Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Дифференциальное уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение Риккати


Дифференциальное уравнение первого порядка вида


\frac{dy}{dx}+a(x)y^2+b(x)y+c(x)=0,
(1)

где a(x),\,b(x),\,c(x) — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты a,\,b,\,c в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл


C_1-x=\int\frac{dy}{ay^2+by+c}\,.

Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.


Свойства уравнения Риккати


1. Если известно какое-нибудь частное решение y_1(x) уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.


В самом деле, положим


y=y_1(x)+z(x),
(2)

где z(x) — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем


\frac{dy_1}{dx}+\frac{dz}{dx}+a(x)(y_1^2+2y_1z+z^2)+b(x)(y_1+z)+c(x)=0,

откуда, в силу того что y_1(x) есть решение уравнения (1) получим


\frac{dz}{dx}+a(x)(2y_1z+z^2)+b(x)z=0,
или
\frac{dz}{dx}+a(x)z^2+[2a(x)y_1+b(x)]z=0.
(3)

Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.




Пример 1. Решить уравнение Риккати


y'-y^2+2e^xy=e^{2x}+e^x,
(4)

зная его частное решение y_1=e^x.


Решение. Положим y=e^x+z(x) и подставим в уравнение (4); получим


\frac{dz}{dx}=z^2, откуда -\frac{1}{z}=x-C, или z=\frac{1}{C-x}\,.

Таким образом, общее решение уравнения (4) y=e^x+\frac{1}{C-x}.




Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка


y=y_1(x)+\frac{1}{u(x)}\,,

которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному u'-(2ay_1+b)=a.


2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.


Пусть известны два частных решения y_2(x) и y_2(x) уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество


\frac{dy_1}{dx}\equiv-a(x)y_1^2-b(x)y_1-c(x)

представим уравнение (1) в виде


\frac{1}{y-y_1}\frac{d(y-y_1)}{dx}=-a(x)(y+y_1)-b(x),
или
\frac{d}{dx}[\ln{y}-y_1]= -a(x)(y+y_1)-b(x).
(5)

Для второго частного решения y_2(x) аналогично находим


\frac{d}{dx}[\ln{y}-y_2]= -a(x)(y+y_2)-b(x).
(6)

Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем


\frac{d}{dx}\!\left[\ln\frac{y-y_1}{y-y_2}\right]= a(x)(y_2-y_1),
откуда
\frac{y-y_1}{y-y_2}= C\exp\int a(x)[y_2(x)-y_1(x)]\,dx.
(7)



Пример 2. Уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{m^2}{x^2}-y^2,~m=\text{const} имеет частные решения y_1=\frac{1}{x}+\frac{m}{x^2}, \quad y_2=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}. Найти его общий интеграл.


Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения


\frac{y-y_1}{y-y_2}=C\exp\int\frac{-2m}{x^2}\,dx откуда \frac{x^2y-x-m}{x^2y-x+m}=C\exp\frac{2m}{x}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved