Дифференциальное уравнение Риккати
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
 (1)
где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл
Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Свойства уравнения Риккати
1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.
В самом деле, положим
 (2)
где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем
откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим или![\frac{dz}{dx}+a(x)z^2+[2a(x)y_1+b(x)]z=0.](data:image/png;base64,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) (3)
Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение Риккати
 (4)
зная его частное решение .
Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим
Таким образом, общее решение уравнения (4) .
Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка
которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .
2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.
Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество
представим уравнение (1) в виде или![\frac{d}{dx}[\ln{y}-y_1]= -a(x)(y+y_1)-b(x).](data:image/png;base64,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) (5)
Для второго частного решения аналогично находим
![\frac{d}{dx}[\ln{y}-y_2]= -a(x)(y+y_2)-b(x).](data:image/png;base64,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) (6)
Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем откуда![\frac{y-y_1}{y-y_2}= C\exp\int a(x)[y_2(x)-y_1(x)]\,dx.](data:image/png;base64,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) (7)
Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.
Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения
 откуда 
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|