Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Численные методы решения задачи Коши | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Численные методы решения задачи КошиОсновные понятия и определенияОбыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную [math]x[/math], неизвестную функцию [math]y(x)[/math] этой независимой переменной и ее производные [math]y'(x),y''(x),\ldots,y^{(n)}(x)\colon[/math] [math]F \bigl(x,y(x), y'(x),\ldots,y^{(n)}(x)\bigr)=0,\qquad \mathsf{(6.1)}[/math] где [math]F(x,y, y',\ldots,y^{(n)})[/math] — функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Если в соотношении (6.1) функция [math]F[/math] такова, что его можно представить в виде [math]y^{(n)}= f \bigl(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\bigr),\qquad \mathsf{(6.2)}[/math] то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением л-го порядка, разрешенным относительно старшей производной. Уравнение называется линейным, если функция [math]f[/math] линейна относительно искомой функции и ее производных, т.е. если уравнение может быть записано в виде [math]a_n(x)y^{(n)}+ a_{n-1}y^{(n-1)}+ \ldots+a_0(x)= f(x),[/math] (6.3) где [math]a_n(x),a_{n-1}(x),\ldots,a_0(x),f(x)[/math] — известные в общем случае нелинейные функции от [math]x[/math]. Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция [math]y(x)[/math], непрерывная на некотором интервале [math](a,b)[/math] вместе со своими производными до [math](n-1)[/math] порядка включительно, имеющая производную [math]y^{(n)}(x)[/math] и такая, что подстановка [math]y(x)[/math] в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Одной из важнейших задач в теории и приложениях дифференциальных уравнений является задана Коши (начальная задана), в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для уравнения (6.2) она записывается следующим образом: [math]\begin{gathered}y^{(n)}= f \bigl(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\bigr),\\ y(x_0)=y_0,~ y'(x_0)=y'_0,~ \ldots,~ y^{(n-1)}(x_0)= y_0^{(n-1)},\end{gathered}[/math] (6.4) где [math]x_0\in (a,b),~ y_0,y'_0,\ldots,y_0^{(n-1)}[/math] — заданные числа. Теорема 6.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.4)). Пусть выполнены следующие условия: а) функция [math]f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})[/math] определена и непрерывна в некоторой замкнутой области [math]\overline{D}[/math], а также имеет в [math]\overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y,y',\ldots,y^{(n-1)}[/math]; б) точка [math](x_0,y_0,y'_0,\ldots,y_0^{(n-1)})[/math] лежит внутри области [math]\overline{D}[/math]. Тогда решение задачи Коши (6.4) существует и единственно. Общим решением дифференциального уравнения л-го порядка в области [math]G\subset \overline{D}[/math] ([math]\overline{D}[/math] — область, в которой выполнены условия теоремы 6.1) называется функция [math]y=y(x,C_1,\ldots,C_n)[/math], зависящая от [math]n[/math] произвольных постоянных, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math]. Геометрически общее решение в области [math]G[/math] представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых, полностью покрывающих всю область. Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение вида [math]\varphi(x,y,C_1,\ldots,C_n)=0[/math], неявно определяющее общее решение. При конкретных значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math], включая [math]\pm\infty[/math], из общего решения выделяется частное решение, а общий интефал становится частным интегралом. В каждой точке [math](x,y)[/math] частного решения или частного интефала выполняются условия теоремы 6.1. Наряду с проблемой решения дифференциальных уравнений л-го порядка на практике возникает проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих независимую переменную [math]x[/math], неизвестные функции [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math] и их производные [math]y'_1(x),\ldots, y'_n(x)[/math]. В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можно записать в нормальной форме Коши (где [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline{1,n}[/math] — известные функции): [math]\left\{\! \begin{aligned}&\frac{dy_1}{dx}= f_1(x,y_1,\ldots,y_n),\\ &\frac{dy_2}{dx}= f_2(x,y_1,\ldots,y_n),\\ &\quad\vdots\\ &\frac{dy_n}{dx}= f_n(x,y_1,\ldots,y_n). \end{aligned}\right.[/math] (6.5) Решением системы (6.5) называется совокупность [math]n[/math] функций [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math], непрерывных на некотором интервале (д,6), такая, что подстановка этих функций в (6.5) обращает все уравнения в тождества. Задача Коши для системы (6.5) состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям (где [math]y_{1\,0},y_{2\,0},\ldots,y_{n\,0}[/math] — известные числа): [math]y_1(x_0)=y_{1\,0},\quad y_2(x_0)=y_{2\,0},\quad \ldots,\quad y_n(x_0)=y_{n\,0}.[/math] (6.6) В векторной форме задача Коши (6.5),(6.6) имеет вид [math]Y'= F(x,Y),\quad Y(x_0)=Y_0,[/math] (6.7) где [math]Y=(y_1,\ldots,y_n)^T,~ F(x,Y)= \bigl(f_1(x,Y),\ldots, f_n(x,Y)\bigr)^T,~ Y_0= \bigl(y_{1\,0},\ldots, y_{n\,0}\bigr)^T[/math]. Теорема 6.2 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.5),(6.6)). Пусть выполнены следующие условия: а) функции [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline{1,n}[/math], определены и непрерывны в некоторой замкнутой области [math]\overline{D}[/math], а также имеют в [math]\overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y_1,\ldots,y_n[/math]; б) точка [math](x_0,y_{1\,0},y_{2\,0},\ldots,y_{n\,0})[/math] лежит внутри области [math]\overline{D}[/math]. Тогда решение задачи Коши (6.5),(6.6) существует и единственно. Замечания. 1. Во многих практических приложениях независимая переменная обозначается через [math]t[/math] и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей. 2. Понятия общего и частного решений, общего и частного интегралов для уравнения первого порядка и систем совпадают по форме, если заменить функцию [math]y(x)[/math] на вектор-функцию [math]Y(x),~ f(x,y)[/math] на [math]F(x,Y)[/math], а [math]y_0[/math] — на [math]Y_0[/math]. Численные методы, рассматриваемые в данном разделе, пригодны для решения задач Коши, записанных в форме (6.5),(6.6). Чтобы решить задачу Коши (6.4) этими методами, ее необходимо привести к системе [math]n[/math] уравнений первого порядка, т.е. к виду (6.5),(6.6). Обозначая [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)= y'(x),~\ldots,~ y_n(x)= y^{(n-1)}(x)[/math], получаем [math]\left\{\! \begin{aligned}&\frac{dy_1}{dx}=y_2, &\quad & y_1(x_0)=y_0,\\ &\frac{dy_2}{dx}=y_3, &\quad & y_2(x_0)=y'_0,\\[-4pt] &\quad\vdots &\quad &\quad\vdots\\[-2pt] &\frac{dy_n}{dx}=f(x,y_1,\ldots,y_n), &\quad & y_n(x_0)=y^{(n-1)}_0. \end{aligned}\right.[/math] (6.8) Получим точное решение модельного примера, используемого далее для демонстрации применения различных численных методов. Пример 6.1. Найти аналитическое решение задачи Коши [math]Ty'+y=1,~ y(0)=0[/math], где [math]T>0[/math] — известное число, называемое постоянной времени. РешениеРешение задачи Коши найдем с помощью известной методики. 1. Определим общее решение однородного уравнения [math]Ty'+y=0[/math]. Поскольку корень [math]\lambda=-1\!\!\not{\phantom{|}}\,T[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]T\lambda+1=0[/math] действительный, то [math]y_0(x)=Ce^{\lambda x}= Ce^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}[/math] — общее решение однородного уравнения. 2. Частное решение неоднородного уравнения ищется в форме [math]y_{\text{ch}}=A[/math], где [math]A=\text{const}[/math]. После подстановки в решаемое уравнение получаем [math]y_{\text{ch}}=1[/math]. 3. Общее решение неоднородного уравнения получается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: [math]y(x)= y_0(x)+ y_{\text{ch}}= Ce^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}+1.[/math] Ему соответствует семейство интегральных кривых, характеризующееся параметром [math]C[/math], который может принимать произвольные значения. 4. Частное решение неоднородного уравнения находим из начального условия: [math]y(0)=C+1=0[/math]. Отсюда [math]C=-1[/math] и [math]y(x)=1-e^{-x\!\not{\phantom{|}}\,\,T}[/math]. Пример 6.2. Записать дифференциальное уравнение второго порядка [math]2y''+y'+4y=6\sin{x},~ y(0)=1,~ y'(0)=2[/math], в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. РешениеВведем обозначения: [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)=y'_1(x)[/math] и запишем уравнение в форме [math]y''=-\frac{1}{2}y'-2y+3\sin{x}[/math], разрешенной относительно старшей производной. Тогда получим [math]\left\{\!\begin{aligned}&y'_1=y_2,&\quad &y_1(0)=1,\\ &y'_2=-\frac{1}{2}y_2-2y_1+3\sin{x},&\quad &y_2(0)=2. \end{aligned}\right.[/math] Численные и приближенно-аналитические методы решения задачи Коши в отличие от аналитических методов позволяют найти искомую функцию [math]y(x)[/math] лишь приближенно. Но при этом численные методы являются более универсальными, так как с их помощью можно приближенно решать многие из задач, точные решения которых аналитическими методами не могут быть найдены. Аналитическими методами в основном решаются только линейные задачи и некоторые типы нелинейных задач, в то время как для численных методов эти ограничения отсутствуют. Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядка [math]y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\quad x\in(a,b).[/math] (6.9) Численное решение задачи ищется в узлах сетки [math]\Omega_n= \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}[/math], где [math]h_{i+1}=x_{i+1}-x_{i},~ i=\overline{0,n-1}[/math] — расстояние между соседними узлами, называемое шагом интегрирования (параметром сетки). Если [math]h_{i+1}=h=\text{const}[/math], сетка называется равномерной (регулярной), а если [math]h_{i+1}=\text{var}[/math] — неравномерной (нерегулярной). В случае равномерной сетки узлы находятся по формуле [math]x_{i}= x_0+ih,~ i=\overline{0,n}[/math], а в случае неравномерной (где [math]\delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math] — параметр нерегулярности): [math]x_1=x_0+h_1,\quad x_2=x_1+h_2=x_1+\delta_2h_1,\quad \ldots,\quad x_{i+1}=x_{i}+ \delta_{i+1}h_{i},\quad\ldots, \quad x_n=x_{n-1}+\delta_{n}h_{n-1}.[/math] Решение находится в виде последовательности значений [math]\widehat{y}_0,\widehat{y}_1, \widehat{y}_2,\ldots, \widehat{y}_n[/math], являющихся приближением значений [math]y_0,y(x_1),y(x_2),\ldots,y(x_n)[/math] точного решения [math]y(x)[/math] в узлах сетки [math]\Omega_{n}[/math] (рис. 6.1). Сеточное представление [math]y(x_i),~i=\overline{0,n}[/math], известной функции [math]y(x)[/math] (точного решения задачи Коши) называется проекцией [math]y(x)[/math] на сетку [math]\Omega_n[/math]. Дискретные и непрерывно-дискретные методыЧисленные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений делятся на две группы: – дискретные методы, позволяющие найти решение только в узлах сетки. Эти методы называются еще разностными методами или методами сеток; – непрерывно-дискретные методы, основанные на использовании дискретных методов и сплайн-функций для восполнения численных результатов. Они позволяют найти непрерывные решения дифференциальных уравнений. Дискретные методы (методы сеток) подразделяются на явные и неявные. Значение [math]\widehat{y}_{i+1}[/math], на (i+1)-м шаге может определяться явно: [math]\widehat{y}_{i+1}= \Phi(x_{i-k+1},\ldots, x_{i-1}, x_{i}, \widehat{y}_{i-k+1}, \ldots, \widehat{y}_{i-1},\widehat{y}_{i}),[/math] (6.10) где [math]\Phi(.)[/math] — некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки [math](x_{i},\widehat{y}_{i})[/math] могут использоваться еще [math](k-1)[/math] предыдущих точек), или неявно: [math]\widehat{y}_{i+1}= \Phi(x_{i-k+1},\ldots, x_{i-1}, x_{i},x_{i+1}, \widehat{y}_{i-k+1}, \ldots, \widehat{y}_{i-1},\widehat{y}_{i},\widehat{y}_{i+1}),[/math] (6.11) где искомая величина [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] входит одновременно и в левую, и в правую часть. Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые (k-шаговые). В одношаговых методах для расчета очередной точки [math](x_{i+1},\widehat{y}_{i+1})[/math] требуется информация только о последней рассчитанной точке [math](x_{i},\widehat{y}_{i})[/math]. В k-шаговых методах для нахождения точки [math]x_{i+1},\widehat{y}_{i+1}[/math] требуется информация о [math]k[/math] предыдущих точках (рис. 6.2). Формулы (6.10),(6.11) в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] и называются разностными схемами. Численный алгоритм (метод) называется устойчивым, если численные результаты непрерывно зависят от входных данных и если погрешность остается ограниченной при заданных пределах изменения параметров численного алгоритма (шагов сетки, числа итераций и др.). Сходимость приближенных методов является основной проблемой, от успешного преодоления которой зависит точность решения всей задачи. Численный алгоритм называется сходящимся, если при стремлении его параметров к определенным предельным значениям, например, при [math]h\to0[/math] (или при [math]s\to\infty[/math], где [math]s[/math] — число итераций), результаты стремятся к точному решению. При известном точном решении некоторой модельной задачи сходимость может быть проверена следующим образом. Фиксируется некоторая точка [math]x>x_0[/math] и строится последовательность сеток [math]\Omega_{n}[/math], таких, что [math]h\to0,[/math] [math]x=x_{n}= x_{0}+nh[/math]. Здесь для простоты считаем, что все сетки, образующие указанную последовательность, являются равномерными. Тогда, если [math]|\widehat{y}_{n}-y(x_{n})|\to0[/math] при [math]h\to0~ (n\to\infty)[/math], то метод является сходящимся в точке [math]x[/math]. Если метод сходится в каждой точке [math]x\in[c,d]\subset (a,b)[/math], то он сходящийся на [math][c,d][/math]. Локальная и глобальная ошибкиЛокальной ошибкой численного метода на (i+1) -м шаге называется величина [math]\varepsilon_{i+1}(h)= \widehat{y}_{i+1}-y(x_{i+1}),[/math] где [math]y(x_{i+1})[/math] — значение точного решения при [math]x=x_{i+1}[/math], а [math]\widehat{y}_{i+1}[/math] — приближенное решение, получаемое по формуле (6.10) или (6.11) при условии, что вместо приближенных значений [math]\widehat{y}_{i}, \widehat{y}_{i-1},\ldots, \widehat{y}_{i-k+1}[/math] используются значения, соответствующие точному решению, т.е. [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),\ldots, y(x_{i-k-1})[/math]. Глобальной ошибкой называется величина [math]e_{n}(h)= \widehat{y}_{n}-y(x_{n})[/math], где [math]\widehat{y}_{n}[/math] — значение, получаемое по формулам (6.10) или (6.11) при [math]i=n-1[/math]. Глобальная ошибка определяется: а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке [math]x_{i+1}[/math]; б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом; в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения р/+1 вместо точных значений [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),\ldots, y(x_{i-k-1})[/math] берутся приближенные значения [math]\widehat{y}_{i}, \widehat{y}_{i-1},\ldots, \widehat{y}_{i-k+1}[/math], полученные на предыдущих шагах. Локальные ошибки "переносятся" в точку [math]x_n[/math] и формируют глобальную ошибку. Число [math]p[/math] называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть [math]O[/math] большое от [math]h^p[/math], то есть [math]e_n(h)= O(h^p)[/math]. На практике в качестве характеристики точности метода часто используется величина [math]\varepsilon(h)= \max_{i=0,1,\ldots,n}\bigl|\widehat{y}_{i}-y(x_{i})\bigr|[/math]. Рассмотрим введенные понятия более подробно на примере явных одношаговых методов, построенных для задачи (6.9). При этом формулу (6.10) представим в виде [math]\widehat{y}_{i+1}= \widehat{y}_{i}+h\cdot \Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h),[/math] где [math]\Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h)[/math] — некоторая функция, определяемая конструкцией того или иного метода. Обозначим [math]y(x,x_{i},\widehat{y}_{i})[/math] — решение задачи Коши [math]u'=f(x,u),~ u(x_{i})= \widehat{y}_{i}[/math]. Тогда локальная ошибка определяется выражением [math]\varepsilon_{i+1}(h)= \widehat{y}_{i}+ h\cdot \Psi(\widehat{y}_{i},x_{i},h)-y(x_{i+1}, x_{i}, \widehat{y}_{i}).[/math] Геометрическая интерпретация возникновения локальных и глобальной ошибок изображена на рис. 6.3. Можно показать, что если локальная ошибка имеет порядок [math](p+1)[/math], то есть [math]\varepsilon_{i+1}(h)= O(h^{p+1})[/math], то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е. [math]e_{n}(h)= O(h^p)[/math]. Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов. Она проверяется на "тестовом примере" [math]y'=\mu\cdot y,\quad y(0)=1,[/math] (6.12) где [math]\mu[/math] — в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение в (6.12) является простейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме. Устойчивость методов решения задачи КошиМетод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число [math]h_{\text{kr}}>0[/math], что при использовании метода для решения задачи (6.12), где [math]\operatorname{Re}\mu<0[/math], с шагом [math]0<h<h_{\text{kr}}[/math] при [math]i\to\infty[/math] глобальная ошибка ограничена. Величина [math]h_{\text{kr}}[/math] называется критическим шагом. Если [math]h>h_{\text{kr}}[/math], глобальная ошибка может неограниченно возрастать. В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага [math]h[/math] необходимо учитывать значение критического шага [math]h_{\text{kr}}[/math]. Для сложных дифференциальных уравнений и систем нахождение [math]h_{\text{kr}}[/math] является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивы при любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемой точности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен). Метод называется A-устойчивым, если при его применении с любым фиксированным положительным шагом [math]h[/math] все численные решения задачи (6.12) с комплексной константой [math]\mu~(\operatorname{Re}\mu<0)[/math] стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math]. Область A-устойчивости — совокупность значений [math]h[/math] и [math]\mu[/math], удовлетворяющих условию [math]\operatorname{Re}(h\mu)<0[/math]. Она изображена на рис. 6.4,а. Выполнение свойства A-устойчивости является желательным, поскольку если решение задачи (6.12) асимптотически устойчиво (в силу условия [math]\operatorname{Re}\mu<0[/math] корень характеристического уравнения находится в левой полуплоскости), то погрешность численного решения стремится к нулю при любой величине шага [math]h>0[/math]. При исследовании устойчивости численного метода необходимо использовать соответствующую ему разностную схему для решения задачи (6.12) и привести ее к линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами: [math]a_ny(i+n)+ a_{n-1}y(i+n-1)+\ldots+a_0y(i)=g(i),\quad i=0,1,2,\ldots[/math] Известно, что критерием устойчивости решения линейного разностного уравнения является требование расположения корней [math]\lambda_{i}[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]a_n \lambda^n+ a_{n-1}\lambda^{n-1}+ \ldots+a_0=0[/math] внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, т.е. [math]|\lambda_{i}|<1,\quad i=\overline{1,n}.[/math] (6.13) Замечания 1. Численные методы, которые можно представить в виде (где |[math]|\alpha_0|+|\beta_0|\ne0,~ f_{i+1-j}= f(x_{i+1-j}, \widehat{y}_{i+1-j})[/math] называются линейными k-шаговыми методами) [math]\sum\limits_{j=0}^{k} \bigl(\alpha_{j}\cdot \widehat{y}_{i+1-j}+ h\cdot \beta_{j}\cdot f_{i+1-j}\bigr)=0.[/math] (6.14) Обозначим [math]\textstyle{\rho(\xi)= \sum\limits_{j=0}^{k} \alpha_{j}\xi^{k-j},~ \sigma(\xi)= \sum\limits_{j=0}^{k} \beta_{j}\xi^{k-j}}[/math]. Линейный многошаговый метод является устойчивым, если для фиксированного значения [math]h\mu[/math] корни уравнения [math]\rho(\xi)+h\cdot\mu\cdot \sigma(\xi)=0[/math] (6.15) лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат. 2. Для ограниченно устойчивых методов важной задачей является нахождение величины критического шага [math]h_{\text{kr}}[/math]. Если константа [math]\mu[/math] в уравнении (6.12) действительная, то можно найти интервал устойчивости. 3. Существуют определения, смягчающие свойство A-устойчивости. Приведем одно из них. Метод называется A(α)-устойчивым, [math]\alpha\in(0,\pi\!\!\not{\phantom{|}}\,2)[/math], если при его применении все численные решения уравнения (6.12) с фиксированным положительным шагом [math]h[/math] стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math] для всех [math]\mu[/math], удовлетворяющих условию [math]|\arg(-\mu)|<\alpha,~ |\mu|\ne0[/math], где [math]\arg(-\mu)[/math] — аргумент комплексного числа [math](-\mu)[/math]. Область A(α)-устойчивости показана на рис. 6.4,5. Это условие применимо и для линейных систем с постоянными коэффициентами [math]y'=Ay[/math], где [math]A[/math] — матрица коэффициентов, имеющая собственные значения [math]\lambda_{i},~ i=\overline{1,n}[/math]. Геометрическая интерпретация изображена на рис. 6.4,в. 4. Можно показать, что явные линейные многошаговые методы не могут быть A-устойчивыми.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |