Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Дедуктивные и индуктивные умозаключения

Дедуктивные и индуктивные умозаключения


На этом этапе весьма целесообразно рассмотреть вопрос о том, что представляют собой рассуждения, умозаключения, каковы их структура, виды и критерии правильности, какие умозаключения изучает логика и, в частности, математическая логика.


Умозаключение есть логическая (мыслительная) операция (процедура), состоящая в получении нового суждения (высказывания, утверждения) из одного или нескольких ранее известных суждений. Ранее известные суждения, входящие в состав умозаключения, называются его посылками, а новое суждение называется его следствием (или заключением). С содержательной точки зрения умозаключение есть переход от уже имеющегося (наличного) знания к новому знанию. С формальной точки зрения умозаключение есть переход от посылок к следствию. В логике умозаключение принято представлять в виде фигуры, в которой посылки записаны одна под другой и отделены горизонтальной чертой, под которой записано следствие. Рассуждение есть последовательность умозаключений, причем посылками последующих умозаключений служат следствия предыдущих умозаключений данной последовательности.


Умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Расхожим является мнение о том, что дедуктивные умозаключения — это "умозаключения от общего к частному", а индуктивные — "от частного к общему". Эти "определения" лишь в самых общих чертах характеризуют, в частности, дедуктивные умозаключения. Это одно приведенное свойство еще не является для них определяющим. Дедуктивное умозаключение, прежде всего, основано на анализе формальной (логической) структуры посылок и следствия, индуктивное умозаключение основано на анализе их содержания.


Рассмотрим и проанализируем следующие примеры.


Пример 7.3.


"Если четырехугольник является квадратом, то его диагонали равны"; "Четырехугольник [math]ABCD[/math] — квадрат".
____________________________________________________________
"Диагонали четырехугольника [math]ABCD[/math] равны".

Пример 7.4.


"Если число делится на 6, то оно четное"; "Число 18 делится на 6".
____________________________________
"Число 18 четное".

Пример 7.5.


"Дуб — лиственное дерево"; "Береза — лиственное дерево"; "Липа — лиственное дерево".
______________________________________________________________________________
"Все деревья — лиственные.

Пример 7.6.


"Обь замерзает зимой"; "Енисей замерзает зимой"; "Лена замерзает зимой".
_________________________________________________________________
"Все сибирские реки замерзают зимой".

В примерах 7.3 и 7.4 сделаем соответствующие выводы исходя из анализа формальной структуры посылок и следствия, фактически не обращая внимания на их содержание. Более того, с точки зрения логики эти умозаключения представляются одинаковыми, несмотря на то что не имеют между собой ничего общего по содержанию. Это типичные примеры дедуктивных умозаключений. В то же время, переходя от посылок к следствиям в умозаключениях примеров 7.5 и 7.6, мы не можем отвлечься от их содержания. И хотя эти умозаключения также имеют одинаковую структуру, анализ их содержания приводит нас к построению неверного умозаключения. Дело в том, что все посылки каждого из этих умозаключений истинны, но вывод истинен только в примере 7.6, а в примере 7.5 он ложен. Таким образом, умозаключения примеров 7.5 и 7.6 не носят дедуктивный характер, они не основаны на анализе формальной структуры умозаключения, на строгих законах формальной логики. Это — индуктивные умозаключения. Их изучение не входит в задачу формальной логики. Еще более ярким примером индуктивного умозаключения, в котором связь между посылками и следствием является связью не по логической форме, а по содержанию, является следующее умозаключение.


Пример 7.7.


"Спичка зажжена"; "Зажженная спичка поднесена к бумаге".
____________________________________________________
"Бумага воспламеняется".

В нем связь между посылками и следствием носит и вовсе некий физический причинно-следственный характер.


Важнейшим методологическим вопросом, связанным с дедуктивными умозаключениями, является вопрос об определении правильности (верности) умозаключения. Распространенная ошибка здесь состоит в том, что правильность умозаключения отождествляется с истинностью получаемого на основании этого умозаключения вывода: умозаключение считается правильным, если "в результате мы приходим к истине". Это не так. Правильность дедуктивного умозаключения означает, что оно приводит к истинному выводу не всегда, но всякий раз, когда оно исходит из всех истинных посылок. Другими словами, умозаключение считается правильным, если мы, имея посылки и следствия данной структуры (как определено в умозаключении), при условии истинности всех посылок непременно будем получать истинность следствия. Таким образом, чтобы доказать неправильность умозаключения, нужно указать такую его конкретизацию (пример), в которой все посылки были бы истинными, а следствие было бы ложным. Такой пример называется опровергающим (или контрпримером).


Итак, в правильном дедуктивном умозаключении следствие должно быть истинным при условии истинности всех посылок. Отсюда не следует делать вывод, что если среди посылок имеются ложные, то следствие должно быть ложным, хотя и такая ситуация возможна. Следующий пример показывает, что даже при всех ложных посылках правильное умозаключение может дать истинное следствие.


Пример 7.8.


"Если треугольник равносторонний, то он прямоугольный";
"Если треугольник прямоугольный, то его внутренние углы равны".
___________________________________________________________
"Если треугольник равносторонний, то его внутренние углы равны".

Данное умозаключение правильное, так как основано на схеме: [math]X\to Y,[/math] [math]Y\to Z\vDash X\to Z[/math] (правило 6.14 цепного заключения).


В случае когда среди посылок умозаключения имеются ложные, говорят о наличии в умозаключении фактической ошибки; если же неправильным является само дедуктивное умозаключение, то говорят о логической ошибке.


В заключение обратим внимание на то, что в отличие от высказываний (суждений), которые делятся на истинные и ложные, умозаключения делятся на правильные и неправильные. Это терминологическое различие не является случайным. Дело в том, что каждое высказывание утверждает наличие или отсутствие у предметов или явлений тех или иных свойств или отношений между ними. Поэтому каждое высказывание имеет в качестве своего "прообраза" некоторые связи и отношения между предметами и явлениями реального мира и допускает, хотя бы в принципе, проверку на истинность. Именно это обстоятельство подчеркивают, говоря, что данное высказывание является истинным или ложным. В то же время в реальном мире не происходит никаких реальных процессов и явлений, которые можно было бы считать "прообразами" логической операции перехода от одних высказываний к другим. Эта логическая операция является чисто умственной, она происходит лишь в нашем сознании и даже в принципе не допускает "проверки на истинность". Выделение правильных умозаключений является одним из видов познавательной деятельности, который связан с другими видами познания и основан в конечном итоге на громадном практическом опыте человечества.




Правильные и неправильные дедуктивные умозаключения


Ранее была разработана теория, позволяющая давать ответ на вопрос, является ли та или иная формула логическим следствием данной совокупности формул или нет, а также находить все логические следствия из данных формул. Применим ее к рассуждениям, представляющим собой последовательности высказываний (суждений), для того чтобы определить, правильно рассуждение или нет, т.е. правильное или неправильное умозаключение сделано с помощью данного рассуждения из данных посылок.


Пример 7.9. Рассмотрим следующее рассуждение: "Если четырехугольник [math]ABCD[/math] — параллелограмм, то его противоположные углы равны. Четырехугольник [math]ABCD[/math] — параллелограмм. Следовательно, его противоположные углы равны". Чтобы ответить на вопрос, верно ли это рассуждение, нужно выяснить, будет ли формула алгебры высказываний, отражающая структуру заключения данного рассуждения, логическим следствием формул алгебры высказываний, отражающих структуры его посылок. Структура посылок выражается формулами [math]X,~ X\to Y[/math], а структура заключения — формулой [math]Y[/math]. (Легко убедиться в этом, если вместо пропозициональной переменной [math]X[/math] подставить в формулы высказывание "Четырехугольник [math]ABCD[/math] — параллелограмм", а вместо [math]Y[/math] — высказывание: "Противоположные углы четырехугольника [math]ABCD[/math] равны".) Известно (см. правило 6.8), что формула [math]Y[/math] является логическим следствием формул [math]X,~ X\to Y[/math]. Поэтому приведенное рассуждение является правильным, и сделанное заключение действительно следует из посылок.


Рассуждения такой формы нередки в математике. Приведем еще одно подобное рассуждение: "Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3. 10 делится на 3. Следовательно, 100 делится на 3". Проведенное рассуждение правильно, но его заключение ложно. Это обстоятельство не должно нас смущать: ведь правильное рассуждение приводит к истинному утверждению при условии, что все посылки рассуждения были истинными. В данном случае из двух посылок одна не является истинной.




Пример 7.10. Рассмотрим следующее рассуждение: "Если курс математической логики неинтересен, то он полезен. Курс математической логики бесполезен или нетруден. Курс математической логики труден. Следовательно, этот курс интересен". Введем обозначения:


[math]X\colon[/math] "Курс математической логики интересен";
[math]Y\colon[/math] "Курс математической логики полезен";
[math]Z\colon[/math] "Курс математической логики труден".

Тогда для ответа на вопрос, правильно ли приведенное рассуждение, нужно выяснить, справедливо ли следующее логическое следование:


[math]\lnot X\to Y,\qquad \lnot Y\lor\lnot Z,\qquad Z\vDash X\,.[/math]

Покажем, что оно справедливо. На основании равносильности из теоремы 4.4, у вторую посылку можно заменить на [math]Y\to\lnot Z[/math]. Далее по правилу 6.14 имеем [math]\lnot X\to Y,[/math] [math]Y\to\lnot Z\vDash\lnot X\to\lnot Z[/math]. Затем по правилу 6.13 [math]\lnot X\to\lnot Z\vDash\lnot\lnot Z\to\lnot\lnot X[/math]. Последняя формула, на основании равносильности из теоремы 4.4, пункт а), равносильна формуле [math]Z\to X[/math]. Наконец, привлекая еще не использованную третью посылку [math]Z[/math], получаем на основании правила 6.8 [math]Z,~ Z\to X\vDash X[/math]. Учитывая свойство выводимости, установленное в теореме 6.5, пункт б), заключаем, что рассматриваемое логическое следование справедливо, и, таким образом, данное рассуждение правильно.


Обратим особое внимание на два типа наиболее часто встречающихся неправильных рассуждений. Первое рассуждение выглядит так. Мы исходим из некоторого предположения и, правильно рассуждая, приходим к правильному выводу. Отсюда делаем вывод, что сделанное предположение верно. С точки зрения математической логики схема этого рассуждения такова: из истинности утверждений [math]X\to Y[/math] и [math]Y[/math] делается вывод об истинности утверждения [math]Y[/math]. Чтобы ответить на вопрос о правильности такой схемы рассуждений, рассмотрим два примера рассуждений, основанных на этой схеме.




Пример 7.11. "Если число натуральное, то оно рациональное [math](A\to B)[/math]. Число 17 рациональное [math](B)[/math]. Следовательно, число 17 натуральное [math](A)[/math]".


Пример 7.12. "Если число натуральное, то оно рациональное [math](A\to B)[/math]. Число [math]3/4[/math] рациональное [math](B)[/math]. Следовательно, число [math]3/4[/math] натуральное [math](A)[/math]".


В каждом из этих рассуждений обе посылки являются истинными утверждениями. Но в первом случае мы приходим к истинному заключению (число 17 — натуральное), а во втором — к ложному (число [math]3/4[/math] не натуральное). Это означает, что неверной является сама схема построения умозаключения, примененная в этих примерах. Неверность, неправомочность схемы означает, что между посылками и заключением нет отношения логического следования. Здесь еще раз уместно подчеркнуть, что правильность умозаключения определяется формой умозаключения, а не истинностью входящих в него утверждений. Иначе говоря, анализируя правильность рассуждения, нужно помнить о том, что его правильность не совпадает с истинностью полученного заключения. Схема умозаключения — это и есть то, что изучает логика, а истинность утверждений, входящих в рассуждение, — это прерогатива той науки (или практики), откуда взяты эти утверждения. Развивая эту мысль, можно заметить, что и термин "следует" употребляется в разных смыслах. Важно понимать существенное различие между следованиями:


"из [math]F\to G[/math] следует [math]\lnot G\to\lnot F[/math]" и "из [math]a<3[/math] следует [math]a<5[/math]".

Первое — утверждение логики, т.е. логическое следование, второе — как свойство отношения порядка [math]<[/math] в каком-то числовом множестве, есть некое математическое следование (т. е. следование в рамках некоторой математической теории). Мы придем к подробному рассмотрению этой связи в гл. 6 при уточнении понятия доказательства.


Итак, неправильность рассмотренной схемы рассуждений приводит к тому, что относительно исходного предположения [math]X[/math] нельзя сделать вывод о его истинности: оно может быть как истинным, так и неистинным, причем его истинность или ложность никак не связаны с проведенным рассуждением. Этот же вывод подтверждает математическая логика: логическое следование [math]X\to Y,~ Y\vDash X[/math] несправедливо, потому что формула [math]\bigl((X\to Y)\land Y\bigr)\to X[/math] не является тавтологией (проверьте!).


Тем не менее рассуждения по указанной схеме нередко встречаются в школьной практике, особенно в алгебре и тригонометрии. Так, при доказательстве тождества рассуждения начинаются именно с этого тождества: обе его части преобразуют так, что оно превращается в некоторое очевидное тождество. После этого делается заключение о том, что исходное тождество верно. Узнаете рассмотренную схему? Например, при доказательстве тригонометрического тождества


[math]\frac{\sin{x}+\cos{x}}{\cos^3x}= \operatorname{tg}^3x+ \operatorname{tg}^2x+ \operatorname{tg}x+1[/math]

можно встретить такие рассуждения. "Умножим обе его части на [math]\cos^3x[/math]. Получим:

[math]\sin x + \cos x = \sin^3x + \sin^2x \cos x + \sin x \cos^2x + \cos^3x\,.[/math]

Сгруппируем слагаемые в правой части:

[math]\sin x+\cos x= \sin^2x\cdot (\sin x+ \cos x)+ \cos^2x\cdot (\sin x+\cos x).[/math]

Продолжим группировку в правой части:

[math]\sin x + \cos x = (\sin^2 x + \cos^2 x)\cdot (\sin x + \cos x)\,.[/math]

Поделим обе части на [math]\sin{x}+\cos{x}[/math]. Получим: [math]1=\sin^2x+\cos^2x[/math] — известное тождество. Отсюда делается вывод, что исходное тождество доказано".


В данном случае правильным доказательством будет проведение рассуждений в обратном направлении, от известного (очевидного) тождества к исходному, данному тождеству. Эти рассуждения-преобразования здесь проделать можно и тем самым действительно доказать данное тождество. Но нередко умозаключение по такой неверной схеме приводит к ошибкам, т.е. к ложным утверждениям. Такие рассуждения иногда относят к разряду занимательной математики, где они получили название "парадоксов" или "софизмов".




Пример 7.13. Рассмотрим пример софизма. Докажем, что [math]3=7[/math]. Из чисел 3 и 7 вычтем одно и то же число 5. Получим: [math]3-5=-2,~ 7-5=2[/math]. Возведем числа -2 и 2 в квадрат. В результате получим равные числа: [math](-2)^2=4[/math] и [math]2^2=4[/math]. Следовательно, должны быть равны и исходные числа: [math]3=7[/math].


Ясно, что полученное заключение ложно. Проанализируем проведенное рассуждение, чтобы обнаружить допущенную ошибку. Рассуждение состоит из трех шагов. Выделим эти шаги более отчетливо.


Первый шаг (вычитание из целых чисел 3 и 7 целого числа 5). Первая посылка [math]A\to B[/math] "Если [math]a[/math] и [math]b[/math] — целые числа, то их разность а - b существует и есть число целое". Вторая посылка [math]A:[/math] "Числа 3 и 5 (а также 7 и 5) — целые". Заключение [math]B:[/math] "Разности [math]3-5[/math] и [math]7-5[/math] существуют, и [math]3-5=-2,~ 7-5=2[/math]".


Данное умозаключение сделано по правилу modus ponens: [math]X\to Y,~ X\vDash Y[/math] и потому является правильным.


Второй шаг (возведение чисел –2 и 2 в квадрат). Первая посылка [math]A\to B:[/math] "Если число а целое, то его квадрат [math]a^2[/math] существует и является неотрицательным целым числом". Вторая посылка [math]A:[/math] "Число –2 (а также число 2) — целое". Заключение [math]B:[/math] "Квадраты чисел –2 и 2 существуют, причем [math](-2)^2=4[/math] и [math]2^2=4[/math]".


Умозаключение и здесь сделано по правилу modus ponens: [math]X\to Y,~ X\vDash Y[/math], и потому и на этом шаге рассуждения ошибка не допущена.


Третий шаг (заключение о равенстве чисел 3 и 7). Первая посылка [math]A\to B:[/math] "Если целые числа равны, то равны и их квадраты". Вторая посылка [math]B:[/math] "Квадраты целых чисел –2 и 2 равны: [math]4=4[/math]". Заключение [math]A:[/math] "Равны сами числа –2 и 2, т. е. [math]3-5=7-5[/math], т. е. [math]3=7[/math]".


На данном этапе рассуждения умозаключение сделано по схеме: [math]X\to Y,~ Y\vDash X[/math], которая не является правильной. Следовательно, в этом умозаключении сделана логическая ошибка, которая и привела к ложному выводу, несмотря на то что исходили мы из всех истинных посылок.


Второй распространенный тип неправильных рассуждений выглядит так. Мы исходим из некоторого неверного предположения и, правильно рассуждая, приходим к некоторому выводу. Отсюда делаем заключение, что полученный вывод неверен. С точки зрения математической логики схема этого рассуждения такова: из истинности утверждений [math]\lnot X[/math] и [math]X\to Y[/math] делается вывод об истинности утверждения [math]\lnot Y[/math]. Следующие два примера рассуждений, основанных на этой схеме, позволяют ответить на вопрос о ее правомочности.




Пример 7.14. "Если число натуральное, то оно рациональное [math](A\to B)[/math]. Число [math]3/4[/math] не натуральное [math](\lnot A)[/math]. Следовательно, число [math]3/4[/math] не рациональное [math](\lnot B)[/math]".


Пример 7.15. "Если число натуральное, то оно рациональное [math](A\to B)[/math]. Число [math]\sqrt{2}[/math] не натуральное [math](\lnot A)[/math]. Следовательно, число [math]\sqrt{2}[/math] не рациональное [math](\lnot B)[/math]".


В каждом из этих рассуждений обе посылки являются истинными утверждениями. Но в первом случае мы приходим к ложному заключению (число [math]3/4[/math] — рациональное), а во втором — к истинному (число [math]\sqrt{2}[/math] нерациональное). Это снова означает, что неверной является сама схема построения умозаключения, примененная в этих примерах, т. е. эта схема при всех истинных посылках не обязательно дает истинное следствие. Вывод, основанный на примерах, подтверждается математической логикой: из формул [math]X\to Y[/math] и [math]\lnot X[/math] не следует формула [math]\lnot Y[/math], в чем нетрудно убедиться, проверив, что формула [math]\bigl((X\to Y)\land\lnot X\bigr)\to\lnot Y[/math] не является тавтологией.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved