Дифференциальное уравнение Риккати
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
(1)
где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл
Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Свойства уравнения Риккати
1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.
В самом деле, положим
(2)
где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем
откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим или(3)
Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение Риккати
(4)
зная его частное решение .
Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим
Таким образом, общее решение уравнения (4) .
Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка
которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .
2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.
Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество
представим уравнение (1) в виде или(5)
Для второго частного решения аналогично находим
(6)
Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем откуда(7)
Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.
Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения
откуда
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|