Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной
Пусть имеем дифференциальное уравнение
(1)
Решаем это уравнение относительно . Пусть
— вещественные решения уравнения (1).
Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:
где есть интеграл уравнения .
Таким образом, через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Разрешим это уравнение относительно :
откуда
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разрешим уравнение относительно переменной :
Положим , где — параметр; тогда получим Дифференцируя, найдем . Но так как , то будем иметь
или
Рассмотрим два случая:
1) , откуда , где — произвольная постоянная. Подставляя значение , получаем общее решение данного уравнения:
В равенстве нельзя заменить на и интегрировать полученное уравнение (так как при этом появится вторая произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка).
2) , откуда . Подставляя, получим еще одно решение .
Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точке решения , т.е. является ли оно особым (см. часть 1.11). Для этого возьмем на интегральной кривой произвольную точку , где . Будем теперь искать решение, которое содержится в общем решении и график которого проходит через точку . Подставляя координаты этой точки в общее решение , будем иметь
или
откуда . Это значение постоянной подставим в . Тогда получим частное решение
которое не совпадает с решением . Для этих решений имеем соответственно . При обе производные совпадают. Следовательно, в точке нарушается свойство единственности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые с одной и той же касательной. Так как произвольно, то единственность нарушается в каждой точке решения , а это означает, что оно является особым.
2°. Уравнения вида f(y,y')=0 и f(x,y')=0
Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно .
А. Уравнение вида разрешимо относительно :
Полагаем , тогда . Дифференцируя это уравнение и заменяя на , получим
Получаем общее решение уравнения в параметрической форме
(6)
Пример 3. Решить уравнение , где — постоянные.
Решение. Положим , тогда , или . Отсюда и .
Общим решением будет .
Б. Если уравнение вида неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно , но допускает выражение и через некоторый параметр :
то поступаем следующим образом. Имеем . С другой стороны, , так что и ; отсюда
Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Полагаем , тогда имеем
Отсюда , общее решение .
В. Уравнение вида . Пусть это уравнение разрешимо относительно , то есть .
Полагая , получим . Но и, следовательно, , так что
и
Таким образом — общее решение уравнения в параметрической форме ( — параметр).
Замечание. В формулах нельзя рассматривать как производную. В них является просто параметром.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Положим , тогда
Итак, — общее решение.
Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение методом введения параметра .
3°. Уравнения Лагранжа
Уравнение Лагранжа имеет вид
Полагая , дифференцируя по и заменяя на , приводим это уравнение к линейному относительно как функции . Находя решение этого последнего уравнения , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:
( —параметр).
Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида , где — корень уравнения .
Пример 6. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагаем , тогда . Дифференцируя, находим
Получили уравнение первого порядка, линейное относительно ; решая его, находим
Подставляя найденное значение в выражение для , получим окончательно
Уравнения Клеро
Уравнение Клеро имеет вид .
Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений .
Пример 7. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагая , получаем . Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем
откуда
Приравнивая нулю первый множитель, получаем , откуда и общее решение исходного уравнения есть , однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель, будем иметь . Исключая из этого уравнения и из уравнения , получим — это тоже решение нашего уравнения (особое решение).
С геометрической точки зрения кривая есть огибающая семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|