Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными


Дифференциальное уравнение вида [math]\varphi(y)\,dy=f(x)\,dx[/math] называется уравнением с разделенными переменными .


Уравнение вида [math]\varphi_1(x)\psi_1(y)\,dx=\varphi_2(x)\psi_2(y)\,dy[/math], в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от [math]x[/math] и только от [math]y[/math], называется уравнением с разделяющимися переменными.


Путем деления на произведение [math]\psi_1(y)\varphi_2(x)[/math] оно приводится к уравнению с разделенными переменными:


[math]\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\,dx=\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}\,dy.[/math]

Общий интеграл этого уравнения имеет вид


[math]\int\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\,dx-\int\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}\,dx=C.[/math]

Замечание. Деление на произведение [math]\psi_1(y)\varphi_2(x)[/math] может привести к потере частных решений, обращающих в ноль это произведение.


Дифференциальное уравнение вида


[math]\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c),[/math]

где [math]a,b[/math]и[math]c[/math] — постоянные, заменой переменных [math]z=ax+by+c[/math] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.




Пример 1. Решить уравнение [math]3e^x\operatorname{tg}y\,dx+(2-e^x)\sec^2{y}\,dy=0[/math].


Решение. Разделим обе части уравнения на произведение [math](2-e^x)\operatorname{tg}y[/math]:


[math]\frac{3e^x}{2-e^x}\,dx+\frac{\sec^2y}{\operatorname{tg}y}\,dy=0.[/math]

Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем


[math]-3\ln|2-e^x|+\ln|\operatorname{tg}y|=C_1.[/math]

После потенцирования получим [math]\left|\frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}\right|=e^{C_1}[/math] откуда [math]\frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}=\pm e^{C_1}[/math]


Обозначая [math]\pm e^{C_1}=C[/math], будем иметь [math]\frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}=C[/math] или [math]\operatorname{tg}y-C(2-e^x)^3=0[/math]. Мы получили общий интеграл данного уравнения.


При делении на произведение [math](2-e^x)\operatorname{tg}y[/math] предполагалось, что ни один из множителей не обращается в ноль. Приравняв каждый множитель нулю, получим соответственно [math]y=k\pi~(k\in\mathbb{Z}),~x\ln2[/math].


Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что [math]y=k\pi[/math] и [math]x\ln{2}[/math] являются решениями этого уравнения. Они могут быть формально получены из общего интеграла при [math]C=0[/math] и [math]C=\infty[/math]. Последнее означает, что постоянная [math]C[/math] заменяется через [math]\frac{1}{C_2}[/math], после чего общий интеграл примет вид


[math]\operatorname{tg}y-\frac{1}{C_2}(2-e^x)^3=0[/math] или [math]C_2\operatorname{tg}y-(2-e^x)^3=0[/math].

Полагая в последнем равенстве [math]C_2=0[/math], что соответствует [math]C=\infty[/math], будем иметь, что [math](2-e^x)^3=0[/math], откуда и получаем решение [math]x=\ln{2}[/math] исходного уравнения. Итак, функции [math]y=k\pi~(k\in\mathbb{Z})[/math] и [math]x=\ln{2}[/math] являются частными решениями данного уравнения. Поэтому окончательный ответ будет таким:


[math]\operatorname{tg}y-C(2-e^x)^3=0.[/math]



Пример 2. Найти частное решение уравнения [math](1+e^x)yy'=e^x[/math], удовлетворяющее начальному условию [math]y|_{x=0}=1[/math].


Решение. Имеем [math](1+e^x)y\frac{dy}{dx}=e^x.[/math] Разделяя переменные, получаем [math]y\,dy=\frac{e^x}{1+e^x}\,dx[/math]. Интегрируя, найдем общий интеграл

[math]\frac{y^2}{2}=\ln(1+e^x)+C.[/math]
(1)

Полагая [math]x=0[/math] и [math]y=1[/math] будем иметь [math]\frac{1}{2}=\ln{2}+C[/math] , откуда [math]C=\frac{1}{2}-\ln{2}[/math].


Подставляя найденное значение [math]C[/math], получаем частное решение


[math]y^2=1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2,[/math] откуда [math]y=\pm\sqrt{1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2}.[/math]

Из начального условия следует, что [math]y>0~(y|_{x=0}=1>0)[/math], поэтому перед корнем берем знак плюс. Итак, искомое частное решение


[math]y=\sqrt{1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2}.[/math]



Пример 3. Найти частные решения уравнения [math]y'\sin{x}=y\ln{x}[/math], удовлетворяющие начальным условиям: a) [math]y|_{x=\pi/2}=e[/math]; б) [math]y|_{x=\pi/2}=1[/math].


Решение. Имеем [math]\frac{dy}{dx}\sin{x}=y\ln{y}[/math]. Разделяем переменные [math]\frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}}[/math]. Интегрируя, найдем общий интеграл [math]\ln|\ln{y}|=\ln\left|\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right|+\ln{C}[/math]. После потенцирования получим [math]\ln{y}=C\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math] или [math]y=\exp\!\left(C\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)[/math], что является общим решением исходного уравнения.


а) Положим [math]x=\frac{\pi}{2},~y=e[/math], тогда [math]e=C\operatorname{tg}\frac{x}{4}[/math], откуда [math]C=1[/math]. Искомое частное решение [math]y=\exp\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math].


б) Полагая в общем решении [math]x=\frac{\pi}{2},~y=1[/math], будем иметь [math]1=\exp\!\left(C\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right)[/math] откуда [math]C=0[/math]. Искомое частное решение [math]y=1[/math].


Заметим, что в процессе получения общего решения постоянная [math]C[/math] входила под знак логарифма, и, значит, [math]C=0[/math] следует рассматривать как предельное значение. Это частное решение [math]y=1[/math] содержится среди нулей произведения [math]y\ln{x}\sin{x}[/math], на которое мы делили обе части данного уравнения.




Пример 4. Найти такую кривую, проходящую через точку [math](0;-2)[/math], чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы.


Решение. Исходя из геометрического свойства первой производной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривых, удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно [math]\frac{dy}{dx}=y+3[/math]. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение


[math]y=Ce^x-3[/math]
(2)

Так как искомая кривая должна проходить через точку [math](0;-2)[/math], т.е. [math]y|_{x=0}=-2[/math] , то при [math]x=0[/math] получаем [math]-2=C-3[/math], откуда [math]C=1[/math]. Искомая кривая определится уравнением [math]y=e^x-3[/math].




Пример 5. Найти кривую, обладающую тем свойством, что длина ее дуги, заключенной между какими-либо двумя точками [math]P[/math] и [math]Q[/math], пропорциональна разности расстояний этих точек от неподвижной точки [math]O[/math].


Полярная ось и полюс

Решение. Если фиксировать точку [math]P[/math], то дуга [math]QP[/math] будет изменяться пропорционально разности [math]OQ[/math] и постоянной [math]OP[/math]. Введем полярные координаты, беря точку [math]O[/math] за полюс и [math]OP[/math] — за полярную ось (рис. 11). Дифференциал дуги кривой в полярных координатах [math](ds)^2=(dr)^2+(rd\varphi)^2[/math].


Отсюда для нашей задачи имеем [math]k^2(dr)^2=(dr)^2+(rd\varphi)^2[/math] или [math]d\varphi=\sqrt{k^2-1}\frac{dr}{r}[/math].


Интегрируя, находим [math]r=C\exp\frac{\varphi}{\sqrt{k^2-1}}[/math] (логарифмическая спираль).




Пример 6. Допустим, что при постоянной температуре скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыщения последней (предполагается, что вещества, входящие в раствор, химически не действуют друг на друга, и раствор далек еще от насыщения, так как иначе линейный закон для скорости растворения неприменим). Найти зависимость количества растворившегося вещества от времени.


Решение. Пусть [math]P[/math] — количество вещества, дающее насыщенный раствор, и [math]x[/math] — количество уже растворившегося вещества. Тогда получаем дифференциальное уравнение [math]\frac{dx}{dt}=k(P-x)[/math], где [math]k[/math] — известный из опыта коэффициент пропорциональности, a [math]t[/math] — время.


Разделяя переменные, найдем [math]\frac{dx}{P-x}=k\,dt[/math].


Интегрируя, получаем [math]\ln|x-P|=\ln{C}-kt[/math] откуда [math]x=P+Ce^{-kt}[/math].


В начальный момент [math]t=0[/math] имеем [math]x=0[/math], поэтому [math]C=-P[/math], так что окончательно [math]x=P(1-e^{-kt})[/math].




Пример 7. В цилиндрическом сосуде объемом [math]V_0[/math] заключен атмосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема [math]V_1[/math]. Вычислить работу сжатия.


Решение. Известно, что адиабатический процесс характеризуется уравнением Пуассона


[math]\frac{p}{p_0}=\left(\frac{V_0}{V}\right)^{k},[/math]
(3)

где [math]V_0[/math] — первоначальный объем газа, [math]p_0[/math] — первоначальное давление газа, [math]k[/math] — постоянная для данного газа величина.


Обозначим через [math]V[/math] и [math]p[/math] соответственно объем и давление газа в тот момент, когда поршень находится на высоте [math]h[/math], а через [math]S[/math] — площадь поршня. Тогда при опускании поршня на величину [math]dh[/math] объем газа уменьшится на величину [math]dV=S\,dh[/math]. При этом будет выполнена работа


[math]dW=-pS\,dh \quad \text{or} \quad dW=-p\,dV.[/math]
(4)

Находя [math]p[/math] из (3) и подставляя в (4), получаем дифференциальное уравнение процесса


[math]dW=-\frac{p_0V_0^k}{V^k}\,dV.[/math]

Интегрируя это уравнение, будем иметь


[math]W=-p_0V_0^k\int\frac{dV}{V^k}=\frac{p_0V_0^k}{(k-1)V^{k-1}}+C,~k\ne1.[/math]
(5)

Согласно начальному условию [math]W|_{V=V_0}=0[/math] получим [math]C=\frac{p_0V_0}{1-k}[/math].


Таким образом, работа адиабатического сжатия (от [math]V_0[/math] до [math]V[/math]) будет [math]W=\frac{p_0V_0}{k-1}\left[\left({\!\frac{V_0}{V}\right)\!}^{k-1}-1\right][/math].


При [math]V=V_1[/math] получаем [math]W=\frac{p_0V_0}{k-1}\left[\left({\!\frac{V_0}{V_1}\right)\!}^{k-1}-1\right][/math].




Пример 8. Найти решение уравнения

[math]x^3\sin{y}\,y'=2,[/math]
(6)
удовлетворяющее условию
[math]y\to\frac{\pi}{2}, \quad x\to\infty[/math]
(7)

Решение. Разделяя переменные и интегрируя, найдем общий интеграл уравнения: [math]\cos{y}=\frac{1}{x^2}+C[/math].


Начальное условие даёт [math]\cos\frac{\pi}{2}=C[/math], т. е. [math]C=0[/math], так что частный интеграл будет иметь вид [math]\cos{y}=\frac{1}{x^2}[/math]. Ему соответствует бесконечное множество частных решений вида


[math]y=\pm\arccos\frac{1}{x^2}+2\pi{n},~n\in\mathbb{Z}\,.[/math]
(8)

Среди этих решений имеется только одно, удовлетворяющее начальному условию. Это решение найдем, переходя к пределу при [math]x\to\infty[/math] в равенстве (8):


[math]\frac{\pi}{2}=\pm\arccos0+2\pi{n}[/math] или [math]\frac{\pi}{2}=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi{n}[/math], откуда [math]\frac{1}{2}=\pm\frac{1}{2}+2n[/math].

Нетрудно видеть, что получившиеся уравнение имеет два корня: [math]n=0[/math] и [math]n=\frac{1}{2}[/math] , причем корень [math]n=\frac{1}{2}[/math], отвечающий- знаку минус перед [math]\arccos\frac{1}{x^2}[/math], не подходит, так как [math]n\in\mathbb{Z}[/math]. Таким образом, искомое частное решение уравнения будет [math]y=\arccos\frac{1}{x^2}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved