Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков


Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид [math]F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0[/math] или, если оно разрешено относительно [math]y^{(n)}[/math],


[math]y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}).[/math]
(1)

Задача нахождения решения [math]y=\varphi(x)[/math] уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям


[math]y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0,[/math]
(2)

называется задачей Коши для уравнения (1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (1) функция [math]f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})=0[/math]


а) непрерывна по всем своим аргументам [math]x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}[/math] в некоторой области [math]D[/math] их изменения,


б) имеет ограниченные в области [math]D[/math] частные производные [math]\frac{\partial f}{\partial y},~ \frac{\partial f}{\partial y'},~ \frac{\partial f}{\partial y''}, ~\ldots,~ \frac{\partial f}{\partial y^{(n-1)}},[/math] по аргументам [math]y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}[/math], то найдется интервал [math]x_0-h<x<x_0+h[/math], на котором существует единственное решение [math]y=\varphi(x)[/math] уравнения (1), удовлетворяющее условиям


[math]y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0,[/math]

где значения [math]x=x_0,~y=y_0,~y'=y'_0,~\ldots,~y^{(n-1)}=y_0^{(n-1)}[/math] содержатся в области [math]D[/math].

Для уравнения второго порядка [math]y''=f(x,y,y')[/math] начальные условия имеют вид


[math]y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0,[/math]

где [math]x_0,\,y_0,\,y'_0[/math] — данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math] плоскости [math]Oxy[/math] с данным тангенсом угла наклона касательной [math]y_0[/math] проходит единственная кривая.

Рассмотрим, например, уравнение [math]y''=\sin{y'}+e^{-x^2y}[/math] и начальные условия


[math]y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0.[/math]

В данном случае [math]f(x,y,y')\equiv\sin{y'}+e^{-x^2y}[/math]. Эта функция определена и непрерывна при всех значениях [math]x,\,y,\,y'[/math]. Ее частные производные по [math]y[/math] и [math]y'[/math] равны соответственно


[math]\frac{\partial f}{\partial y}=-x^2\,e^{-x^2y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y'}=\cos{y'}[/math]

и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия

[math]y|_{x=x_0}=y_0, \quad y'|_{x=x_0}=y'_0.[/math]

существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой [math]y=\varphi(x,C_1,C_2,\ldots,C_n)[/math], содержащей [math]n[/math] произвольных постоянных [math]C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n[/math] таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения [math]\widetilde{C}_1,\,\widetilde{C}_2,\,\ldots,\,\widetilde{C}_n[/math], что [math]y=\varphi(x,\widetilde{C}_1,\widetilde{C}_2,\ldots,\widetilde{C}_n)[/math] будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.


Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных [math]C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n[/math] называется частным решением дифференциального уравнения (1).


Уравнение вида [math]\Phi(x,y,C_1,C_2,\ldots,C_n)=0[/math], которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Давая постоянным [math]C_1,\,C_2,\,\ldots,\,C_n[/math], конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.




Пример 1. Показать, что [math]y=C_1x+C_2[/math] есть общее решение дифференциального уравнения [math]y''=0[/math].


Решение. Покажем, что [math]y=C_1x+C_2[/math] удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math]. В самом деле, имеем [math]y'=C_1,~y''=0[/math].


Пусть теперь заданные произвольные начальные условия [math]y|_{x=x_0}=y_0,~y'|_{x=x_0}=y'_0[/math]. Покажем, что постоянные [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] можно подобрать так, что [math]y=C_1x+C_2[/math] будет удовлетворять этим условиям. Имеем [math]y=C_1x+C_2,[/math] [math]y'=C_1[/math]. Полагая [math]x=x_0[/math], получаем систему


[math]\begin{cases}y_0=C_1x_0+C_2,\\y'_0=C_1,\end{cases}[/math]

из которой однозначно определяются [math]C_1=y'_0[/math] и [math]C_2=y_0-x_0y'_0[/math]. Таким образом, решение [math]y=y'_0(x-x_0)+y_0[/math] удовлетворяет поставленным начальным условиям.

Геометрически это означает, что через каждую точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math] плоскости [math]Oxy[/math] с заданным угловым коэффициентом [math]y'_0[/math] проходит единственная прямая.


Задание одного начального условия, например [math]y|_{x=x_0}=y_0[/math], определяет пучок прямых с центром в точке [math]M_0(x_0,y_0)[/math], т.е. одного начального условия недостаточно для выделения единственного решения.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved