Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Цена форвардного контракта инвестора

Цена форвардного контракта инвестора


Когда заключается форвардный контракт, его цена равна нулю, так как форвардная цена равна цене поставки. Однако по прошествии времени контракт получит некоторую цену. Прошло время, возможно изменилась и процентная ставка, поэтому на рынке возникла новая форвардная цена. Однако наш форвардный контракт дает инвестору возможность получить базисный актив по цене поставки, которая отличается от цены поставки контрактов, заключаемых в данный момент времени. Рассмотрим вопрос определения цены форвардного контракта на примере.


Пример 1. В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту выросла до 120 руб. Необходимо определить цену контракта.


В соответствии с условием контракта его владелец через три месяца должен будет заплатить 105 руб. за акцию. Дисконтированная стоимость данной суммы сейчас равна:


[math]\frac{105}{1+0,\!1\cdot(3/12)}= \frac{105}{1+0,\!1\cdot0,\!25}= \frac{105}{1,\!025}\approx102,\!44[/math] руб.

Инвестор может разместить данную сумму на безрисковый депозит на три месяца и купить по некоторой цене форвардный контракт. Тогда через три месяца он получит акцию. В то же время, он может купить сегодня акцию за 120 руб. на спотовом рынке. Тогда через три месяца он также будет располагать акцией. На акцию не выплачиваются дивиденды, поэтому сегодня оба варианта действий должны быть одинаковыми для него с финансовой точки зрения, поскольку в конце периода они приносят ему одинаковый результат. Поэтому можно записать равенство:


[math]f+102,\!44=120[/math] руб. Отсюда: [math]f=120-102,\!44=17,\!56[/math] руб.

Таким образом, цена форвардного контакта равна разности между ценой акции в момент продажи форвардного контракта и приведенной стоимостью цены поставки к моменту его перепродажи. Запишем сказанное в виде формулы:


[math]f=S-\frac{K}{1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}[/math]
(2.6)

или для непрерывно начисляемого процента:


[math]f=S-K\cdot\exp(-r\cdot T).[/math]
(2.7)

Умножим обе части формулы (2.6) на [math]\left(1+r\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)\colon[/math]


[math]f\cdot\!\left(1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}\right)= S\cdot\!\left(1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}\right)-K,[/math]
(2.8)

где [math]T[/math] — время, остающееся до истечения контракта.


В формуле (2.8) величина [math]S\cdot\!\left(1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}\right)[/math] является новой форвардной ценой акции для момента перепродажи контракта. Поэтому:


[math]f\cdot\!\left(1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}\right)=F-K\quad \text{or}\quad f=\frac{F-K}{1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}\,.[/math]
(2.9)

Дня непрерывно начисляемого процента эквивалентом формулы (2.9) является формула:


[math]f=(F-K)\cdot\exp(-r\cdot T).[/math]
(2.10)

Таким образом, формулы (2.9) и (2.10) показывают, что цену форвардного контракта можно найти дисконтированием разности между новой форвардной ценой, т.е. форвардной ценой в момент продажи контракта, и ценой поставки контракта.


Мы рассмотрели цену форвардного контракта для участника, занимающего длинную позицию. Чтобы получить стоимость контракта для участника с короткой позицией, необходимо формулы (2.6), (2.7) и (2.9), (2.10) умножить на минус один. В частности для случая непрерывно начисляемого процента получим:


[math]-f=K\exp(-rT)-S~~ \text{and}~~ -f=(K-F)\exp(-r T)[/math]. где [math](-f)[/math] — цена контракта для лица с короткой позицией.

Поскольку цена спот акции в последующем может как вырасти, так и упасть, то цена форвардного контракта может иметь как положительную, так и отрицательную цену. Причем, если для участника с длинной позицией цена положительная, то для участника с короткой позицией она отрицательная, и наоборот. Отрицательная цена для участника контракта означает: для того, чтобы освободиться от обязательств по форварду, ему необходимо уплатить данную сумму новому лицу, которое займет его позицию в контракте. Так в рассмотренном примере, если контракт перепродает лицо с короткой позицией, то ему придется уплатить покупателю, который возьмет на себя его обязательства, 17,56 руб. Этого требует принцип получения одинакового результата при разных вариантах действий. В нашем случае лицо, желающее открыть короткую позицию по акции с поставкой через три месяца, может не покупать уже действующий контракт, а продать новый форвардный контракт. Тогда в нем будет записана цена поставки:


[math]F=120\cdot\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)= 120\cdot\!\left(1+0,\!025\right)=123[/math] руб.

Купив старый контракт, оно сможет продать акцию только по 105 руб. Естественно, такой вариант является для него не выгодным. Однако, если продавец контракта уплатит ему 17,56, то, разместив их на трехмесячном депозите, новый владелец контракта получит:


[math]17,\!56\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)= 17,\!56\cdot\!\left(1+0,\!025\right)=18[/math] руб.

В сумме с поставкой акции по контракту за 105 руб. данный вариант действий также обеспечит ему получение через три месяца 123 руб.


Если в примере 1 цена форвардного контракта будет отлична от 17,56 руб. то можно совершить арбитражную операцию. Проиллюстрируем это на цифрах.


Пример 2. (Сохраняются условия примера 1). Алгоритм действий арбитражера можно получить на основе формулы (2.6).


Пусть форвардный контракт для участника с длинной позицией стоит 17 руб. Тогда равенство (2.6), не допускающее арбитражной ситуации, превращается в неравенство:


[math]F<S-\frac{K}{1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}\,.[/math]
(2.11)

Представим левую часть неравенства как портфель [math]A[/math] правую — как портфель [math]B[/math]. Поскольку портфель А стоит дешевле, его необходимо купить. Портфель [math]B[/math] стоит дороже, его следует продать. Покупка актива обозначается знаком плюс. Знак плюс стоит перед знаком [math]f[/math]. Продажа актива обозначается знаком минус. Поэтому для определения действий, которые означают продажу портфеля [math]B[/math], умножим правую часть неравенства (2.11) на минус один и раскроем скобки:


[math]-\left(S-\frac{K}{1+\dfrac{T}{\text{baza}}}\right)\quad \text{or}\quad -S+\frac{K}{1+\dfrac{T}{\text{baza}}}\,.[/math]
(2.12)

Знак минус перед [math]S[/math] говорит о том, что акцию надо продать. Поскольку арбитражер акцией не располагает, ее следует занять. Знак плюс перед вторым слагаемым выражения (2.12) означает: деньги, полученные от короткой продажи акции, надо разместить на депозите. В целом в рамках арбитражной стратегии инвестор осуществляет короткую продажу акции, покупает на часть полученных средств форвардный контракт, оставшуюся часть денег размещает на депозите до момента истечения контракта.


Таким образом, арбитражер занимает акцию у брокера и продает ее на спотовом рынке за 120 руб. За 17 руб. покупает форвардный контракт. Сумму денег: [math]120-17=103[/math] руб. размещает на депозите и получает через три месяца:


[math]103\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\frac{3}{12}\right)\approx105,\!575[/math] руб.

Из них уплачивает по контракту 105 руб. за акцию и возвращает ее брокеру. Арбитражная прибыль равна: [math]105,\!575-105=0,\!575[/math] руб.


Прибыль можно получить и непосредственно в начале операции. К моменту истечения контракта арбитражер должен располагать 105 руб. для покупки акции. Поэтому он разместит на трехмесячном депозите:


[math]\frac{105}{1+0,\!1\cdot\frac{3}{12}}\approx102,\!439[/math] руб.

которые и принесут ему 105 руб. В результате, из полученных от короткой продажи акции 120 руб. он может сразу использовать прибыль в размере: [math]120-17-102,\!439=0,\!561[/math] руб.


Она равна дисконтированной стоимости прибыли, рассчитанной на момент истечения контракта:


[math]\frac{0,\!575}{1+0,\!1\cdot\frac{3}{12}}\approx0,\!561[/math] руб.

Рассмотрим другой вариант арбитража. Предположим, инвестор не имеет возможности занять акцию для короткой продажи. Тогда он займет 17 руб., купит старый контракт и продаст новый форвардный контракт по цене 123 руб., истекающий одновременно со старым.


Через три месяца по старому контракту он покупает акцию за 105 руб. и продает ее по новому за 123 руб., выиграв на разнице цен: [math]123-105=18[/math] руб.


По кредиту возвращает сумму: [math]17\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)\approx17,\!425[/math] руб. Арбитражная прибыль равна: [math]18-17,\!425=0,\!575[/math] руб. Если инвестор желает использовать прибыль в момент заключения контрактов, то ему следует занять сумму:


[math]\frac{18}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}=\frac{18}{1,\!025}=\approx17,\!561[/math] руб.

т.е. дисконтированную стоимость дохода, который будет получен через три месяца. Из них за 17 руб. он покупает контракт. Арбитражная прибыль, как и раньше, равна: [math]17,\!561-17=0,\!561[/math] руб.


Если форвардный контракт стоит больше 17,56 руб., например, 18 руб., то можно совершить следующую арбитражную операцию. Для владельца короткой позиции контракт стоит минус 18 руб. Арбитражер покупает контракт с короткой позицией, т.е. его прежний владелец уплачивает ему 18 руб. Арбитражер занимает: [math]120-18=102[/math] руб. и покупает акцию на спотовом рынке за 120 руб.


Через три месяца он поставляет акцию по контракту за 105 руб., и отдает по кредиту:


[math]102\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)=104,\!55[/math] руб. Прибыль равна: [math]105-104,\!55=0,\!45[/math] руб.

Пусть инвестор желает использовать арбитражную прибыль сразу. Через три месяца по контракту он получит за акцию 105 руб. Поэтому сегодня он занимает:


[math]\dfrac{105}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}\approx102,\!439[/math] руб.

и покупает акцию. Сумма: [math]18+102,\!439-120=0,\!439[/math] руб. составляет его прибыль. Она равна дисконтированной стоимости величины прибыли на момент истечения контракта:


[math]\dfrac{0,\!45}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}=\frac{0,\!45}{1,\!025}\approx0,\!439[/math] руб.

Рассмотрим другой вариант арбитража. Инвестор покупает контракт с короткой позицией, т.е. прежний владелец уплачивает ему 18 руб., и заключает новый длинный форвардный контракт по цене 123 руб., истекающий одновременно со старым, чтобы к моменту истечения первого контракта (с короткой позицией) располагать акцией. Тогда полученные 18 руб. от владельца короткой позиции по первому контракту он инвестирует на три месяца. В конце периода получает сумму:


[math]18\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)=18\cdot1,\!025=18,\!45[/math] руб.

По старому контракту арбитражер продает акцию за 105 руб., а по новому должен купить ее за 123 руб. Чтобы купить акцию по этой цене, к 105 руб. он прибавляет 18 руб. от средств, полученных по депозиту. Арбитражная прибыль равна: [math]105-123+18,\!45=0,\!45[/math] руб.


Пусть инвестор желает использовать прибыль в начале периода. Тогда на трехмесячном депозите он разместит:


[math]\frac{18}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}=\frac{18}{1,\!025}\approx17,\!561[/math] руб.

Разница между суммой, полученной от владельца короткой позиции и размещаемой на депозите суммой составит его прибыль. Она равна: [math]18-17,\!561 = 0,\!439[/math] руб.


Мы рассмотрели случаи, когда контракт имел положительную цену для владельца длинной позиции. Остановимся теперь на действиях арбитражера, если цена для него отрицательная, т.е. курс спот акции меньше 102,44 руб.




Пример 3. В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту упала до 95 руб. В соответствии с формулой (2.6) цена контракта для лица с длинной позицией должна быть равна:


[math]f=95-\dfrac{105}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}= 95-\dfrac{105}{1,\!025}\approx 95-102,\!439=-7,\!439[/math] руб.

Соответственно для лица с короткой позицией она составляет 7,439 руб.


Пусть фактическая цена равна 7 руб. (для лица с короткой позицией). Контракт стоит дешевле чем должен стоить. Поэтому арбитражер покупает короткий контракт, заняв для этого 7 руб. Одновременно он заключает новый длинный форвардный контракт с ценой поставки:


[math]95\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)= 95\cdot1,\!025=97,\!375[/math] руб.

Через три месяца по второму контракту он покупает акцию за 97,375 руб., по первому — продает за 105 руб. По кредиту уплачивает:


[math]7\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)=97,\!375[/math] руб. Арбитражная прибыль равна: [math]105-97,\!375-7,\!175=0,\!45[/math] руб.

Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале операции. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов на разности цен акций будет получена сумма:


[math]105-97,\!375=7,\!625[/math] руб. Ее дисконтированная стоимость равна: [math]\dfrac{7,\!625}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}\approx7,\!439[/math] руб.

Из этой суммы на 7 руб. арбитражер покупает контракт. Соответственно сумму [math]7,\!439-7=0,\!439[/math] руб. можно использовать в качестве арбитражной прибыли.


Пусть для лица с длинной позицией контракт стоит минус 8 руб. Тогда арбитражер покупает контракт с длинной позицией, т.е. бывший владелец уплачивает ему 8 руб. Он размещает их на депозит и заключает трехмесячный контракт с короткой позицией по цене 97,375 руб.


Через три месяца по первому контракту арбитражер покупает акцию за 105 руб. и поставляет ее по второму за 97,375 руб., по депозиту получает сумму:


[math]8\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)=8,\!2[/math] руб. Арбитражная прибыль равна: [math]97,\!375+8,\!2-105=0,\!575[/math] руб.

Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале операции. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов по первому контракту инвестор должен уплатить 105 руб., а по второму получит 97,375 руб. Отрицательное сальдо на разности цен составит:


[math]97,\!375-105=-7,\!625[/math] руб.

Следовательно, к моменту окончания срока действия контрактов он должен располагать дополнительной суммой в 7,625 руб. Ее дисконтированная стоимость равна:


[math]\dfrac{7,\!625}{1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}}=\dfrac{7,\!625}{1,\!025}\approx7,\!439[/math] руб.

Поэтому из полученной по первому контракту суммы 8 руб. он размещает на депозите 7,439 руб., чтобы через три месяца получить 7,625 руб. Вместе с 97,375 руб. они дадут 105 руб. для покупки акции по первому контракту. Соответственно прибыль равна: [math]8-7,\!439=0,\!561[/math] руб.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved