Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Дифференцирование функций комплексного переменного

Дифференцирование функций комплексного переменного


Правила дифференцирования


Так как производная функции комплексного переменного определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела [math]f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f(z_0)}{\Delta z}[/math], то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение.


Утверждение 2.5


1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, и справедливы равенства:


[math]\begin{aligned}\bigl(f_1(z)+f_2(z)\bigr)'&= f'_1(z)+ f'_2(z),\\ \bigl(f_1(z)\cdot f_2(z)\bigr)'&= f'_1(z)\cdot f_2(z)+ f_1(z)\cdot f'_2(z). \end{aligned}[/math]

Из этого свойства и очевидного равенства [math]c'=0~(c=\text{const})[/math] следует


[math]\left(\sum_{k=1}^{n}c_kf_k(z)\right)'= \sum_{k=1}^{n}\bigl(c_k\cdot f'_k(z)\bigr).[/math]

2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю:


[math]\left(\frac{f_1(z)}{f_2(z)}\right)'= \frac{f'_1(z)\cdot f_2(z)-f_1(z)\cdot f'_2(z)}{f_2^2(z)}\,.[/math]

3. Сложная функция комплексного переменного [math]f(\varphi(z))[/math] дифференцируема в точке [math]z_0[/math], если в этой точке дифференцируема функция [math]\varphi(z)[/math], а функция [math]f(u)[/math] дифференцируема в точке [math]u_0[/math], где [math]u_0=\varphi(z_0)[/math] и [math]u=\varphi(z)[/math]. При этом в точке [math]z_0[/math] имеет место формула


[math]\bigl(f(\varphi(z))\bigr)'= f'(\varphi(z))\cdot \varphi'(z).[/math]

▼ Примеры 2.29-2.31

Пример 2.29. Доказать дифференцируемость во всей плоскости функций: a) [math]w=z[/math]; б) [math]w=z^n[/math]. Найти их производные.


▼ Решение

а) По определению производной для любой точки [math]z\in \mathbb{C}[/math] записываем [math]\lim_{\Delta z\to0}\frac{(z+\Delta z)-z}{\Delta z}=1[/math]; предел существует для любой точки [math]z\in\mathbb{C}[/math] и [math]z'=1[/math].


б) Для любой точки [math]z_0\in\mathbb{C}[/math] и любого приращения [math]\Delta z[/math] рассмотрим


[math]\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to0}\frac{(z_0+\Delta z)^n-z_0^n}{\Delta z}\,.[/math]

Выражение [math](z_0+\Delta z)^n[/math] раскрываем по формуле бинома Ньютона:


[math](z_0+\Delta z)^n= z_0^n+ n\cdot z_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\cdot (\Delta z)^2\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^n,[/math]

в результате получаем


[math]\begin{aligned}\lim_{\Delta z\to0}\frac{(z_0+\Delta z)^n-z_0^n}{\Delta z}&= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta z \left(nz_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\Delta z\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^{n-1}\right)}{\Delta z }=\\ &=\lim_{\Delta z\to0}\! \left(nz_0^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}\Delta z\cdot z_0^{n-2}+ \ldots+ (\Delta z)^{n-1}\right)= nz_0^{n-1}.\end{aligned}[/math]

Предел существует, следовательно, функция дифференцируема в точке [math]z_0[/math]. Так как [math]z_0[/math] — произвольная точка плоскости, то доказана дифференцируемость [math]z^n[/math] ([math]n[/math] — натуральное) при любом [math]z[/math] и получена формула [math](z^n)'=nz^{n-1}[/math].


Пример 2.30. Исследовать дифференцируемость функций комплексного переменного:

а) [math]P_n(z)[/math] — многочлен степени [math]n[/math]; б) [math]R(z)[/math] — рациональная функция.


▼ Решение

а) Дифференцируемость многочлена в любой точке [math]z\in \mathbb{C}[/math] следует из дифференцируемости функции [math]z^n[/math] (пример 2.29) и п. 1 утверждения 2.5.


б) Дифференцируемость рациональной функции [math]R(z)=\frac{P_n(z)}{Q_n(z)}[/math] отношения двух многочленов в любой точке из области определения, т.е. за исключением нулей знаменателя, получается из результата п. "а" и п. 2 утверждения 2.5.


Пример 2.31. Найти модуль и аргумент производной [math]f'(z)[/math] в точке [math]z_0[/math], если

а) [math]f(z)=2iz-3i[/math]; б) [math]f(z)=\frac{z-4i}{z+2i},~z_0=1-i[/math]; в) [math]f(z)=z^2[/math].


▼ Решение

а) Используя правила дифференцирования, находим [math]f'(z)=2i[/math]. Поэтому [math]f'(z_0)=2i[/math] для любой точки [math]z_0[/math] и [math]|f'(z_0)|=2,~ \arg f'(z_0)= \frac{\pi}{2}[/math].


б) Используя правила дифференцирования частного, находим


[math]f'(z)= \frac{z+2i-(z-4i)}{(z+2i)^2}= \frac{6i}{(z+2i)^2},\quad f'(z_0)= \frac{6i}{(z_0+2i)^2}= f'(1-i)= \frac{6i}{(1+i)^2}= \frac{6i}{2i}=3.[/math]

Поэтому в результате имеем [math]|f'(1-i)|=3,~ \arg f'(1-i)=0[/math].


в) Используя результат примера 2.29, находим [math](z^2)'=2z[/math], поэтому [math]f'(z_0)= 2z_0[/math] и [math]|f'(z_0)|=2|z_0|,~ \arg f'(z_0)= 2\arg z_0[/math].




Условия Коши-Римана дифференцируемости функции


Очевидно, между свойствами дифференцируемости функции комплексного переменного как функции точки плоскости и дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных существует тесная связь.


Утверждение 2.6


1. Если функция [math]f(z)[/math] дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной [math]u(x,y)[/math] и мнимой [math]v(x,y)[/math] частей и выполняются условия Коши-Римана:


[math]\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial v}{\partial y},\\[9pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}= -\dfrac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}[/math]
(2.19)

2. Если [math]u(x,y)[/math] и [math]v(x,y)[/math] дифференцируемы в точке [math](x_0,y_0)[/math] и в этой точке выполняются условия (2.19), то функция [math]f(z)=u+iv[/math] дифференцируема в точке [math]z_0=x_0+iy_0[/math].


3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:


[math]\begin{array}{ll}f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial x},&\quad f'(z)= \dfrac{\partial v}{\partial y}- i\,\dfrac{\partial u}{\partial y},\\[10pt] f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial u}{\partial y},&\quad f'(z)= \dfrac{\partial v}{\partial y}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial x}. \end{array}[/math]
(2.20)

Доказательство этих утверждений не представляет трудностей и опирается только на определения дифференцируемости функций [math]f(z),~ u(x,y),~ v(x,y)[/math].


Анализ утверждения 2.6 позволяет сделать следующие полезные для исследования функций на дифференцируемость замечания.


Замечания 2.7


1. Выполнение условий (2.19) является необходимым условием дифференцируемости функции [math]f(z)[/math] в точке. Следовательно, их невыполнения достаточно для утверждения о том, что функция не является дифференцируемой в соответствующей точке.


2. Условия (2.19) не являются достаточными. Согласно п.2 утверждения 2.6 в соответствующей точке должны быть дифференцируемы функции [math]u(x,y)[/math] и [math]v(x,y)[/math]. Напомним, что условием дифференцируемости функции двух действительных переменных в точке является существование и непрерывность частных производных в этой точке.


Из утверждения 2.6 и замечаний 2.7 следует правило исследования функции на дифференцируемость.


Правило 2.1. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции.


1. Для заданной функции [math]f(z)[/math] найти действительную и мнимую части:


[math]u=\operatorname{Re}f(z),\quad v=\operatorname{Im}f(z),\qquad u=u(x,y),\quad v=v(x,y).[/math]

2. Найти частные производные функций [math]u(x,y),~v(x,y)[/math].


3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия (2.19) выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема.


4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (2.20).


▼ Примеры 2.32-2.34

Пример 2.32. Исследовать на дифференцируемость функцию [math]f(z)= \sqrt{|x\cdot y|}[/math].


▼ Решение

Для решения выделим два случая.


Первый случай. Рассмотрим произвольную точку [math]z\ne0[/math]. Исследование проводим по правилу 2.1.


1. По условию [math]u(x,y)=\sqrt{|x|}\cdot\sqrt{|y|},~ v(x,y)\equiv0[/math].


2. Очевидно, [math]\dfrac{\partial v}{\partial x}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial y}=0[/math] для любой точки. Находим частные производные функции [math]u(x,y)[/math]. Для нахождения [math]\dfrac{\partial u}{\partial x}[/math] положим [math]y=\text{const}[/math] и, учитывая определение модуля, рассмотрим два случая: [math]x>0[/math] (тогда [math]|x|=x[/math]) и [math]x<0[/math] (тогда [math]|x|=-x[/math]). Получаем


[math]\dfrac{\partial u}{\partial x}= \sqrt{|y|}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}[/math] при [math]x>0[/math] и [math]\dfrac{\partial u}{\partial x}= \sqrt{|y|}\cdot \frac{-1}{2\sqrt{-x}}[/math] при [math]x<0[/math].

Аналогично при любом [math]x=\text{const}[/math] имеем


[math]\dfrac{\partial u}{\partial y}= \sqrt{|x|}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] при [math]y>0[/math] и [math]\dfrac{\partial u}{\partial y}= \sqrt{|x|}\cdot \frac{-1}{2\sqrt{-y}}[/math] при [math]y<0[/math].

3. Проверяем условие (2.19). Условие [math]\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial v}{\partial y}[/math] выполняется в точках прямой [math]y=0[/math] при любом [math]x\ne0[/math]. Условие [math]\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}[/math] выполняется в точках прямой [math]x=0[/math] при любом [math]y\ne0[/math]. Вместе эти условия не выполняются ни в одной точке. Согласно п.2 замечаний 2.7 функция не является дифференцируемой.


Второй случай. Рассмотрим точку [math]z=0[/math].


1,2. Найдем частные производные функции [math]u=\sqrt{|x\cdot y|}[/math] в точке [math]M_0(0;0)[/math], используя определение:


[math]\left.{\dfrac{\partial u}{\partial x}}\right|_{M_0}= \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(\Delta x,0)-u(0;0)}{\Delta x}= \lim_{x\to0} \frac{u(x,0)-u(0;0)}{x}= 0[/math], так как [math]u(x,0)=0[/math] при любом [math]x[/math].

Аналогично [math]\left.{\dfrac{\partial u}{\partial y}}\right|_{M_0}= 0[/math], так как [math]v(x,y)=0[/math], то [math]\dfrac{\partial v}{\partial x}=0[/math] и [math]\dfrac{\partial v}{\partial y}=0[/math].


3. Условие Коши-Римана (2.19) в точке [math]M_0[/math] (то есть [math]z=0[/math]) выполняется.


Согласно п.2 замечаний 2.7 следует проверить дифференцируемость функций [math]u(x,y),~ v(x,y)[/math] в точке [math]M_0[/math]. Это можно сделать, установив непрерывность частных производных в точке [math]z=0[/math], для чего следует рассмотреть пределы всех найденных в п. "а" производных при [math]z\to 0[/math], то есть [math]x\to0,~ y\to0[/math].


В данном случае удобнее проверить дифференцируемость [math]f(z)[/math] в точке [math]z=0[/math] по определению производной. В точке [math]z_0=0[/math] рассмотрим произвольное приращение [math]\Delta z[/math] и составим приращение функции [math]\Delta f(0)= f(\Delta z)-f(0)= f(\Delta z)[/math]. Далее записываем предел


[math]\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(\Delta z)}{\Delta z}= \lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z}= \lim_{z\to0}\frac{\sqrt{|x\cdot y|}}{x+iy}\,.[/math]

Производная в точке [math]z=0[/math] существует, если этот предел имеет одно и то же значение при любом стремлении [math]z[/math] к 0, при этом нельзя ограничиться никаким специальным классом путей.


Выберем сначала в качестве пути простейший — прямую [math]y=kx[/math] или в комплексной форме [math]z=x(1+ki)[/math]. Тогда выражение для предела принимает вид


[math]\lim_{z\to0}\frac{\sqrt{kx^2}}{x(1+ik)}= \lim_{z\to0}\frac{|x|\cdot \sqrt{|k|}}{x(1+ik)}\,,[/math]

из чего следует, что значение предела зависит от [math]k[/math], от наклона прямой — т.е. от выбранного пути. В частности, при [math]k=1[/math], т.е. для прямой [math]y=x[/math], можно записать


[math]\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2}}{x(1+i)}= \lim_{x\to0} \frac{|x|}{x(1+i)},[/math]

поэтому

при [math]x>0~~ \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= \frac{1}{1+i}[/math], а при [math]x<0~~ \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z}= -\frac{1}{1+i}[/math].

По определению [math]\lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta f(0)}{\Delta z}[/math] не существует и функция [math]f(z)= \sqrt{|x\cdot y|}[/math] не дифференцируема в точке [math]z=0[/math].


Объединяя результаты пунктов "а" и "б" , получаем окончательный ответ: данная функция не дифференцируема всюду.


Пример 2.33. Исследовать на дифференцируемость функции: а) [math]f(z)=|z|^2[/math]; б) [math]f(z)=\overline{z}[/math].


▼ Решение

а) Найдем решение, используя правило 2.1.


1. Находим [math]u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z),~ u=x^2+y^2,~ v=0[/math].


2. Определяем частные производные: [math]\frac{\partial u}{\partial x}=2x,~ \frac{\partial u}{\partial y}=2y,~ \frac{\partial v}{\partial x}= 0,~ \frac{\partial v}{\partial y}= 0[/math].


3. Условия Коши-Римана (2.19) выполняются только в точке [math]z=0[/math], где [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math]. Непрерывность частных производных очевидна. Следовательно, функция [math]f(z)=|z|^2[/math] дифференцируема только в одной точке [math]z=0[/math].


б) Найдем решение, используя также правило 2.1.


1. Находим [math]\operatorname{Re}\overline{z}[/math] и [math]\operatorname{Im} \overline{z}[/math], то есть [math]u=x[/math] и [math]v=-y[/math].


2,3. Условия (2.19) не выполняются ни в одной точке, так как [math]\frac{\partial u}{\partial x}=1,~ \frac{\partial v}{\partial y}=-1[/math]. Следовательно, функция не дифференцируема всюду.


Пример 2.34. Исследовать на дифференцируемость функцию [math]e^z[/math]. Найти производную.


▼ Решение

1. Из равенства [math]e^z=e^x(\cos y+i\sin y)[/math] находим [math]u=e^x\cos y,~ v=e^x\sin y[/math].


2. Находим частные производные:


[math]\frac{\partial u}{\partial x}= e^x\cos y,\quad \frac{\partial u}{\partial y}= -e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}= e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}= e^x\cos y.[/math]

3. Условия (2.19) выполняются в любой точке [math]z\in\mathbb{C}[/math], и частные производные, очевидно, непрерывны всюду. Поэтому функция [math]e^z[/math] дифференцируема всюду в [math]\mathbb{C}[/math].


4. Надо полагать, что [math](e^z)'=e^z[/math]. Действительно, записываем производную По формуле (2.20), используя найденные частные производные


[math]f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}+ i\,\frac{\partial v}{\partial x}= e^x(\cos y+i\sin y)= e^x\cdot e^{iy}=e^z.[/math]



Условия Коши-Римана в полярных координатах


Пример 2.35. Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.


Решение. Пусть [math]f(z)= u(x,y)+iv(x,y)[/math] дифференцируема в точке [math]z[/math] и [math]z=r\,e^{i\varphi}[/math]. Находим частные производные сложных функций [math]u=u(x,y),~ v=v(x,y)[/math], где [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi, \end{cases}[/math]


[math]\begin{aligned}\dfrac{\partial u}{\partial r}&= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial r}+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial r}= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \sin\varphi\,;\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}&= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= \dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot(-r\sin\varphi)+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot r\cos\varphi\,. \end{aligned}[/math]

или, в силу условий (2.19), [math]\dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= -r \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \sin\varphi+ \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \cos\varphi\right)[/math]


[math]\begin{aligned}\dfrac{\partial v}{\partial r}& = \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial r}+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial r}= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \sin\varphi\,;\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}&= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot \dfrac{\partial y}{\partial \varphi}= \dfrac{\partial v}{\partial x}\cdot(-r\sin\varphi)+ \dfrac{\partial v}{\partial y}\cdot r\cos\varphi\,. \end{aligned}[/math]

или, используя условия (2.19): [math]\dfrac{\partial v}{\partial \varphi}= r \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\cdot \cos\varphi+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot \sin\varphi\right)[/math]


Сравнивая равенства для [math]\dfrac{\partial u}{\partial r}[/math] и [math]\dfrac{\partial v}{\partial \varphi}[/math], имеем [math]\dfrac{\partial v}{\partial \varphi}=r\cdot \dfrac{\partial u}{\partial r}[/math], а из равенств для [math]\dfrac{\partial u}{\partial \varphi}[/math] и [math]\dfrac{\partial v}{\partial r}[/math] получаем [math]\dfrac{\partial u}{\partial \varphi}=-r\cdot \dfrac{\partial v}{\partial r}[/math]. Выписываем результат:


[math]\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial r}= \dfrac{1}{r}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial \varphi},\\[9pt] \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}= -r\cdot \dfrac{\partial v}{\partial r}.\end{cases}[/math]
(2.21)

Это и есть искомые условия Коши-Римана в полярных координатах.


▼ Примеры 2.36-2.37

Пример 2.36. Записать производную функции [math]f(z)[/math] для случая [math]z=r\,e^{i\varphi}[/math] в полярных координатах.


▼ Решение

Пусть [math]f(z)=u+iv,~ u=u(r,\varphi),~ v=v(r,\varphi)[/math] и [math]r=\sqrt{x^2+y^2},~ \varphi= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}[/math]. Запишем частные производные по правилу дифференцирования сложной функции:


[math]\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial r}{\partial x}+ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}\cdot \dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}= \dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial r}{\partial y}+ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}\cdot \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}.[/math]

Используя условия (2.21), запишем выражение для [math]f'(z)\colon\, f'(z)= \dfrac{\partial u}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial u}{\partial y}[/math]. Получим


[math]f'(z)= \dfrac{\partial u}{\partial r}\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial r}{\partial y}\right)- r\, \dfrac{\partial v}{\partial r}\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\right)\!.[/math]

Далее находим производные функций [math]r(x,y)= \sqrt{x^2+y^2},~ \varphi(x,y)= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}[/math] и выписываем выражения, стоящие в скобках:


[math]\begin{aligned}\dfrac{\partial r}{\partial x}- i\,\dfrac{\partial r}{\partial y}&= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}- i\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}= \frac{\overline{z}}{r};\\[5pt] \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}-i\,\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}&= \frac{-y}{x^2+y^2}-i\,\frac{x}{x^2+y^2}= -\frac{i(x-iy)}{x^2+y^2}= \frac{-i\cdot \overline{z}}{z\cdot \overline{z}}= -\frac{i\cdot \overline{z}}{r^2}\,.\end{aligned}[/math]

Для производной получаем выражение


[math]f'(z)= \frac{\overline{z}}{r} \left(\dfrac{\partial u}{\partial r}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial r}\right)\quad \Leftrightarrow\quad f'(z)= \frac{r}{z} \left(\dfrac{\partial u}{\partial r}+ i\,\dfrac{\partial v}{\partial r}\right)\!.[/math]
(2.22)

Пример 2.37. Исследовать на дифференцируемость функцию [math]f(z)= \ln z,~ 0<\arg z<2\pi[/math]. Найти производную.


▼ Решение

В области [math]D\colon\, 0<\arg z<2\pi[/math] — плоскости с разрезом по действительной положительной полуоси, функция однозначная (см. рис. 2.5). Исследуем ее на дифференцируемость по правилу 2.1, используя запись в полярных координатах.


1. Из равенства [math]\ln z= \ln r+i\,\varphi[/math] имеем [math]u(r,\varphi)= \ln r,~ v(r,\varphi)=\varphi[/math].


2. Находим частные производные: [math]\dfrac{\partial u}{\partial r}= \frac{1}{r},~ \dfrac{\partial u}{\partial \varphi}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial r}=0,~ \dfrac{\partial v}{\partial \varphi}=1[/math].


3. Условия (2.21) выполняются в любой точке области [math]D[/math], следовательно, функция дифференцируема в области [math]D[/math]. Заметим, что, очевидно, дифференцируемой в соответствующей области будет любая однозначная ветвь логарифма, [math]\ln z=\ln r+i(\arg z+2k\pi),~ k\in\mathbb{Z}[/math]. Используя формулу (2.22), записываем производную


[math](\ln z)'= \frac{r}{z}\cdot\! \left(\frac{1}{r}+i\cdot0\right)= \frac{1}{z}\,.[/math]



Геометрический смысл модуля и аргумента производной


Производная [math]f'(z)[/math] как функция комплексного переменного определяет отображение некоторой области [math]D[/math] — области дифференцируемости функции [math]f(z)[/math] на область [math]G[/math]. В каждой точке [math]z_0\in D[/math] определено комплексное число [math]f'(z_0)[/math], следовательно, определены [math]|f'(z_0)|[/math] и [math]\arg f'(z_0)[/math], если [math]f'(z_0)\ne0[/math]. Геометрически число [math]|f'(z_0)|[/math] — длина радиуса-вектора точки [math]f'(z_0)[/math], a [math]\arg f'(z_0)[/math] — угол наклона этого радиуса-вектора к действительной оси.


Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение [math]w=f(z)[/math] в точке [math]z_0[/math]. Как известно, для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная [math]f'(x_0)[/math] определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой [math]y=f(x)[/math] в точке [math](x_0,f(x_0))[/math].


Рассмотрим геометрические свойства величин [math]k=|f'(z_0)|[/math] и [math]\alpha= \arg f'(z_0)[/math], полагая [math]f'(z_0)\ne0[/math], а функцию [math]f(z)[/math] дифференцируемой в окрестности точки [math]z_0[/math]. Так как по определению производной [math]f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to0} \frac{\Delta w}{\Delta z}[/math] предел в точке не зависит от направления и способа стремления [math]\Delta z[/math] к нулю, то можно взять произвольную гладкую кривую [math]\gamma[/math], проходящую через точку [math]z_0[/math], и на ней любую точку [math]z[/math] из окрестности точки [math]z_0[/math].


Образ кривой [math]\gamma[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math] обозначим [math]\Gamma[/math], образы точек [math]z_0[/math] и [math]z[/math] через [math]w_0[/math] и [math]w[/math] соответственно; из непрерывности отображения очевидно, что [math]w_0\in\Gamma[/math] и [math]w\in\Gamma[/math]. Приращения переменных [math]\Delta z=z-z_0[/math] и [math]\Delta w=w-w_0[/math] геометрически есть векторы (рис. 2.13,о), их длины — [math]|\Delta z|,~|\Delta w|[/math].


Из определения производной и свойства предела [math]\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}= f'(z)[/math] имеем [math]\frac{\Delta w}{\Delta z}=f'(z_0)+\alpha[/math], следовательно,


[math]\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|= \bigl|f'(z_0)+\alpha\bigr|\leqslant \bigl|f'(z_0)\bigr|+ |\alpha|[/math], или [math]\left|\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|-\bigl|f'(z_0)\bigr|\right|\leqslant |\alpha|< \varepsilon[/math] для [math]z_0\in O(z_0)[/math].

Последнее неравенство, согласно определению, означает [math]|f'(z_0)|= \lim_{\Delta z\to0}\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|[/math]. Перепишем его следующим образом:


[math]\bigl|f'(z_0)\bigr|= \lim_{\Delta z\to0}\left|\frac{\Delta w}{\Delta z}\right|= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta l_{\Gamma}}{\Delta l_{\gamma}}= \frac{d\,l_{\Gamma}}{d\,l_{\gamma}},[/math]

где [math]\Delta l_{\Gamma}[/math] и [math]\Delta l_{\gamma}[/math] — длины соответствующих дуг кривых [math]\Gamma[/math] и [math]\gamma[/math], как известно, эквивалентных при [math]|\Delta z|\to0[/math] стягивающим их хордам [math]|\Delta w|[/math] и [math]|\Delta z|[/math]; [math]d\,l_{\Gamma}[/math] и [math]d\,l_{\gamma}[/math] — элементы длин дуг [math]\Gamma[/math] и [math]\gamma[/math] в точках [math]w_0[/math] и [math]z_0[/math] соответственно.


Отношение [math]\frac{d\,l_{\Gamma}}{d\,l_{\gamma}}[/math] определяет изменение масштаба (растяжение, сжатие) в точке [math]z_0[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math]. В этом заключается геометрический смысл модуля производной.


Величина [math]|f'(z_0)|[/math] не зависит от вида кривой [math]\gamma[/math], поэтому отмеченное свойство имеет место и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку [math]z_0[/math].


Следовательно, величина [math]k=|f'(z_0)|[/math] модуля производной есть величина постоянная для данной функции [math]f(z)[/math] и данной точки [math]z_0[/math].


Для аргумента производной имеет место равенство [math]\arg f'(z_0)=\theta-\varphi[/math], где [math]\theta[/math] и [math]\varphi[/math] — углы между действительными осями в плоскостях [math](w)[/math] и [math](z)[/math] соответственно и касательными, проведенными к кривым [math]\Gamma[/math] в точке [math]w_0[/math] и [math]\gamma[/math] в точке [math]z_0[/math] (рис.2.13,а).


Если точки [math]w_0[/math] и [math]z_0[/math] совместить, то [math]\alpha=\arg f'(z_0)= \theta-\varphi[/math] — угол поворота кривой [math]\gamma[/math] в точке [math]z_0[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math] (рис.2.13,6).


В этом заключается геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.


Это свойство, очевидно, имеет место и для любой другой гладкой i кривых [math]\gamma_1[/math] и [math]\Gamma_1[/math] проходящих через точки [math]z_0[/math] и [math]w_0[/math] соответственно, [math]\alpha=\theta_1-\varphi_1[/math]. Из равенств [math]\alpha=\theta-\varphi[/math] и [math]\alpha=\theta_1-\varphi_1[/math] получаем [math]\theta_1-\theta= \varphi_1-\varphi[/math]. Это означает, что угол [math]\beta[/math] между кривыми [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma,~ \beta=\theta_1-\theta[/math] — в равен углу между кривым [math]\gamma_1[/math] и [math]\gamma,~ \beta=\varphi_1-\varphi[/math] (рис. 2.14). Следовательно, при отображении сохраняются углы между кривыми.


Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.




Полученные результаты сформулируем в виде утверждения.


Утверждение 2.7


1. Модуль [math]|f'(z_0)|[/math] производной функции [math]f(z)[/math], дифференцируемой в окрестности точки [math]z_0[/math], есть коэффициент линейного растяжения кривой в точке [math]z_0[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math].


2. Аргумент производной в точке есть угол поворота кривой в этой точке при отображении [math]w=f(z)[/math].


3. Отображение с помощью дифференцируемой в окрестности точки [math]z_0[/math] функции [math]f(z)[/math], удовлетворяющее условию [math]f'(z_0)\ne0[/math], является конформным в точке [math]z_0[/math]. Оно обладает свойством постоянства растяжения и сохранения углов. Причем углы сохраняются как по величине, так и по направлению отсчета.


▼ Примеры 2.38-2.40

Пример 2.38. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке [math]z=2i[/math] при отображении [math]w=\frac{z+1}{z+i}[/math].


▼ Решение

Находим производную [math]w'=\frac{z+i-z-1}{(z+i)^2}[/math], ее значение в точке [math]2i\colon\, w'(2i)= \frac{1-i}{9}[/math]. Коэффициент [math]k[/math] растяжения равен модулю производной, [math]k=|w'(2i)|= \frac{1}{9}\sqrt{2}[/math], угол поворота — аргументу производной [math]\arg w'(2i)=-\frac{\pi}{4}[/math].


Пример 2.39. Определить, какая часть плоскости при отображении [math]w=z^2[/math] растягивается, а какая — сжимается.


▼ Решение

Находим производную [math]w'=2z[/math], коэффициент растяжения в любой точке равен [math]|w'(z_0)=2|z_0|,~ k=2|z_0|[/math]. Множество точек [math]z_0[/math], для которых [math]k>1[/math], то есть [math]2|z_0|>1\Rightarrow |z_0|>\frac{1}{2}[/math], очевидно, образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении [math]w=z^2[/math] внешность круга [math]|z|>\frac{1}{2}[/math] растягивается, а внутренняя часть [math]|z|<\frac{1}{2}[/math] сжимается.


Пример 2.40. Показать, что при отображении [math]w=z^2[/math] координатная сетка плоскости [math](w)[/math] соответствует двум ортогональным семействам кривых плоскости [math](z)[/math].


▼ Решение

Так как [math]f'(z)=2z[/math], то отображение [math]w=z^2[/math] конформно всюду, кроме точки [math]z=0[/math]. Координатная сетка плоскости [math](w)[/math] — это совокупность линий [math]u=\text{const},~ v=\text{const}[/math]. Очевидно, любая пара таких линий в точках пересечения образует прямой угол (рис. 2.15,а). Прообразами этих линий в плоскости (г) будут два семейства гипербол: [math]x^2-y^2=c,~ c\ne0[/math] и [math]2xy=c,~ c\ne0[/math] (рис. 2.15,б). Они получаются из равенства [math]w=z^2[/math], то есть [math]u+iv=(x+iy)^2[/math] или [math]u=x^2-y^2,~ v=2xy[/math]. Линии рассматриваются при любых значениях [math]c\ne0[/math]. Заметим, что при [math]c=0[/math] линии [math]y=\pm x,~ y=0,~ x=0[/math] проходят через точку [math]z=0[/math], где [math]f'(0)=0[/math].


Покажем, что гиперболы [math]x^2-y^2=c_2[/math] и [math]2xy=c_1[/math] при любых [math]c_1,c_2~(c_1\ne0,\,c_2\ne0)[/math] пересекаются под прямым углом, т.е. прямой угол образуют касательные к этим кривым в точке пересечения кривых (например, точка [math]A[/math] на рис. 2.15,б). Угловой коэффициент кривой первого семейства — производную точке [math]A(x_0, y_0)[/math] — находим по правилу дифференцирования неявной функции [math]y'_1(x_0)=-\frac{2x_0}{-2y_0}= \frac{x_0}{y_0}[/math] для кривой второго семейства [math]y'_2(x_0)=-\frac{c_1}{2x_0^2}[/math]. Но в точке пересечения [math](x_0,y_0)[/math] верно равенство [math]2x_0y_0=c_1[/math], поэтому [math]y'_2(x_0)=-\frac{2x_0y_0}{x_0^2}=-\frac{y_0}{x_0}[/math].


Условие ортогональности касательных выполнено: [math]y'_1(x_0)\cdot y'_2(x_0)=-1[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved