Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид или, если оно разрешено относительно ,
(1)
Задача нахождения решения уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям
(2)
называется задачей Коши для уравнения (1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (1) функция
а) непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области их изменения,
б) имеет ограниченные в области частные производные по аргументам , то найдется интервал , на котором существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
где значения содержатся в области .
Для уравнения второго порядка начальные условия имеют вид
где — данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку плоскости с данным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная кривая.
Рассмотрим, например, уравнение и начальные условия
В данном случае . Эта функция определена и непрерывна при всех значениях . Ее частные производные по и равны соответственно
и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия
существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой , содержащей произвольных постоянных таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения , что будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.
Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным решением дифференциального уравнения (1).
Уравнение вида , которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Давая постоянным , конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
Пример 1. Показать, что есть общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Покажем, что удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных и . В самом деле, имеем .
Пусть теперь заданные произвольные начальные условия . Покажем, что постоянные и можно подобрать так, что будет удовлетворять этим условиям. Имеем . Полагая , получаем систему
из которой однозначно определяются и . Таким образом, решение удовлетворяет поставленным начальным условиям.
Геометрически это означает, что через каждую точку плоскости с заданным угловым коэффициентом проходит единственная прямая.
Задание одного начального условия, например , определяет пучок прямых с центром в точке , т.е. одного начального условия недостаточно для выделения единственного решения.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|