Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Численные методы решения задачи Коши

Численные методы решения задачи Коши


Основные понятия и определения


Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную [math]x[/math], неизвестную функцию [math]y(x)[/math] этой независимой переменной и ее производные [math]y'(x),y''(x),\ldots,y^{(n)}(x)\colon[/math]


[math]F \bigl(x,y(x), y'(x),\ldots,y^{(n)}(x)\bigr)=0,\qquad \mathsf{(6.1)}[/math]

где [math]F(x,y, y',\ldots,y^{(n)})[/math] — функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.


Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.


Если в соотношении (6.1) функция [math]F[/math] такова, что его можно представить в виде


[math]y^{(n)}= f \bigl(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\bigr),\qquad \mathsf{(6.2)}[/math]

то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением л-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.


Уравнение называется линейным, если функция [math]f[/math] линейна относительно искомой функции и ее производных, т.е. если уравнение может быть записано в виде


[math]a_n(x)y^{(n)}+ a_{n-1}y^{(n-1)}+ \ldots+a_0(x)= f(x),[/math]
(6.3)

где [math]a_n(x),a_{n-1}(x),\ldots,a_0(x),f(x)[/math] — известные в общем случае нелинейные функции от [math]x[/math].


Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция [math]y(x)[/math], непрерывная на некотором интервале [math](a,b)[/math] вместе со своими производными до [math](n-1)[/math] порядка включительно, имеющая производную [math]y^{(n)}(x)[/math] и такая, что подстановка [math]y(x)[/math] в уравнение обращает его в тождество.


График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.


Одной из важнейших задач в теории и приложениях дифференциальных уравнений является задана Коши (начальная задана), в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для уравнения (6.2) она записывается следующим образом:


[math]\begin{gathered}y^{(n)}= f \bigl(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\bigr),\\ y(x_0)=y_0,~ y'(x_0)=y'_0,~ \ldots,~ y^{(n-1)}(x_0)= y_0^{(n-1)},\end{gathered}[/math]
(6.4)

где [math]x_0\in (a,b),~ y_0,y'_0,\ldots,y_0^{(n-1)}[/math] — заданные числа.


Теорема 6.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.4)). Пусть выполнены следующие условия:


а) функция [math]f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})[/math] определена и непрерывна в некоторой замкнутой области [math]\overline{D}[/math], а также имеет в [math]\overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y,y',\ldots,y^{(n-1)}[/math];


б) точка [math](x_0,y_0,y'_0,\ldots,y_0^{(n-1)})[/math] лежит внутри области [math]\overline{D}[/math].


Тогда решение задачи Коши (6.4) существует и единственно.


Общим решением дифференциального уравнения л-го порядка в области [math]G\subset \overline{D}[/math] ([math]\overline{D}[/math] — область, в которой выполнены условия теоремы 6.1) называется функция [math]y=y(x,C_1,\ldots,C_n)[/math], зависящая от [math]n[/math] произвольных постоянных, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math]. Геометрически общее решение в области [math]G[/math] представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых, полностью покрывающих всю область.


Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение вида [math]\varphi(x,y,C_1,\ldots,C_n)=0[/math], неявно определяющее общее решение.


При конкретных значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math], включая [math]\pm\infty[/math], из общего решения выделяется частное решение, а общий интефал становится частным интегралом. В каждой точке [math](x,y)[/math] частного решения или частного интефала выполняются условия теоремы 6.1.


Наряду с проблемой решения дифференциальных уравнений л-го порядка на практике возникает проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих независимую переменную [math]x[/math], неизвестные функции [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math] и их производные [math]y'_1(x),\ldots, y'_n(x)[/math].


В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можно записать в нормальной форме Коши (где [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline{1,n}[/math] — известные функции):


[math]\left\{\! \begin{aligned}&\frac{dy_1}{dx}= f_1(x,y_1,\ldots,y_n),\\ &\frac{dy_2}{dx}= f_2(x,y_1,\ldots,y_n),\\ &\quad\vdots\\ &\frac{dy_n}{dx}= f_n(x,y_1,\ldots,y_n). \end{aligned}\right.[/math]
(6.5)

Решением системы (6.5) называется совокупность [math]n[/math] функций [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math], непрерывных на некотором интервале (д,6), такая, что подстановка этих функций в (6.5) обращает все уравнения в тождества.


Задача Коши для системы (6.5) состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям (где [math]y_{1\,0},y_{2\,0},\ldots,y_{n\,0}[/math] — известные числа):


[math]y_1(x_0)=y_{1\,0},\quad y_2(x_0)=y_{2\,0},\quad \ldots,\quad y_n(x_0)=y_{n\,0}.[/math]
(6.6)

В векторной форме задача Коши (6.5),(6.6) имеет вид


[math]Y'= F(x,Y),\quad Y(x_0)=Y_0,[/math]
(6.7)

где [math]Y=(y_1,\ldots,y_n)^T,~ F(x,Y)= \bigl(f_1(x,Y),\ldots, f_n(x,Y)\bigr)^T,~ Y_0= \bigl(y_{1\,0},\ldots, y_{n\,0}\bigr)^T[/math].


Теорема 6.2 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.5),(6.6)). Пусть выполнены следующие условия:


а) функции [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline{1,n}[/math], определены и непрерывны в некоторой замкнутой области [math]\overline{D}[/math], а также имеют в [math]\overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y_1,\ldots,y_n[/math];


б) точка [math](x_0,y_{1\,0},y_{2\,0},\ldots,y_{n\,0})[/math] лежит внутри области [math]\overline{D}[/math].


Тогда решение задачи Коши (6.5),(6.6) существует и единственно.


Замечания.


1. Во многих практических приложениях независимая переменная обозначается через [math]t[/math] и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.


2. Понятия общего и частного решений, общего и частного интегралов для уравнения первого порядка и систем совпадают по форме, если заменить функцию [math]y(x)[/math] на вектор-функцию [math]Y(x),~ f(x,y)[/math] на [math]F(x,Y)[/math], а [math]y_0[/math] — на [math]Y_0[/math].


Численные методы, рассматриваемые в данном разделе, пригодны для решения задач Коши, записанных в форме (6.5),(6.6). Чтобы решить задачу Коши (6.4) этими методами, ее необходимо привести к системе [math]n[/math] уравнений первого порядка, т.е. к виду (6.5),(6.6).


Обозначая [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)= y'(x),~\ldots,~ y_n(x)= y^{(n-1)}(x)[/math], получаем


[math]\left\{\! \begin{aligned}&\frac{dy_1}{dx}=y_2, &\quad & y_1(x_0)=y_0,\\ &\frac{dy_2}{dx}=y_3, &\quad & y_2(x_0)=y'_0,\\[-4pt] &\quad\vdots &\quad &\quad\vdots\\[-2pt] &\frac{dy_n}{dx}=f(x,y_1,\ldots,y_n), &\quad & y_n(x_0)=y^{(n-1)}_0. \end{aligned}\right.[/math]
(6.8)

Получим точное решение модельного примера, используемого далее для демонстрации применения различных численных методов.


Пример 6.1. Найти аналитическое решение задачи Коши [math]Ty'+y=1,~ y(0)=0[/math], где [math]T>0[/math] — известное число, называемое постоянной времени.


▼ Решение

Решение задачи Коши найдем с помощью известной методики.


1. Определим общее решение однородного уравнения [math]Ty'+y=0[/math]. Поскольку корень [math]\lambda=-1\!\!\not{\phantom{|}}\,T[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]T\lambda+1=0[/math] действительный, то [math]y_0(x)=Ce^{\lambda x}= Ce^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}[/math] — общее решение однородного уравнения.


2. Частное решение неоднородного уравнения ищется в форме [math]y_{\text{ch}}=A[/math], где [math]A=\text{const}[/math]. После подстановки в решаемое уравнение получаем [math]y_{\text{ch}}=1[/math].


3. Общее решение неоднородного уравнения получается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:


[math]y(x)= y_0(x)+ y_{\text{ch}}= Ce^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}+1.[/math]

Ему соответствует семейство интегральных кривых, характеризующееся параметром [math]C[/math], который может принимать произвольные значения.


4. Частное решение неоднородного уравнения находим из начального условия: [math]y(0)=C+1=0[/math]. Отсюда [math]C=-1[/math] и [math]y(x)=1-e^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}[/math].


Пример 6.2. Записать дифференциальное уравнение второго порядка [math]2y''+y'+4y=6\sin{x},~ y(0)=1,~ y'(0)=2[/math], в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.


▼ Решение

Введем обозначения: [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)=y'_1(x)[/math] и запишем уравнение в форме [math]y''=-\frac{1}{2}y'-2y+3\sin{x}[/math], разрешенной относительно старшей производной. Тогда получим


[math]\left\{\!\begin{aligned}&y'_1=y_2,&\quad &y_1(0)=1,\\ &y'_2=-\frac{1}{2}y_2-2y_1+3\sin{x},&\quad &y_2(0)=2. \end{aligned}\right.[/math]

Численные и приближенно-аналитические методы решения задачи Коши в отличие от аналитических методов позволяют найти искомую функцию [math]y(x)[/math] лишь приближенно. Но при этом численные методы являются более универсальными, так как с их помощью можно приближенно решать многие из задач, точные решения которых аналитическими методами не могут быть найдены. Аналитическими методами в основном решаются только линейные задачи и некоторые типы нелинейных задач, в то время как для численных методов эти ограничения отсутствуют.


Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядка


[math]y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\quad x\in(a,b).[/math]
(6.9)

Численное решение задачи ищется в узлах сетки [math]\Omega_n= \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}[/math], где [math]h_{i+1}=x_{i+1}-x_{i},~ i=\overline{0,n-1}[/math] — расстояние между соседними узлами, называемое шагом интегрирования (параметром сетки). Если [math]h_{i+1}=h=\text{const}[/math], сетка называется равномерной (регулярной), а если [math]h_{i+1}=\text{var}[/math] — неравномерной (нерегулярной). В случае равномерной сетки узлы находятся по формуле [math]x_{i}= x_0+ih,~ i=\overline{0,n}[/math], а в случае неравномерной (где [math]\delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math] — параметр нерегулярности):


[math]x_1=x_0+h_1,\quad x_2=x_1+h_2=x_1+\delta_2h_1,\quad \ldots,\quad x_{i+1}=x_{i}+ \delta_{i+1}h_{i},\quad\ldots, \quad x_n=x_{n-1}+\delta_{n}h_{n-1}.[/math]

Решение находится в виде последовательности значений [math]\widehat{y}_0,\widehat{y}_1, \widehat{y}_2,\ldots, \widehat{y}_n[/math], являющихся приближением значений [math]y_0,y(x_1),y(x_2),\ldots,y(x_n)[/math] точного решения [math]y(x)[/math] в узлах сетки [math]\Omega_{n}[/math] (рис. 6.1).


Сеточное представление [math]y(x_i),~i=\overline{0,n}[/math], известной функции [math]y(x)[/math] (точного решения задачи Коши) называется проекцией [math]y(x)[/math] на сетку [math]\Omega_n[/math].




Дискретные и непрерывно-дискретные методы


Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений делятся на две группы:


дискретные методы, позволяющие найти решение только в узлах сетки. Эти методы называются еще разностными методами или методами сеток;

непрерывно-дискретные методы, основанные на использовании дискретных методов и сплайн-функций для восполнения численных результатов. Они позволяют найти непрерывные решения дифференциальных уравнений.


Дискретные методы (методы сеток) подразделяются на явные и неявные. Значение [math]\widehat{y}_{i+1}[/math], на (i+1)-м шаге может определяться явно:


[math]\widehat{y}_{i+1}= \Phi(x_{i-k+1},\ldots, x_{i-1}, x_{i}, \widehat{y}_{i-k+1}, \ldots, \widehat{y}_{i-1},\widehat{y}_{i}),[/math]
(6.10)

где [math]\Phi(.)[/math] — некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки [math](x_{i},\widehat{y}_{i})[/math] могут использоваться еще [math](k-1)[/math] предыдущих точек), или неявно:


[math]\widehat{y}_{i+1}= \Phi(x_{i-k+1},\ldots, x_{i-1}, x_{i},x_{i+1}, \widehat{y}_{i-k+1}, \ldots, \widehat{y}_{i-1},\widehat{y}_{i},\widehat{y}_{i+1}),[/math]
(6.11)

где искомая величина [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] входит одновременно и в левую, и в правую часть.


Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые (k-шаговые). В одношаговых методах для расчета очередной точки [math](x_{i+1},\widehat{y}_{i+1})[/math] требуется информация только о последней рассчитанной точке [math](x_{i},\widehat{y}_{i})[/math]. В k-шаговых методах для нахождения точки [math]x_{i+1},\widehat{y}_{i+1}[/math] требуется информация о [math]k[/math] предыдущих точках (рис. 6.2).


Формулы (6.10),(6.11) в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] и называются разностными схемами.


Численный алгоритм (метод) называется устойчивым, если численные результаты непрерывно зависят от входных данных и если погрешность остается ограниченной при заданных пределах изменения параметров численного алгоритма (шагов сетки, числа итераций и др.).


Сходимость приближенных методов является основной проблемой, от успешного преодоления которой зависит точность решения всей задачи. Численный алгоритм называется сходящимся, если при стремлении его параметров к определенным предельным значениям, например, при [math]h\to0[/math] (или при [math]s\to\infty[/math], где [math]s[/math] — число итераций), результаты стремятся к точному решению.


При известном точном решении некоторой модельной задачи сходимость может быть проверена следующим образом. Фиксируется некоторая точка [math]x>x_0[/math] и строится последовательность сеток [math]\Omega_{n}[/math], таких, что [math]h\to0,[/math] [math]x=x_{n}= x_{0}+nh[/math]. Здесь для простоты считаем, что все сетки, образующие указанную последовательность, являются равномерными. Тогда, если [math]|\widehat{y}_{n}-y(x_{n})|\to0[/math] при [math]h\to0~ (n\to\infty)[/math], то метод является сходящимся в точке [math]x[/math]. Если метод сходится в каждой точке [math]x\in[c,d]\subset (a,b)[/math], то он сходящийся на [math][c,d][/math].




Локальная и глобальная ошибки


Локальной ошибкой численного метода на (i+1) -м шаге называется величина


[math]\varepsilon_{i+1}(h)= \widehat{y}_{i+1}-y(x_{i+1}),[/math]

где [math]y(x_{i+1})[/math] — значение точного решения при [math]x=x_{i+1}[/math], а [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] — приближенное решение, получаемое по формуле (6.10) или (6.11) при условии, что вместо приближенных значений [math]\widehat{y}_{i}, \widehat{y}_{i-1},\ldots, \widehat{y}_{i-k+1}[/math] используются значения, соответствующие точному решению, т.е. [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),\ldots, y(x_{i-k-1})[/math].


Глобальной ошибкой называется величина [math]e_{n}(h)= \widehat{y}_{n}-y(x_{n})[/math], где [math]\widehat{y}_{n}[/math] — значение, получаемое по формулам (6.10) или (6.11) при [math]i=n-1[/math].


Глобальная ошибка определяется:


а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке [math]x_{i+1}[/math];

б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;

в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения р/+1 вместо точных значений [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),\ldots, y(x_{i-k-1})[/math] берутся приближенные значения [math]\widehat{y}_{i}, \widehat{y}_{i-1},\ldots, \widehat{y}_{i-k+1}[/math], полученные на предыдущих шагах.


Локальные ошибки "переносятся" в точку [math]x_n[/math] и формируют глобальную ошибку.


Число [math]p[/math] называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть [math]O[/math] большое от [math]h^p[/math], то есть [math]e_n(h)= O(h^p)[/math].


На практике в качестве характеристики точности метода часто используется величина [math]\varepsilon(h)= \max_{i=0,1,\ldots,n}\bigl|\widehat{y}_{i}-y(x_{i})\bigr|[/math].


Рассмотрим введенные понятия более подробно на примере явных одношаговых методов, построенных для задачи (6.9). При этом формулу (6.10) представим в виде


[math]\widehat{y}_{i+1}= \widehat{y}_{i}+h\cdot \Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h),[/math]

где [math]\Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h)[/math] — некоторая функция, определяемая конструкцией того или иного метода.


Обозначим [math]y(x,x_{i},\widehat{y}_{i})[/math] — решение задачи Коши [math]u'=f(x,u),~ u(x_{i})= \widehat{y}_{i}[/math]. Тогда локальная ошибка определяется выражением


[math]\varepsilon_{i+1}(h)= \widehat{y}_{i}+ h\cdot \Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h)-y(x_{i+1}, x_{i}, \widehat{y}_{i}).[/math]

Геометрическая интерпретация возникновения локальных и глобальной ошибок изображена на рис. 6.3.


Можно показать, что если локальная ошибка имеет порядок [math](p+1)[/math], то есть [math]\varepsilon_{i+1}(h)= O(h^{p+1})[/math], то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е. [math]e_{n}(h)= O(h^p)[/math].


Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов. Она проверяется на "тестовом примере"


[math]y'=\mu\cdot y,\quad y(0)=1,[/math]
(6.12)

где [math]\mu[/math] — в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение в (6.12) является простейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме.




Устойчивость методов решения задачи Коши


Метод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число [math]h_{\text{kr}}>0[/math], что при использовании метода для решения задачи (6.12), где [math]\operatorname{Re}\mu<0[/math], с шагом [math]0<h<h_{\text{kr}}[/math] при [math]i\to\infty[/math] глобальная ошибка ограничена. Величина [math]h_{\text{kr}}[/math] называется критическим шагом. Если [math]h>h_{\text{kr}}[/math], глобальная ошибка может неограниченно возрастать.


В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага [math]h[/math] необходимо учитывать значение критического шага [math]h_{\text{kr}}[/math]. Для сложных дифференциальных уравнений и систем нахождение [math]h_{\text{kr}}[/math] является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивы при любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемой точности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен).


Метод называется A-устойчивым, если при его применении с любым фиксированным положительным шагом [math]h[/math] все численные решения задачи (6.12) с комплексной константой [math]\mu~(\operatorname{Re}\mu<0)[/math] стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math].


Область A-устойчивости — совокупность значений [math]h[/math] и [math]\mu[/math], удовлетворяющих условию [math]\operatorname{Re}(h\mu)<0[/math]. Она изображена на рис. 6.4,а. Выполнение свойства A-устойчивости является желательным, поскольку если решение задачи (6.12) асимптотически устойчиво (в силу условия [math]\operatorname{Re}\mu<0[/math] корень характеристического уравнения находится в левой полуплоскости), то погрешность численного решения стремится к нулю при любой величине шага [math]h>0[/math].


При исследовании устойчивости численного метода необходимо использовать соответствующую ему разностную схему для решения задачи (6.12) и привести ее к линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами:


[math]a_ny(i+n)+ a_{n-1}y(i+n-1)+\ldots+a_0y(i)=g(i),\quad i=0,1,2,\ldots[/math]

Известно, что критерием устойчивости решения линейного разностного уравнения является требование расположения корней [math]\lambda_{i}[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]a_n \lambda^n+ a_{n-1}\lambda^{n-1}+ \ldots+a_0=0[/math] внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, т.е.


[math]|\lambda_{i}|<1,\quad i=\overline{1,n}.[/math]
(6.13)

Замечания


1. Численные методы, которые можно представить в виде (где |[math]|\alpha_0|+|\beta_0|\ne0,~ f_{i+1-j}= f(x_{i+1-j}, \widehat{y}_{i+1-j})[/math] называются линейными k-шаговыми методами)


[math]\sum\limits_{j=0}^{k} \bigl(\alpha_{j}\cdot \widehat{y}_{i+1-j}+ h\cdot \beta_{j}\cdot f_{i+1-j}\bigr)=0.[/math]
(6.14)

Обозначим [math]\textstyle{\rho(\xi)= \sum\limits_{j=0}^{k} \alpha_{j}\xi^{k-j},~ \sigma(\xi)= \sum\limits_{j=0}^{k} \beta_{j}\xi^{k-j}}[/math]. Линейный многошаговый метод является устойчивым, если для фиксированного значения [math]h\mu[/math] корни уравнения


[math]\rho(\xi)+h\cdot\mu\cdot \sigma(\xi)=0[/math]
(6.15)

лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.


2. Для ограниченно устойчивых методов важной задачей является нахождение величины критического шага [math]h_{\text{kr}}[/math]. Если константа [math]\mu[/math] в уравнении (6.12) действительная, то можно найти интервал устойчивости.


3. Существуют определения, смягчающие свойство A-устойчивости. Приведем одно из них. Метод называется A(α)-устойчивым, [math]\alpha\in(0,\pi\!\!\not{\phantom{|}}\,2)[/math], если при его применении все численные решения уравнения (6.12) с фиксированным положительным шагом [math]h[/math] стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math] для всех [math]\mu[/math], удовлетворяющих условию [math]|\arg(-\mu)|<\alpha,~ |\mu|\ne0[/math], где [math]\arg(-\mu)[/math] — аргумент комплексного числа [math](-\mu)[/math]. Область A(α)-устойчивости показана на рис. 6.4,5. Это условие применимо и для линейных систем с постоянными коэффициентами [math]y'=Ay[/math], где [math]A[/math] — матрица коэффициентов, имеющая собственные значения [math]\lambda_{i},~ i=\overline{1,n}[/math]. Геометрическая интерпретация изображена на рис. 6.4,в.


4. Можно показать, что явные линейные многошаговые методы не могут быть A-устойчивыми.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved