial y},\\[10pt] f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial u}{\partial y},&\quad f'(z)= \dfrac{\partial v}{\partial y}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial x}. \end{array}
(2.20)

Доказательство этих утверждений не представляет трудностей и опирается только на определения дифференцируемости функций f(z),~ u(x,y),~ v(x,y).


Анализ утверждения 2.6 позволяет сделать следующие полезные для исследования функций на дифференцируемость замечания.


Замечания 2.7


1. Выполнение условий (2.19) является необходимым условием дифференцируемости функции f(z) в точке. Следовательно, их невыполнения достаточно для утверждения о том, что функция не является дифференцируемой в соответствующей точке.


2. Условия (2.19) не являются достаточными. Согласно п.2 утверждения 2.6 в соответствующей точке должны быть дифференцируемы функции u(x,y) и v(x,y). Напомним, что условием дифференцируемости функции двух действительных переменных в точке является существование и непрерывность частных производных в этой точке.


Из утверждения 2.6 и замечаний 2.7 следует правило исследования функции на дифференцируемость.


Правило 2.1. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции.


1. Для заданной функции f(z) найти действительную и мнимую части:


u=\operatorname{Re}f(z),\quad v=\operatorname{Im}f(z),\qquad u=u(x,y),\quad v=v(x,y).

2. Найти частные производные функций u(x,y),~v(x,y).


3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия (2.19) выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема.


4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (2.20).


▼ Примеры 2.32-2.34

Пример 2.32. Исследовать на дифференцируемость функцию f(z)= \sqrt{|x\cdot y|}.


▼ Решение

Для решения выделим два случая.


Первый случай. Рассмотрим произвольную точку z\ne0. Исследование проводим по правилу 2.1.


1. По условию u(x,y)=\sqrt{|x|}\cdot\sqrt{|y|},~ v(x,y)\equiv0.


2. Очевидно, \dfrac{\partial v}{\partial x}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial y}=0 для любой точки. Находим частные производные функции u(x,y). Для нахождения \dfrac{\partial u}{\partial x} положим y=\text{const} и, учитывая определение модуля, рассмотрим два случая: x>0 (тогда |x|=x) и x<0 (тогда |x|=-x). Получаем


\dfrac{\partial u}{\partial x}= \sqrt{|y|}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} при x>0 и \dfrac{\partial u}{\partial x}= \sqrt{|y|}\cdot \frac{-1}{2\sqrt{-x}} при x<0.

Аналогично при любом x=\text{const} имеем


\dfrac{\partial u}{\partial y}= \sqrt{|x|}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} при y>0 и \dfrac{\partial u}{\partial y}= \sqrt{|x|}\cdot \frac{-1}{2\sqrt{-y}} при y<0.

3. Проверяем условие (2.19). Условие \dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial v}{\partial y} выполняется в точках прямой y=0 при любом x\ne0. Условие \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} выполняется в точках прямой x=0 при любом y\ne0. Вместе эти условия не выполняются ни в одной точке. Согласно п.2 замечаний 2.7 функция не является дифференцируемой.


Второй случай. Рассмотрим точку z=0.


1,2. Найдем частные производные функции u=\sqrt{|x\cdot y|} в точке M_0(0;0), используя определение:


\left.{\dfrac{\partial u}{\partial x}}\right|_{M_0}= \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(\Delta x,0)-u(0;0)}{\Delta x}= \lim_{x\to0} \frac{u(x,0)-u(0;0)}{x}= 0, так как u(x,0)=0 при любом x.

Аналогично \left.{\dfrac{\partial u}{\partial y}}\right|_{M_0}= 0, так как v(x,y)=0, то \dfrac{\partial v}{\partial x}=0 и \dfrac{\partial v}{\partial y}=0.


3. Условие Коши-Римана (2.19) в точке M_0 (то есть z=0) выполняется.


Согласно п.2 замечаний 2.7 следует проверить дифференцируемость функций u(x,y),~ v(x,y) в точке M_0. Это можно сделать, установив непрерывность частных производных в точке z=0, для чего следует рассмотреть пределы всех найденных в п. "а" производных при z\to 0, то есть x\to0,~ y\to0.


В данном случае удобнее проверить дифференцируемость f(z) в точке z=0 по определению производной. В точке z_0=0 рассмотрим произвольное приращение \Delta z и составим приращение функции \Delta f(0)= f(\Delta z)-f(0)= f(\Delta z). Далее записываем предел


\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(\Delta z)}{\Delta z}= \lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z}= \lim_{z\to0}\frac{\sqrt{|x\cdot y|}}{x+iy}\,.

Производная в точке z=0 существует, если этот предел имеет одно и то же значение при любом стремлении z к 0, при этом нельзя ограничиться никаким специальным классом путей.


Выберем сначала в качестве пути простейший — прямую y=kx или в комплексной форме z=x(1+ki). Тогда выражение для предела принимает вид


\lim_{z\to0}\frac{\sqrt{kx^2}}{x(1+ik)}= \lim_{z\to0}\frac{|x|\cdot \sqrt{|k|}}{x(1+ik)}\,,

из чего следует, что значение предела зависит от k, от наклона прямой — т.е. от выбранного пути. В частности, при k=1, т.е. для прямой y=x, можно записать


\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2}}{x(1+i)}= \lim_{x\to0} \frac{|x|}{x(1+i)},

поэтому

при x>0~~ \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \frac{1}{1+i}, а при x<0~~ \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= -\frac{1}{1+i}.

По определению \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z} не существует и функция f(z)= \sqrt{|x\cdot y|} не дифференцируема в точке z=0.


Объединяя результаты пунктов "а" и "б" , получаем окончательный ответ: данная функция не дифференцируема всюду.


Пример 2.33. Исследовать на дифференцируемость функции: а) f(z)=|z|^2; б) f(z)=\overline{z}.


▼ Решение

а) Найдем решение, используя правило 2.1.


1. Находим u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z),~ u=x^2+y^2,~ v=0.


2. Определяем частные производные: \frac{\partial u}{\partial x}=2x,~ \frac{\partial u}{\partial y}=2y,~ \frac{\partial v}{\partial x}= 0,~ \frac{\partial v}{\partial y}= 0.


3. Условия Коши-Римана (2.19) выполняются только в точке z=0, где x=0 и y=0. Непрерывность частных производных очевидна. Следовательно, функция f(z)=|z|^2 дифференцируема только в одной точке z=0.


б) Найдем решение, используя также правило 2.1.


1. Находим \operatorname{Re}\overline{z} и \operatorname{Im} \overline{z}, то есть u=x и v=-y.


2,3. Условия (2.19) не выполняются ни в одной точке, так как \frac{\partial u}{\partial x}=1,~ \frac{\partial v}{\partial y}=-1. Следовательно, функция не дифференцируема всюду.


Пример 2.34. Исследовать на дифференцируемость функцию e^z. Найти производную.


▼ Решение

1. Из равенства e^z=e^x(\cos y+i\sin y) находим u=e^x\cos y,~ v=e^x\sin y.


2. Находим частные производные:


\frac{\partial u}{\partial x}= e^x\cos y,\quad \frac{\partial u}{\partial y}= -e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}= e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}= e^x\cos y.

3. Условия (2.19) выполняются в любой точке z\in\mathbb{C}, и частные производные, очевидно, непрерывны всюду. Поэтому функция e^z дифференцируема всюду в \mathbb{C}.


4. Надо полагать, что (e^z)'=e^z. Действительно, записываем производную По формуле (2.20), используя найденные частные производные


f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}+ i\,\frac{\partial v}{\partial x}= e^x(\cos y+i\sin y)= e^x\cdot e^{iy}=e^z.



Условия Коши-Римана в полярных координатах


Пример 2.35. Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.


Решение. Пусть f(z)= u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z и z=r\,e^{i\varphi}. Находим частные производные сложных функций u=u(x,y),~ v=v(x,y), где \begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi, \end{cases}


\begin{aligned}\dfrac{\partial u}{\partial r}&= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial r}+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial r}= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \sin\varphi\,;\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}&= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot(-r\sin\varphi)+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot r\cos\varphi\,. \end{aligned}

или, в силу условий (2.19), \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= -r \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \sin\varphi+ \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \cos\varphi\right)


\begin{aligned}\dfrac{\partial v}{\partial r}& = \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial r}+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial r}= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \sin\varphi\,;\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}&= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial \varphi}= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot(-r\sin\varphi)+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot r\cos\varphi\,. \end{aligned}

или, используя условия (2.19): \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}= r \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \sin\varphi\right)


Сравнивая равенства для \dfrac{\partial u}{\partial r} и \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}, имеем \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}=r\cdot \dfrac{\partial u}{\partial r}, а из равенств для \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} и \dfrac{\partial v}{\partial r} получаем \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}=-r\cdot \dfrac{\partial v}{\partial r}. Выписываем результат:


\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial r}= \dfrac{1}{r}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial \varphi},\\[9pt] \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= -r\cdot \dfrac{\partial v}{\partial r}.\end{cases}
(2.21)

Это и есть искомые условия Коши-Римана в полярных координатах.


▼ Примеры 2.36-2.37

Пример 2.36. Записать производную функции f(z) для случая z=r\,e^{i\varphi} в полярных координатах.


▼ Решение

Пусть f(z)=u+iv,~ u=u(r,\varphi),~ v=v(r,\varphi) и r=\sqrt{x^2+y^2},~ \varphi= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}. Запишем частные производные по правилу дифференцирования сложной функции:


\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial r}{\partial x}+ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}\cdot \dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}= \dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial r}{\partial y}+ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}\cdot \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}.

Используя условия (2.21), запишем выражение для f'(z)\colon\, f'(z)= \dfrac{\partial u}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial u}{\partial y}. Получим


f'(z)= \dfrac{\partial u}{\partial r}\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial r}{\partial y}\right)- r\, \dfrac{\partial v}{\partial r}\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\right)\!.

Далее находим производные функций r(x,y)= \sqrt{x^2+y^2},~ \varphi(x,y)= \operatorname{arctg}\frac{y}{x} и выписываем выражения, стоящие в скобках:


\begin{aligned}\dfrac{\partial r}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial r}{\partial y}&= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}- i\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}= \frac{\overline{z}}{r};\\[5pt] \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}&= \frac{-y}{x^2+y^2}-i\,\frac{x}{x^2+y^2}= -\frac{i(x-iy)}{x^2+y^2}= \frac{-i\cdot \overline{z}}{z\cdot \overline{z}}= -\frac{i\cdot \overline{z}}{r^2}\,.\end{aligned}

Для производной получаем выражение


f'(z)= \frac{\overline{z}}{r} \left(\dfrac{\partial u}{\partial r}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial r}\right)\quad \Leftrightarrow\quad f'(z)= \frac{r}{z} \left(\dfrac{\partial u}{\partial r}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial r}\right)\!.
(2.22)

Пример 2.37. Исследовать на дифференцируемость функцию f(z)= \ln z,~ 0<\arg z<2\pi. Найти производную.


▼ Решение

В области D\colon\, 0<\arg z<2\pi — плоскости с разрезом по действительной положительной полуоси, функция однозначная (см. рис. 2.5). Исследуем ее на дифференцируемость по правилу 2.1, используя запись в полярных координатах.


1. Из равенства \ln z= \ln r+i\,\varphi имеем u(r,\varphi)= \ln r,~ v(r,\varphi)=\varphi.


2. Находим частные производные: \dfrac{\partial u}{\partial r}= \frac{1}{r},~ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial r}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}=1.


3. Условия (2.21) выполняются в любой точке области D, следовательно, функция дифференцируема в области D. Заметим, что, очевидно, дифференцируемой в соответствующей области будет любая однозначная ветвь логарифма, \ln z=\ln r+i(\arg z+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}. Используя формулу (2.22), записываем производную


(\ln z)'= \frac{r}{z}\cdot\! \left(\frac{1}{r}+i\cdot0\right)= \frac{1}{z}\,.



Геометрический смысл модуля и аргумента производной


Производная f'(z) как функция комплексного переменного определяет отображение некоторой области D — области дифференцируемости функции f(z) на область G. В каждой точке z_0\in D определено комплексное число f'(z_0), следовательно, определены |f'(z_0)| и \arg f'(z_0), если f'(z_0)\ne0. Геометрически число |f'(z_0)| — длина радиуса-вектора точки f'(z_0), a \arg f'(z_0) — угол наклона этого радиуса-вектора к действительной оси.


Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение w=f(z) в точке z_0. Как известно, для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная f'(x_0) определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке (x_0,f(x_0)).


Рассмотрим геометрические свойства величин k=|f'(z_0)| и \alpha= \arg f'(z_0), полагая f'(z_0)\ne0, а функцию f(z) дифференцируемой в окрестности точки z_0. Так как по определению производной f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta w}{\Delta z} предел в точке не зависит от направления и способа стремления \Delta z к нулю, то можно взять произвольную гладкую кривую \gamma, проходящую через точку z_0, и на ней любую точку z из окрестности точки z_0.


Образ кривой \gamma при отображении w=f(z) обозначим \Gamma, образы точек z_0 и z через w_0 и w соответственно; из непрерывности отображения очевидно, что w_0\in\Gamma и w\in\Gamma. Приращения переменных \Delta z=z-z_0 и \Delta w=w-w_0 геометрически есть векторы (рис. 2.13,а), их длины — |\Delta z|,~|\Delta w|.


Из определения производной и свойства предела \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}= f'(z) имеем \frac{\Delta w}{\Delta z}=f'(z_0)+\alpha, следовательно,


\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|= \bigl|f'(z_0)+\alpha\bigr|\leqslant \bigl|f'(z_0)\bigr|+ |\alpha|, или \left|\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|-\bigl|f'(z_0)\bigr|\right|\leqslant |\alpha|< \varepsilon для z_0\in O(z_0).

Последнее неравенство, согласно определению, означает |f'(z_0)|= \lim_{\Delta z\to0}\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|. Перепишем его следующим образом:


\bigl|f'(z_0)\bigr|= \lim_{\Delta z\to0}\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta l_{\Gamma}}{\Delta l_{\gamma}}= \frac{d\,l_{\Gamma}}{d\,l_{\gamma}},

где \Delta l_{\Gamma} и \Delta l_{\gamma} — длины соответствующих дуг кривых \Gamma и \gamma, как известно, эквивалентных при |\Delta z|\to0 стягивающим их хордам |\Delta w| и |\Delta z|; d\,l_{\Gamma} и d\,l_{\gamma} — элементы длин дуг \Gamma и \gamma в точках w_0 и z_0 соответственно.


Производная на комплексной плоскости

Отношение \frac{d\,l_{\Gamma}}{d\,l_{\gamma}} определяет изменение масштаба (растяжение, сжатие) в точке z_0 при отображении w=f(z). В этом заключается геометрический смысл модуля производной.


Величина |f'(z_0)| не зависит от вида кривой \gamma, поэтому отмеченное свойство имеет место и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку z_0.


Следовательно, величина k=|f'(z_0)| модуля производной есть величина постоянная для данной функции f(z) и данной точки z_0.


Для аргумента производной имеет место равенство \arg f'(z_0)=\theta-\varphi, где \theta и \varphi — углы между действительными осями в плоскостях (w) и (z) соответственно и касательными, проведенными к кривым \Gamma в точке w_0 и \gamma в точке z_0 (рис. 2.13,а).


Если точки w_0 и z_0 совместить, то \alpha=\arg f'(z_0)= \theta-\varphi — угол поворота кривой \gamma в точке z_0 при отображении w=f(z) (рис. 2.13,б).


В этом заключается геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.


Это свойство, очевидно, имеет место и для любой другой гладкой i кривых \gamma_1 и \Gamma_1 проходящих через точки z_0 и w_0 соответственно, \alpha=\theta_1-\varphi_1. Из равенств \alpha=\theta-\varphi и \alpha=\theta_1-\varphi_1 получаем \theta_1-\theta= \varphi_1-\varphi. Это означает, что угол \beta между кривыми \Gamma_1 и \Gamma,~ \beta=\theta_1-\theta — в равен углу между кривым \gamma_1 и \gamma,~ \beta=\varphi_1-\varphi (рис. 2.14). Следовательно, при отображении сохраняются углы между кривыми.


Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.


Кривые, проходящие через точку, на комплексной



Полученные результаты сформулируем в виде утверждения.


Утверждение 2.7


1. Модуль |f'(z_0)| производной функции f(z), дифференцируемой в окрестности точки z_0, есть коэффициент линейного растяжения кривой в точке z_0 при отображении w=f(z).


2. Аргумент производной в точке есть угол поворота кривой в этой точке при отображении w=f(z).


3. Отображение с помощью дифференцируемой в окрестности точки z_0 функции f(z), удовлетворяющее условию f'(z_0)\ne0, является конформным в точке z_0. Оно обладает свойством постоянства растяжения и сохранения углов. Причем углы сохраняются как по величине, так и по направлению отсчета.


▼ Примеры 2.38-2.40

Пример 2.38. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z=2i при отображении w=\frac{z+1}{z+i}.


▼ Решение

Находим производную w'=\frac{z+i-z-1}{(z+i)^2}, ее значение в точке 2i\colon\, w'(2i)= \frac{1-i}{9}. Коэффициент k растяжения равен модулю производной, k=|w'(2i)|= \frac{1}{9}\sqrt{2}, угол поворота — аргументу производной \arg w'(2i)=-\frac{\pi}{4}.


Пример 2.39. Определить, какая часть плоскости при отображении w=z^2 растягивается, а какая — сжимается.


▼ Решение

Находим производную w'=2z, коэффициент растяжения в любой точке равен |w'(z_0)=2|z_0|,~ k=2|z_0|. Множество точек z_0, для которых k>1, то есть 2|z_0|>1\Rightarrow |z_0|>\frac{1}{2}, очевидно, образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w=z^2 внешность круга |z|>\frac{1}{2} растягивается, а внутренняя часть |z|<\frac{1}{2} сжимается.


Пример 2.40. Показать, что при отображении w=z^2 координатная сетка плоскости (w) соответствует двум ортогональным семействам кривых плоскости (z).


▼ Решение

Так как f'(z)=2z, то отображение w=z^2 конформно всюду, кроме точки z=0. Координатная сетка плоскости (w) — это совокупность линий u=\text{const},~ v=\text{const}. Очевидно, любая пара таких линий в точках пересечения образует прямой угол (рис. 2.15,а). Прообразами этих линий в плоскости (г) будут два семейства гипербол: x^2-y^2=c,~ c\ne0 и 2xy=c,~ c\ne0 (рис. 2.15,б). Они получаются из равенства w=z^2, то есть u+iv=(x+iy)^2 или u=x^2-y^2,~ v=2xy. Линии рассматриваются при любых значениях c\ne0. Заметим, что при c=0 линии y=\pm x,~ y=0,~ x=0 проходят через точку z=0, где f'(0)=0.


Покажем, что гиперболы x^2-y^2=c_2 и 2xy=c_1 при любых c_1,c_2~(c_1\ne0,\,c_2\ne0) пересекаются под прямым углом, т.е. прямой угол образуют касательные к этим кривым в точке пересечения кривых (например, точка A на рис. 2.15,б). Угловой коэффициент кривой первого семейства — производную точке A(x_0, y_0) — находим по правилу дифференцирования неявной функции y'_1(x_0)=-\frac{2x_0}{-2y_0}= \frac{x_0}{y_0} для кривой второго семейства y'_2(x_0)=-\frac{c_1}{2x_0^2}. Но в точке пересечения (x_0,y_0) верно равенство 2x_0y_0=c_1, поэтому y'_2(x_0)=-\frac{2x_0y_0}{x_0^2}=-\frac{y_0}{x_0}.


Условие ортогональности касательных выполнено: y'_1(x_0)\cdot y'_2(x_0)=-1.


Семейства прямых и гипербол на комплексной плоскости
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved