Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков


Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0 или, если оно разрешено относительно y^{(n)},


y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}).
(1)

Задача нахождения решения y=\varphi(x) уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям


y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0,
(2)

называется задачей Коши для уравнения (1).


Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (1) функция f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})=0


а) непрерывна по всем своим аргументам x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)} в некоторой области D их изменения,


б) имеет ограниченные в области D частные производные \frac{\partial f}{\partial y},~ \frac{\partial f}{\partial y'},~ \frac{\partial f}{\partial y''}, ~\ldots,~ \frac{\partial f}{\partial y^{(n-1)}}, по аргументам y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}, то найдется интервал x_0-h<x<x_0+h, на котором существует единственное решение y=\varphi(x) уравнения (1), удовлетворяющее условиям


y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0,

где значения x=x_0,~y=y_0,~y'=y'_0,~\ldots,~y^{(n-1)}=y_0^{(n-1)} содержатся в области D.


Для уравнения второго порядка y''=f(x,y,y') начальные условия имеют вид


y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0,

где x_0,\,y_0,\,y'_0 — данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку M_0(x_0,y_0) плоскости Oxy с данным тангенсом угла наклона касательной y_0 проходит единственная кривая.


Рассмотрим, например, уравнение y''=\sin{y'}+e^{-x^2y} и начальные условия


y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0.

В данном случае f(x,y,y')\equiv\sin{y'}+e^{-x^2y}. Эта функция определена и непрерывна при всех значениях x,\,y,\,y'. Ее частные производные по y и y' равны соответственно


\frac{\partial f}{\partial y}=-x^2\,e^{-x^2y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y'}=\cos{y'}

и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия


y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0.

существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям.


Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой y=\varphi(x,C_1,C_2,\ldots,C_n), содержащей n произвольных постоянных C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения \widetilde{C}_1,\,\widetilde{C}_2,\,\ldots,\,\widetilde{C}_n, что y=\varphi(x,\widetilde{C}_1,\widetilde{C}_2,\ldots,\widetilde{C}_n) будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.


Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n называется частным решением дифференциального уравнения (1).


Уравнение вида \Phi(x,y,C_1,C_2,\ldots,C_n)=0, которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Давая постоянным C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n, конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.




Пример 1. Показать, что y=C_1x+C_2 есть общее решение дифференциального уравнения y''=0.


Решение. Покажем, что y=C_1x+C_2 удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных C_1 и C_2. В самом деле, имеем y'=C_1,~y''=0.


Пусть теперь заданные произвольные начальные условия y|_{x=x_0}=y_0,~y'|_{x=x_0}=y'_0. Покажем, что постоянные C_1 и C_2 можно подобрать так, что y=C_1x+C_2 будет удовлетворять этим условиям. Имеем y=C_1x+C_2, y'=C_1. Полагая x=x_0, получаем систему


\begin{cases}y_0=C_1x_0+C_2,\\y'_0=C_1,\end{cases}

из которой однозначно определяются C_1=y'_0 и C_2=y_0-x_0y'_0. Таким образом, решение y=y'_0(x-x_0)+y_0 удовлетворяет поставленным начальным условиям.


Геометрически это означает, что через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости Oxy с заданным угловым коэффициентом y'_0 проходит единственная прямая.


Задание одного начального условия, например y|_{x=x_0}=y_0, определяет пучок прямых с центром в точке M_0(x_0,y_0), т.е. одного начального условия недостаточно для выделения единственного решения.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved