Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными

Численные методы решения уравнений
математической физики с двумя переменными


Постановка задачи и основные положения


Математические модели современных систем проектирования летательных аппаратов, а также физические явления в таких областях, как динамика жидкости, электричество и магнетизм, механика, оптика, теплопередача, описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве примеров можно привести уравнения Максвелла, закон теплообмена Ньютона, уравнения Эйлера, уравнения Навье-Стокса в механике жидкости и газа, уравнение Шредингера в квантовой механике и др. Производные появляются в уравнениях потому, что они описывают важнейшие физические величины (такие, как скорость, ускорение, сила, поток, трение, электрический ток и т.д.). В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных.


В общем случае нелинейное уравнение в частных производных может быть записано в виде


F\! \left(x_1,x_2,\ldots,x_k,u, \frac{\partial u}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial u}{\partial x_k}, \frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2u}{\partial x_1 \partial x_2},\ldots, \frac{\partial^nu}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\ldots \partial x_k^{p_k}}\right)=0,
(8.1)

где x_1,x_2,\ldots,x_k — независимые переменные, u(x_1,x_2,\ldots,x_k) — неизвестная (искомая) функция, p_1+p_2+\ldots+p_k=n,~ p_{i} — целые неотрицательные числа. Во многих практических задачах в качестве независимых переменных используется время t и пространственные координаты в декартовой, цилиндрической или сферической системах координат. Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя или более — многомерными (двумерными, трехмерными и т.д.).


Классическим решением уравнения (8.1) называется функция u(x_1,x_2,\ldots,x_k), имеющая частные производные до требуемого порядка и обращающая это уравнение в тождество. Общее решение ДУЧП зависит от произвольных функций с числом аргументов на единицу меньше, чем у функции u(x_1,x_2,\ldots,x_k). Например, дифференциальное уравнение \frac{\partial^2u(x_1,x_2)}{\partial x_1^2}=1 имеет общее решение u(x_1,x_2)= \frac{x_1^2}{2}+ \varphi(x_2)x_1+ \psi(x_2), где \varphi(x_2),\,\psi(x_2) — произвольные функции. Для выделения частного решения необходимо задавать дополнительные условия на поверхностях размерности k-1 в пространстве независимых переменных x_1,x_2,\ldots,x_k. К этим условиям относятся начальные и граничные (краевые) условия.


Порядком уравнения называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение. Если функция F линейна относительно искомой функции u(x_1,x_2,\ldots,x_k) и ее производных, то уравнение (8.1) называется линейным. Если функция F линейна по высшим производным (n-го порядка), т.е. коэффициенты при высших производных зависят только от функции {u} и ее производных до (n-1)-го порядка, то дифференциальное уравнение называется квазилинейным.


В данной лекции будут рассмотрены численные методы решения классических линейных одномерных уравнений математической физики, в которых в качестве независимых переменных, как правило, используется время и одна пространственная координата.


Пусть D — некоторая односвязная область изменения независимых переменных x,\,t. Напомним принципы классификации линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка, записанного в канонической форме:


\begin{aligned}& A(x,t)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}+ 2B(x,t)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial \partial t\,\partial x}+ C(x,t)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\,+\\ &+\,D(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}+ E(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+ F(x,t)u(x,t)= G(x,t),\quad (x,t)\in D,\end{aligned}
(8.2)

где u(x,t) — искомая функция; A(x,t),B(x,t),C(x,t),D(x,t),E(x,t),F(x,t) — коэффициенты, G(x,t) — свободный член (правая часть). Предполагается, что коэффициенты и правая часть являются заданными дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, причем |A(x,t)|+ |B(x,t)|+ |C(x,t)|\ne0. Если коэффициенты уравнения не зависят от x и t, то уравнение (8.2) называется уравнением с постоянными коэффициентами (в противном случае уравнением с переменными коэффициентами). Уравнение (8.2) называется однородным, если правая часть G(x,t) тождественно равна нулю для всех x и t (в противном случае неоднородным). В уравнении (8.2) независимыми переменными являются x и t, но во многих задачах независимыми переменными являются две пространственные переменные x и y, а искомой функцией u(x,y).


Для упрощения записи будем использовать следующие обозначения:


\begin{aligned}& u_x \equiv \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,, & & u_t \equiv \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\,, & & u_y \equiv \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\,,\\ & u_{xx} \equiv \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\,, & & u_{tt} \equiv \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\,, & & u_{xt} \equiv \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t\,\partial  x}\,,\ldots \end{aligned}

Тогда уравнение (8.2) записывается в форме


A\,u_{xx}+ 2B\,u_{xt}+ C\,u_{tt}+ D\,u_{x}+ E\,u_{t}+ F\,u=G.
(8.3)

Уравнение (8.2) называется уравнением параболического типа в точке M(x_0,t_0) (в области D), если в этой точке (в области D) выполняется условие B^2-AC=0. Уравнение (8.2) называется уравнением гиперболического типа в точке M(x_0,t_0) (в области D), если в этой точке (в области D) выполняется условие B^2-AC>0. Уравнение (8.2) называется уравнением эллиптического типа в точке M(x_0,t_0) (в области D), если в этой точке (в области D) выполняется условие B^2-AC<0.


Заметим, что в различных точках (областях) тип одного и того же уравнения может быть различным. Если коэффициенты A,B,C постоянные, тип уравнения (8.2) не изменяется для любых значений независимых переменных в области D. Он определяется только коэффициентами при вторых производных и не зависит ни от коэффициентов при первых производных, ни от свободного члена, ни от самой функции.


Среди задач математической физики, включающих уравнения гиперболического и параболического типов, выделяются эволюционные (маршевые) задачи. Для этих задач характерно наличие выделенного независимого переменного -маршевой координаты, как правило, времени. Если искомая функция зависит от времени, уравнение называется нестационарным, а если искомая функция не зависит от времени, то стационарным.


Уравнения параболического типа описывают, например, процессы теплопроводности и диффузии, гиперболического — колебательные системы и волновые движения, эллиптического — течение жидкости в стационарных потоках, стационарное распределение напряженности электрического и магнитного полей. Тип уравнения определяет формулировку задачи и численные методы его решения.


Линейное нестационарное уравнение с частными производными первого порядка имеет вид


A(x,t)\cdot u_x+ B(x,t)\cdot u_t+ C(x,t)\cdot u= G(x,t),
(8.4)

где u(x,t) — искомая функция; A(x,t),\, B(x,t),\, C(x,t) — коэффициенты, G(x,t) — правая часть. Предполагается, что коэффициенты и правая часть являются заданными непрерывно дифференцируемыми функциями. Если коэффициенты не зависят от x и t, то уравнение (8.4) называется уравнением с постоянными коэффициентами (в противном случае уравнением с переменными коэффициентами). Уравнение (8.4) называется однородным, если правая часть G(x,t) тождественно равна нулю для всех x и t ( в противном случае неоднородным).


Пример 8.1. Классифицировать следующие уравнения:
а) u_t+u_x=0; б) u_t-u\,u_{xxx}=\sin x; в) u_{xx}+x\,u_{tt}=0; г) u_{tt}-c^2u_{xx}=0;
д) u_t-a^2u_{xx}=0; е) u_{xx}+u_{yy}=0; ж) x\,u_x+ t\,u_{t}+ u^2=0;
з) u_{xy}=0; и) 3u_{xx}+ 7u_{xt}+ 2u_{tt}=0; к) u_tu_{xx}-3x^2uu_{xt}+ 3u_x-u=0.

▼ Решение

Для приведения уравнений "е", "з" в соответствие с (8.1),(8.2) обозначим y=t. Тогда:


а) линейное одномерное нестационарное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, называемое уравнением переноса;

б) квазилинейное одномерное нестационарное уравнение третьего порядка;

в) линейное одномерное нестационарное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, где


A=1,\quad B=0,\quad C=x,\quad D=E=F=G \equiv 0.

Поскольку B^2-AC=-x, то при x>0 это уравнение эллиптического типа, при x=0 — параболического, при x<0 — гиперболического;


г) линейное одномерное нестационарное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где A=-c^2,~ B=0,~ C=1, D=E= F=G \equiv 0. Оно называется одномерным волновым уравнением и описывает распространение плоских звуковых волн в покоящейся среде, продольные колебания стержня, поперечные колебания струны. Поскольку B^2-AC=c^2>0, то это уравнение гиперболического типа при всех x и t;


д) линейное одномерное нестационарное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где A=-a^2,~ B=0,~ C=0 D=F=G \equiv 0, E=1. Оно называется одномерным уравнением теплопроводности. Поскольку BH^2-AC=0, то это уравнение параболического типа при всех x и t;


е) линейное двумерное стационарное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где A=1,~ B=0,~ C=1, D=E=F=G \equiv 0. Оно называется двумерным уравнением Лапласа. Поскольку B^2-AC=-1<0, то это уравнение эллиптического типа при всех x и y;


ж) нелинейное нестационарное уравнение первого порядка;


з) линейное двумерное стационарное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где A=0,~ B=1, C=D=E=F=G \equiv 0. Поскольку B^2-AC=1>0, то это уравнение гиперболического типа при всех x и y;


и) линейное одномерное нестационарное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где A=3,~ B=\frac{7}{2},~ C=2, D=E=F=G \equiv 0. Поскольку B^2-AC=\frac{49}{4}-6>0, то это уравнение гиперболического типа при всех x и t;


к) квазилинейное одномерное нестационарное уравнение второго порядка, так как оно линейно относительно старших производных u_{xx} и u_{xt}, а коэффициенты при этих производных зависят только от {u} и производных первого порядка.


Математические постановки задач с дифференциальными уравнениями в частных производных содержат дифференциальные уравнения и дополнительные условия, позволяющие выделить искомые частные решения среди целого семейства решений.


В математической физике различают три основных типа задач:
1. Задача Коши (с начальными условиями).
2. Краевые (граничные) задачи с краевыми (граничными) условиями.
3. Смешанные задачи (начально-краевые) с начальными и краевыми условиями.

Количество и характер краевых условий в краевых и смешанных задачах определяется типом дифференциального уравнения, его порядком и характером физических процессов, для которых строится математическая модель. Если количество граничных условий превышает нужное число, то задача становится переопределенной и, как правило, не имеет решения. Если их меньше, чем требуется для разрешимости задачи, то ее решение не является единственным. Для анализа разрешимости задач доказываются теоремы о существовании и единственности решения (где это возможно). Для любого заданного дифференциального уравнения целесообразность рассмотрения той или иной задачи определяется корректностью ее постановки. Задача корректно поставлена, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.


Рассмотрим постановки некоторых типовых задач математической физики.




Постановки задач для уравнений первого порядка


Рассмотрим наиболее типичное уравнение первого порядка — одномерное уравнение переноса


\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=0,\quad 0<x<L,\quad 0<t<T,
(8.5)

Область, ограниченная прямоугольником

являющееся модельным для некоторых процессов в механике сплошной среды. Оно описывает конвективный одномерный перенос тепла и является эволюционным. Здесь x=0 и x=L — левый и правый концы отрезка изменения пространственной переменной, t=0 и t=T — моменты начала и окончания процесса. Таким образом, задается область D=(0,L)\times (0,T), ограниченная прямоугольником (рис. 8.1) с длиной L и высотой T. Соотношения t=0,~ 0 \leqslant x \leqslant L задают нижнюю границу области D, соотношения t=T,~ 0<x<L, — верхнюю, x=0,~ 0<t<T — левую границу, x=L,~ 0<t \leqslant T — правую. Далее на множестве \overline{D}= D\cup \partial D= [0,L]\times [0,T], где \partial  D — граница области D, рассматриваются различные начально-краевые задачи для уравнения (8.5).


Начально-краевая задача:
u_t+u_x=0,~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)=\psi(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
u(0,t)=\varphi(t),~~ 0<t \leqslant T (краевое условие на левой границе)

содержит функциональное начальное условие (при t=0) и функциональное краевое условие на левой (x=0)) границе области. Здесь и далее \psi(x),\,\varphi(t) — заданные функции, удовлетворяющие условию их согласования в начале координат.


Задана Коши:

\begin{gathered}u_t+u_x=0,\quad-\infty<x<+\infty,\quad 0<t<T,\\[2pt] u(x,0)=\psi(x),\quad-\infty<x<+\infty,\quad \text{(nachalnoe uslovie)} \end{gathered}

содержит только функциональное начальное условие (при t=0) и рассматривается в бесконечной области изменения пространственной переменной.


Во всех перечисленных задачах требуется найти функцию u(x,t), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.5) в области D и соответствующим условиям на ее границе.




Постановки задач для уравнений параболического типа


Рассмотрим наиболее типичное уравнение параболического типа — уравнение теплопроводности в однородной среде или диффузии


\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=a^2\cdot \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\,,\quad 0<x<L,~ 0<t<T,
(8.6)

где {u} — температура, a^2=\frac{k}{c\,\rho},~ k — коэффициент теплопроводности, c — удельная теплоемкость, \rho — плотность (в задаче диффузии {u} — концентрация диффундирующего вещества, a^2=\frac{d}{c},~ d — коэффициент диффузии, c — коэффициент пористости среды, который определяется отношением объема пор к рассматриваемому объему), x=0 и x=L — левый и правый концы отрезка изменения пространственной переменной, t=0 и t=T — моменты начала и окончания процесса. Таким образом, на множестве \overline{D}= [0,L]\times [0,T] рассматриваются различные начально-краевые задачи для уравнения (8.6) (рис. 8.1).


Первая начально-краевая задача:
u_t=a^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)=\psi(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
u(0,t)= \varphi_1(t),~~ 0<t\leqslant T, (краевое условие на левой границе)
u(L,t)= \varphi_2(t),~~ 0<t \leqslant T (краевое условие на правой границе)

содержит функциональное начальное условие (при t=0) и функциональные краевые условия на левой (x=0) и правой (x=L) границах области. Здесь и далее \psi(x),\, \varphi_1(t),\, \varphi_2(t) — заданные функции.


Вторая начально-краевая задача:
u_t=a^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)=\psi(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=\varphi_1(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на левой границе)
\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}= \varphi_2(t),~~ 0<t \leqslant T (краевое условие на правой границе)

содержит функциональное начальное условие (при t=0) и дифференциальные краевые условия на левой (x=0) и правой (x=L) границах области.


Третья начально-краевая задача:
u_t=a^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)=\psi(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\alpha_0\,\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}+ \beta_0u(0,t)= \varphi_1(t),~~ 0<t \leqslant T (краевое условие на левой границе)
\alpha_1\,\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}+\beta_1u(L,t)= \varphi_2(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на правой границе)

содержит функциональное начальное условие (при t=0) и функционально-дифференциальные краевые условия на левой (x=) и правой (x=L) границах области. Здесь \alpha_0,\beta_0, \alpha_1,\beta_1 — заданные числа (\alpha_{i}^2+ \beta_{i}^2>0,~ i=1;2) либо функции от t в более общем случае.


Задача Коши:

\begin{gathered}u_t=a^2u_{xx},\quad-\infty<x<+\infty,~ 0<t<T\\[2pt] u(x,0)= \psi(x),\quad-\infty<x<+\infty, \quad \text{(nachalnoe uslovie)} \end{gathered}

содержит только функциональное начальное условие (при t=0) и рассматривается в бесконечной области изменения пространственной переменной.


Примером физической задачи, приводящей к первой начально-краевой задаче, может быть процесс теплопередачи по длинному тонкому стержню, лежащему вдоль оси Ox от x=0 до x=L (ось стержня совпадает с осью Ox). Предполагается, что в точке x=0 температура изменяется со временем по закону \varphi_1(t), а в точке x=L по закону \varphi_2(t). В начальный момент времени при t=0 функцией \psi(x) задано начальное распределение температуры вдоль стержня. Тогда распределение температуры вдоль него во все последующие моменты времени определяется решением начально-краевой задачи с уравнением (8.6), где u(x,t) — температура стержня в некоторой точке x в момент времени t.


Во всех перечисленных задачах требуется найти функцию u(x,t), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.6) в области D и соответствующим условиям на ее границе.




Постановки задач для уравнений гиперболического типа


Рассмотрим наиболее типичное уравнение гиперболического типа — одномерное волновое уравнение, которое описывает, в частности, малые поперечные колебания струны:


\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}= c^2\cdot \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\,,\quad 0<x<L,~ 0<t<T,

где u(x,t) — отклонение струны от положения равновесия в некоторой точке x в момент времени t, коэффициент c^2= \mathbf{T}\!\!\not{\phantom{|}}\,\rho,~ \rho — линейная плотность струны, \mathbf{T} — натяжение, x=0 и x=L — левый и правый концы отрезка изменения пространственной переменной, t=0 и t=T — моменты начала и окончания процесса. Из предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения, возникающего в струне, не зависит от времени. При этом также считается, что внешние силы, которые могли бы действовать на струну, отсутствуют.


Волновое уравнение описывает также малые продольные колебания упругого стержня. Тогда c^2=k\!\!\not{\phantom{|}}\,\rho,~ k — модуль Юнга, \rho — плотность. Это же уравнение описывает распространение звуковых волн в сжимаемой среде и называется уравнением акустики, в котором c^2=\frac{\gamma\,p_0}{\rho_0}, \gamma=\frac{c_p}{c_{\nu}},~ p_0,\,\rho_0 — давление и плотность невозмущенной среды, c_{\nu},\,c_p — коэффициенты теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно. Для газовой среды это уравнение может быть получено из уравнений газовой динамики путем их линеаризации.


Таким образом, на множестве \overline{D}= [0,L]\times [0,T] рассматриваются различные начально-краевые задачи для уравнения (8.7) (см. рис. 8.1).


Первая начально-краевая задача:
u_{tt}= c^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)= \psi_1(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}= \psi_2(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
u(0,t)= \varphi_1(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на левой границе)
u(L,t)= \varphi_2(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на правой границе)

содержит функциональное и дифференциальное начальные условия (при t=0) и функциональные краевые условия на левой (x=) и правой (x=L) границах области. Здесь и далее \psi_1(x),\psi_2(x), \varphi_2(x), \varphi_2(t) — заданные функции.


Вторая начально-краевая задача:
u_{tt}= c^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)= \psi_1(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}= \psi_2(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}= \varphi_1(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на левой границе)
\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}= \varphi_2(t),~~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на правой границе)

содержит функциональное и дифференциальное начальные условия (при t=0) и дифференциальные краевые условия на левой (x=0) и правой (x=L) границах области.


Третья начально-краевая задача:
u_{tt}= c^2u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,
u(x,0)= \psi_1(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}= \psi_2(x),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, (начальное условие)
\alpha_0\, \frac{\partial u(0,t)}{\partial x}+ \beta_0\,u(0,t)= \varphi_1(t),~ 0<t \leqslant T, (краевое условие на левой фанице)
\alpha_1\, \frac{\partial u(L,t)}{\partial x} + \beta_1\,u(L,t)= \varphi_2(t),~ 0<t \leqslant T (краевое условие на правой фанице)

содержит функциональное и дифференциальное начальные условия (при t=0) и функционально-дифференциальные краевые условия на левой (x=0) и правой (x=L) границах области. Здесь \alpha_0,\beta_0, \alpha_1, \beta_1 — заданные числа, |\alpha_{i}|+ |\beta_{i}|>0. В более общем случае коэффициенты, входящие в краевые условия, являются функциями времени.


Задача Коши:
u_{tt}=c^2u_{xx},~~-\infty<x<+\infty,~ 0<t<T,
u(x,0)=\psi_1(x),~~-\infty<x<+\infty, (начальное условие)
\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}= \psi_2(x),~~-\infty<x<+\infty, (начальное условие).

содержит только функциональное и дифференциальное начальные условия (при t=0) и рассматривается в бесконечной области изменения пространственной переменной.


Во всех перечисленных задачах требуется найти функцию u(x,t), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.7) в области D и соответствующим условиям на ее границе.




Постановки задач для уравнений эллиптического типа


Рассмотрим наиболее типичное уравнение эллиптического типа — уравнение Лапласа


\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2u(x,y)}{\partial y^2}=0,\quad (x,y)\in \Omega,
(8.8)

или более общее уравнение Пуассона

\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2u(x,y)}{\partial y^2}= f(x,y),\quad (x,y)\in \Omega,

Односвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей

где \Omega — некоторая односвязная область на плоскости Oxy с простой (без кратных точек) кусочно-гладкой границей \Gamma (рис. 8.2). В простейшем случае, рассматриваемом далее, область \Omega имеет прямоугольную форму.


Уравнение Пуассона описывает стационарное течение идеальной жидкости, в которой отсутствует вязкость и теплопроводность, стационарное распределение тепла в теле и др. Это же уравнение описывает стационарное распределение напряженности электрического или магнитного поля в электродинамике. Уравнение Лапласа описывает эти явления, когда внутри \Omega нет источников и стоков, а уравнение Пуассона — с распределенными по области \Omega источниками, задаваемыми правой частью f(x,y).


Поскольку в уравнении (8.8) отсутствуют производные по времени, задача является стационарной, следовательно, начальные условия в ней не задаются. На границе \Gamma области \Omega могут задаваться краевые (граничные) условия трех видов, что порождает три краевые задачи.


Первая краевая задача (задача Дирихле):
u_{xx}+u_{yy}=0,~~ (x,y)\in \Omega,
\Bigl.{u}\Bigr|_{\Gamma}= \varphi(x,y),\quad (x,y)\in \Gamma, (краевое условие)

содержит функциональное краевое условие на границе \Gamma области \Omega,~ \varphi(x,y) — заданная функция.


Вторая краевая задача (задача Неймана):
u_{xx}+u_{yy}=0,~~ (x,y)\in \Omega,
\left.{\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}}\right|_{\Gamma}= \varphi(x,y),~~ (x,y)\in \Gamma, (краевое условие)

содержит дифференциальное краевое условие, в котором задается производная в направлении внешней нормали \vec{n} на границе \Gamma области \Omega (рис. 8.2).


Третья краевая задача:
u_{xx}+u_{yy}=0,~~ (x,y)\in \Omega,
\left.{\alpha\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}}\right|_{\Gamma}+ \Bigl.{\beta\,u}\Bigr|_{\Gamma}= \varphi(x,y),~~ (x,y)\in \Gamma, (краевое условие)

содержит функционально-дифференциальное краевое условие, в котором задается линейная комбинация производной в направлении внешней нормали и функции u(x,y) на границе \Gamma области \Omega. В более общем случае \alpha и \beta зависят от переменных x и y.


В качестве примера задачи Дирихле можно привести задачу о нахождении стационарного распределения температуры внутри области, если задана температура на ее границе. Примером задачи Неймана служит задача стационарной теплопроводности и электростатики, если на границе задан поток (тепла, электронов).


Во всех перечисленных задачах требуется найти функцию u(x,y), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.8) в области \Omega и соответствующему краевому условию на ее границе \Gamma.


Замечания.

1. Тип неравенств (строгое или нестрогое) в краевых и начальных условиях в каждом конкретном случае определяется особенностями физической задачи.

2. Для существования достаточно гладких решений поставленных задач требуется выполнение условий согласования начальных и краевых условий в углах расчетной области.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved