Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными


Дифференциальное уравнение вида \varphi(y)\,dy=f(x)\,dx называется уравнением с разделенными переменными .


Уравнение вида \varphi_1(x)\psi_1(y)\,dx=\varphi_2(x)\psi_2(y)\,dy, в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.


Путем деления на произведение \psi_1(y)\varphi_2(x) оно приводится к уравнению с разделенными переменными:


\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\,dx=\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}\,dy.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид


\int\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\,dx-\int\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}\,dx=C.

Замечание. Деление на произведение \psi_1(y)\varphi_2(x) может привести к потере частных решений, обращающих в ноль это произведение.


Дифференциальное уравнение вида


\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c),

где a,bиc — постоянные, заменой переменных z=ax+by+c преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.




Пример 1. Решить уравнение 3e^x\operatorname{tg}y\,dx+(2-e^x)\sec^2{y}\,dy=0.


Решение. Разделим обе части уравнения на произведение (2-e^x)\operatorname{tg}y:


\frac{3e^x}{2-e^x}\,dx+\frac{\sec^2y}{\operatorname{tg}y}\,dy=0.

Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем


-3\ln|2-e^x|+\ln|\operatorname{tg}y|=C_1.

После потенцирования получим \left|\frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}\right|=e^{C_1} откуда \frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}=\pm e^{C_1}


Обозначая \pm e^{C_1}=C, будем иметь \frac{\operatorname{tg}y}{(2-e^x)^3}=C или \operatorname{tg}y-C(2-e^x)^3=0. Мы получили общий интеграл данного уравнения.


При делении на произведение (2-e^x)\operatorname{tg}y предполагалось, что ни один из множителей не обращается в ноль. Приравняв каждый множитель нулю, получим соответственно y=k\pi~(k\in\mathbb{Z}),~x\ln2.


Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что y=k\pi и x\ln{2} являются решениями этого уравнения. Они могут быть формально получены из общего интеграла при C=0 и C=\infty. Последнее означает, что постоянная C заменяется через \frac{1}{C_2}, после чего общий интеграл примет вид


\operatorname{tg}y-\frac{1}{C_2}(2-e^x)^3=0 или C_2\operatorname{tg}y-(2-e^x)^3=0.

Полагая в последнем равенстве C_2=0, что соответствует C=\infty, будем иметь, что (2-e^x)^3=0, откуда и получаем решение x=\ln{2} исходного уравнения. Итак, функции y=k\pi~(k\in\mathbb{Z}) и x=\ln{2} являются частными решениями данного уравнения. Поэтому окончательный ответ будет таким:


\operatorname{tg}y-C(2-e^x)^3=0.



Пример 2. Найти частное решение уравнения (1+e^x)yy'=e^x, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=1.


Решение. Имеем (1+e^x)y\frac{dy}{dx}=e^x. Разделяя переменные, получаем y\,dy=\frac{e^x}{1+e^x}\,dx. Интегрируя, найдем общий интеграл

\frac{y^2}{2}=\ln(1+e^x)+C.
(1)

Полагая x=0 и y=1 будем иметь \frac{1}{2}=\ln{2}+C , откуда C=\frac{1}{2}-\ln{2}.


Подставляя найденное значение C, получаем частное решение


y^2=1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2, откуда y=\pm\sqrt{1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2}.

Из начального условия следует, что y>0~(y|_{x=0}=1>0), поэтому перед корнем берем знак плюс. Итак, искомое частное решение


y=\sqrt{1+\ln{\!\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\!}^2}.



Пример 3. Найти частные решения уравнения y'\sin{x}=y\ln{x}, удовлетворяющие начальным условиям: a) y|_{x=\pi/2}=e; б) y|_{x=\pi/2}=1.


Решение. Имеем \frac{dy}{dx}\sin{x}=y\ln{y}. Разделяем переменные \frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}}. Интегрируя, найдем общий интеграл \ln|\ln{y}|=\ln\left|\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right|+\ln{C}. После потенцирования получим \ln{y}=C\operatorname{tg}\frac{x}{2} или y=\exp\!\left(C\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right), что является общим решением исходного уравнения.


а) Положим x=\frac{\pi}{2},~y=e, тогда e=C\operatorname{tg}\frac{x}{4}, откуда C=1. Искомое частное решение y=\exp\operatorname{tg}\frac{x}{2}.


б) Полагая в общем решении x=\frac{\pi}{2},~y=1, будем иметь 1=\exp\!\left(C\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) откуда C=0. Искомое частное решение y=1.


Заметим, что в процессе получения общего решения постоянная C входила под знак логарифма, и, значит, C=0 следует рассматривать как предельное значение. Это частное решение y=1 содержится среди нулей произведения y\ln{x}\sin{x}, на которое мы делили обе части данного уравнения.




Пример 4. Найти такую кривую, проходящую через точку (0;-2), чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы.


Решение. Исходя из геометрического свойства первой производной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривых, удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно \frac{dy}{dx}=y+3. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение


y=Ce^x-3
(2)

Так как искомая кривая должна проходить через точку (0;-2), т.е. y|_{x=0}=-2 , то при x=0 получаем -2=C-3, откуда C=1. Искомая кривая определится уравнением y=e^x-3.




Пример 5. Найти кривую, обладающую тем свойством, что длина ее дуги, заключенной между какими-либо двумя точками P и Q, пропорциональна разности расстояний этих точек от неподвижной точки O.


Полярная ось и полюс

Решение. Если фиксировать точку P, то дуга QP будет изменяться пропорционально разности OQ и постоянной OP. Введем полярные координаты, беря точку O за полюс и OP — за полярную ось (рис. 11). Дифференциал дуги кривой в полярных координатах (ds)^2=(dr)^2+(rd\varphi)^2.


Отсюда для нашей задачи имеем k^2(dr)^2=(dr)^2+(rd\varphi)^2 или d\varphi=\sqrt{k^2-1}\frac{dr}{r}.


Интегрируя, находим r=C\exp\frac{\varphi}{\sqrt{k^2-1}} (логарифмическая спираль).




Пример 6. Допустим, что при постоянной температуре скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыщения последней (предполагается, что вещества, входящие в раствор, химически не действуют друг на друга, и раствор далек еще от насыщения, так как иначе линейный закон для скорости растворения неприменим). Найти зависимость количества растворившегося вещества от времени.


Решение. Пусть P — количество вещества, дающее насыщенный раствор, и x — количество уже растворившегося вещества. Тогда получаем дифференциальное уравнение \frac{dx}{dt}=k(P-x), где k — известный из опыта коэффициент пропорциональности, а t — время.


Разделяя переменные, найдем \frac{dx}{P-x}=k\,dt.


Интегрируя, получаем \ln|x-P|=\ln{C}-kt откуда x=P+Ce^{-kt}.


В начальный момент t=0 имеем x=0, поэтому C=-P, так что окончательно x=P(1-e^{-kt}).




Пример 7. В цилиндрическом сосуде объемом V_0 заключен атмосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема V_1. Вычислить работу сжатия.


Решение. Известно, что адиабатический процесс характеризуется уравнением Пуассона


\frac{p}{p_0}=\left(\frac{V_0}{V}\right)^{k},
(3)

где V_0 — первоначальный объем газа, p_0 — первоначальное давление газа, k — постоянная для данного газа величина.


Обозначим через V и p соответственно объем и давление газа в тот момент, когда поршень находится на высоте h, а через S — площадь поршня. Тогда при опускании поршня на величину dh объем газа уменьшится на величину dV=S\,dh. При этом будет выполнена работа


dW=-pS\,dh \quad \text{or} \quad dW=-p\,dV.
(4)

Находя p из (3) и подставляя в (4), получаем дифференциальное уравнение процесса


dW=-\frac{p_0V_0^k}{V^k}\,dV.

Интегрируя это уравнение, будем иметь


W=-p_0V_0^k\int\frac{dV}{V^k}=\frac{p_0V_0^k}{(k-1)V^{k-1}}+C,~k\ne1.
(5)

Согласно начальному условию W|_{V=V_0}=0 получим C=\frac{p_0V_0}{1-k}.


Таким образом, работа адиабатического сжатия (от V_0 до V) будет W=\frac{p_0V_0}{k-1}\left[{\!\left(\frac{V_0}{V}\right)\!}^{k-1}-1\right].


При V=V_1 получаем W=\frac{p_0V_0}{k-1}\left[{\!\left(\frac{V_0}{V_1}\right)\!}^{k-1}-1\right].




Пример 8. Найти решение уравнения

x^3\sin{y}\,y'=2,
(6)
удовлетворяющее условию
y\to\frac{\pi}{2}, \quad x\to\infty
(7)

Решение. Разделяя переменные и интегрируя, найдем общий интеграл уравнения: \cos{y}=\frac{1}{x^2}+C.


Начальное условие даёт \cos\frac{\pi}{2}=C, т. е. C=0, так что частный интеграл будет иметь вид \cos{y}=\frac{1}{x^2}. Ему соответствует бесконечное множество частных решений вида


y=\pm\arccos\frac{1}{x^2}+2\pi{n},~n\in\mathbb{Z}\,.
(8)

Среди этих решений имеется только одно, удовлетворяющее начальному условию. Это решение найдем, переходя к пределу при x\to\infty в равенстве (8):


\frac{\pi}{2}=\pm\arccos0+2\pi{n} или \frac{\pi}{2}=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi{n}, откуда \frac{1}{2}=\pm\frac{1}{2}+2n.

Нетрудно видеть, что получившиеся уравнение имеет два корня: n=0 и n=\frac{1}{2} , причем корень n=\frac{1}{2}, отвечающий- знаку минус перед \arccos\frac{1}{x^2}, не подходит, так как n\in\mathbb{Z}. Таким образом, искомое частное решение уравнения будет y=\arccos\frac{1}{x^2}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved