Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Блочные матрицы и кронекеровские произведение и сумма матриц

Блочные матрицы и кронекеровские произведение и сумма матриц


Блочные (клеточные) матрицы и операции над ними


Числовая матрица A размеров m\times n, разделенная горизонтальными и вертикальными линиями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клеточной) матрицей. Элементами блочной матрицы A являются матрицы A_{ij} размеров m_i\times n_j, i=1,2,\ldots,p, j=1,2,\ldots,q, причем m_1+m_2+\ldots+m_p=m и n_1+n_2+\ldots+n_q=n.


Операции с блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и с числовыми матрицами. Если числовые матрицы A и B равных размеров одинаково разбиты на блоки A=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix} и B=\begin{pmatrix}B_{ij}\end{pmatrix}, то их сумму C=A+B можно аналогичным образом разбить на блоки C=\begin{pmatrix}C_{ij}\end{pmatrix}, причем для каждого блока C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}. Если блочную матрицу A=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix} умножить на число \lambda, то получим матрицу \lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix}\lambda A_{ij}\end{pmatrix}. При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочная структура и все ее блоки, например


A^T= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix} A_{11}^T&\!\!\vline&\!\!A_{21}^T\\\hline A_{12}^T&\!\!\vline&\!\!A_{22}^T\end{pmatrix}\!.



Пример 1.25. Даны блочные матрицы


A=\begin{pmatrix}2&3&\!\!\vline&\!\!4\\\hline 3&4&\!\!\vline&\!\!5\\ 4&5&\!\!\vline&\!\!6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&1&\!\!\vline&\!\!0\\\hline 2&1&\!\!\vline&\!\!2\\ 3&0&\!\!\vline&\!\!1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}B_{11}&\!\!\vline&\!\!B_{12}\\\hline B_{21}&\!\!\vline&\!\!B_{22}\end{pmatrix}\!.

Найти матрицы C=A+B,~D=5B,~B^T.


Решение. Матрицы A и B имеют блоки одинаковых размеров: блоки A_{11} и B_{11} имеют размеры m_1\times n_1=1\times2; блоки A_{12} и B_{12}m_1\times n_2=1\times1; блоки A_{21} и B_{21}m_2\times n_1=2\times2; блоки A_{22} и B_{22}m_2\times n_2=2\times1. Матрица C=A+B будет иметь такие же по размерам блоки C=\begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}. Для каждого блока находим


\begin{gathered} C_{11}=A_{11}+B_{11}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix};\quad C_{12}=A_{12}+B_{12}= \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{21}=A_{21}+B_{21}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5&5\\7&5\end{pmatrix}\!;~~ C_{22}=A_{22}+B_{22}= \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Следовательно, матрица C будет следующая


C=\begin{pmatrix}3&4&\!\!\vline&\!\!4\\\hline 5&5&\!\!\vline&\!\!7\\ 7&5&\!\!\vline&\!\!7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}\!.

Матрица D=5B будет иметь блоки тех же размеров, что и B:


\begin{gathered}D_{11}=5B_{11}=5\cdot \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5&5\end{pmatrix}\!;\quad D_{12}=5B_{12}=5\cdot \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\!;\\[3pt] D_{21}=5B_{21}=5\cdot \begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10&5\\15&0\end{pmatrix}\!;\quad D_{22}=5B_{22}=5\cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\!. \end{gathered}

Поэтому матрица D будет иметь вид


D=\begin{pmatrix}5&5&\!\!\vline&\!\!0\\\hline 10&5&\!\!\vline&\!\!10\\ 15&0&\!\!\vline&\!\!5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}D_{11}&\!\!\vline&\!\!D_{12}\\\hline D_{21}&\!\!\vline&\!\!D_{22}\end{pmatrix}\!.

Используя правило транспонирования блочных матриц, получаем


B^T= \begin{pmatrix}B_{11}^T&\!\!\vline&\!\!B_{21}^T\\\hline B_{12}^T&\!\!\vline&\!\!B_{22}^T\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&\!\!\vline&\!\!2&3\\ 1&\!\!\vline&\!\!1&0\\\hline 0&\!\!\vline&\!\!2&1\end{pmatrix}\!.



Умножение блочных матриц


Рассмотрим теперь операцию умножения блочных матриц A и B. Блочные матрицы A и B называются согласованными, если разбиение матрицы A=\begin{pmatrix}A_{ik}\end{pmatrix} на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы B=\begin{pmatrix}B_{kj}\end{pmatrix} по строкам, т.е. блоки A_{ik} имеют размеры m_i\times p_k, а блоки B_{kj}p_k\times n_j (k=1,2,\ldots,s). У согласованных блочных матриц блоки A_{ik} и B_{kj} являются согласованными матрицами.


Произведением C=A\cdot B согласованных блочных матриц A и B называется блочная матрица C=\begin{pmatrix}C_{ij}\end{pmatrix}, блоки которой вычисляются по следующей формуле


C_{ij}= A_{i1}\cdot B_{1j}+ A_{i2}\cdot B_{2j}+\ldots+ A_{is}\cdot B_{sj}.

Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можно перемножать обычным способом. Чтобы получить блок C_{ij} произведения, надо выделить i-ю строку блоков матрицы A и j-й столбец блоков матрицы B. Затем найти сумму попарных произведений соответствующих блоков: первый блок i-й строки блоков умножается на первый блок j-го столбца блоков, второй блок i-й строки блоков умножается на второй блок j-го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.




Пример 1.26. Даны блочные матрицы


A= \begin{pmatrix}2&3\!\!&\vline\!\!&4\\\hline 3&4\!\!&\vline\!\!&5\\ 4&5\!\!&\vline\!\!&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&\!\!\vline&\!\!A_{12}\\\hline A_{21}&\!\!\vline&\!\!A_{22}\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&1&\!\!\vline&\!\!0\\ 2&1&\!\!\vline&\!\!2\\\hline 3&0&\!\!\vline&\!\!1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}B_{11}&\!\!\vline&\!\!B_{12}\\\hline B_{21}&\!\!\vline&\!\!B_{22}\end{pmatrix}\!.

Найти произведение блочных матриц C=AB.


Решение. Матрица A разбита на блоки: A_{11} размеров m_1\times p_1=1\times2; A_{12}m_1\times p_2=1\times1; A_{21}m_2\times p_1=2\times2; A_{22}m_2\times p_2=2\times1. Матрица B разбита на блоки: B_{11} размеров p_1\times n_1=2\times2; B_{12}p_1\times n_2=2\times1; B_{21}p_2\times n_1=1\times2; B_{22}p_2\times n_2=1\times1. Блочные матрицы A и B согласованы. Матрица A разбита по столбцам на два и один (считая слева), матрица B разбита по строкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение AB определено. Матрица C=AB будет иметь блоки C=\begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}. Для каждого блока находим


\begin{gathered}C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}12&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}20&5\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}= \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}11&7\\14&9\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}15&0\\18&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}26&7\\32&9\end{pmatrix}\!;\\[3pt] C_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}= \begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8\\10\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}13\\16\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Следовательно, матрица C будет иметь вид


C= \begin{pmatrix}20&5\!\!&\vline\!\!&10\\\hline 26&7\!\!&\vline\!\!&13\\ 32&9\!\!&\vline\!\!&16\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}C_{11}&\!\!\vline&\!\!C_{12}\\\hline C_{21}&\!\!\vline&\!\!C_{22}\end{pmatrix}\!.



Замечания 1.7


1. Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матриц выполняются по тем же правилам, что и для обычных матриц, только вместо элементов в формулах используются блоки.


2. Выполняя операции над блочными матрицами, всегда можно их рассматривать как числовые, и проводить указанные операции по обычным правилам для числовых матриц. При этом результат операций (числовая матрица) будет один и тот же. Действия с блочными матрицами предпочтительнее, чем с числовыми, в том случае, когда в результате вычислений требуется искать не всю матрицу, а только ее часть — блок.


3. Матрица, у которой большинство элементов отличны от нуля, называется плотной матрицей. Матрица, большинство элементов которой -нули, называется разреженной матрицей. Для разреженных матриц, подавляющее количество элементов которых равно нулю, полезно выделять нулевые блоки с целью уменьшения вычислительных операций.




Пример 1.27. Найти произведение матриц четвёртого порядка


A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&2&1&0\\ 3&4&0&1\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&5&6\\ 0&0&7&8\end{pmatrix}\!.

Решение. Разобьем данные матрицы на блоки размеров 2\times2\colon


A=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!0&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&0\\\hline 1&2&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 3&4&\!\!\vline&\!\!0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!O\\\hline C&\!\!\vline&\!\!E\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&1\\\hline 0&0&\!\!\vline&\!\!5&6\\ 0&0&\!\!\vline&\!\!7&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline O&\!\!\vline&\!\!D\end{pmatrix}\!.

где C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~ D=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!,~E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} — единичная, O=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} — нулевая. Запишем сначала произведение блочных матриц


AB= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!O\\\hline C&\!\!\vline&\!\!E\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline O&\!\!\vline&\!\!D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E\cdot E+O\cdot O&\!\!\vline&\!\!E\cdot E+O\cdot D\\\hline C\cdot E+E\cdot O&\!\!\vline&\!\!C\cdot E+E\cdot D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&\!\!\vline&\!\!E\\\hline C&\!\!\vline&\!\!C+D\end{pmatrix}\!.

Следовательно, вместо умножения матриц A и B достаточно определить только один блок, сложив матрицы C и D\colon


C+D= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.

Осталось записать результат


AB=\begin{pmatrix}1&0&\!\!\vline&\!\!1&0\\ 0&1&\!\!\vline&\!\!0&1\\\hline 1&2&\!\!\vline&\!\!6&8\\ 3&4&\!\!\vline&\!\!10&12\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&2&6&8\\ 3&4&10&12\end{pmatrix}\!.



Кронекеровские произведение и сумма матриц


Пусть даны матрицы A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix} и B размеров m\times n и p\times q соответственно. Числовая матрица размеров mp\times nq, составленная из блоков a_{ij}B:


A\otimes B= \begin{pmatrix}a_{11}\cdot B&\!\!\vline&\!\!\cdots&\!\!\vline&\!\!a_{1n}\cdot B\\\hline \vdots&\!\!\vline&\!\!\ddots&\!\!\vline&\!\!\vdots\\\hline a_{m1}\cdot B&\!\!\vline&\!\!\cdots&\!\!\vline&\!\!a_{mn}\cdot B \end{pmatrix}

называется правым кронекеровским произведением матриц A и B (или правым прямым произведением матриц).


Пусть A и B квадратные матрицы n-го и m-го порядков соответственно. Кронекеровскои суммой матриц A и B называется квадратная матрица mn-го порядка


A\oplus B=\begin{pmatrix}E_{m}\otimes A\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}B\otimes E_n\end{pmatrix}\!,

где E_m,\,E_n — единичные матрицы соответствующих порядков.




Пример 1.28. Даны матрицы


A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&2&3 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!.

Найти кронекеровское произведение A\otimes B и кронекеровскую сумму A\oplus C.


Решение. По определению находим


\begin{gathered}A\otimes B= \left(\!\begin{array}{c|c}1\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}& 2\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\\\hline 3\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}& 4\cdot \begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\end{array}\!\right)= \begin{pmatrix}1&0&2&2&0&4\\ 0&2&3&0&4&6\\ 3&0&6&4&0&8\\ 0&6&9&0&8&12 \end{pmatrix}\!;\\[8pt] A\oplus C=(E\otimes A)+(C\otimes E)= \left(\!\begin{array}{c|c} 1\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}& 0\cdot \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\\\hline 0\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}& 1\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \end{array}\!\right)+ \left(\!\begin{array}{c|c} 5\cdot \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}& 6\cdot \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\\ \hline 7\cdot \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}& 8\cdot \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \end{array}\!\right)=\\[2pt] =\begin{pmatrix}1&2&0&0\\3&4&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&3&4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&0&6&0\\0&5&0&6\\ 7&0&8&0\\ 0&7&0&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&2&6&0\\ 3&9&0&6\\ 7&0&9&2\\ 0&7&3&12 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved