Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Базис на прямой и координата вектора

Базис на прямой и координата вектора


Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор [math]\vec{e}[/math] на этой прямой (рис. 1.28). Этот вектор [math]\vec{e}[/math] называется базисным.


Базисный вектор

Пусть на прямой [math]l[/math] задан базис [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math]. Для любого вектора [math]\vec{a}[/math], коллинеарного данной прямой, определено отношение [math]\vec{a}:\vec{e}=x[/math], причем число [math]x[/math] определяется однозначно (см. свойство 1 в разд.1.4). Таким образом, справедлива следующая теорема.


Теорема 1.3 (о разложении вектора по базису на прямой). Любой вектор [math]\vec{a}[/math], коллинеарный прямой, может быть разложен по базису [math]\vec{e}[/math] на этой прямой, т.е. представлен в виде


[math]\vec{a}=x\cdot\vec{e}\,,[/math]
(1.2)

где число число [math]x[/math] определяется однозначно.

Коэффициент [math]x[/math] в разложении (1.2) называется координатой вектора [math]\vec{a}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}[/math]. Поскольку векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math] коллинеарны, то координата [math]x[/math] однозначно определяется их отношением (см. свойство 1 в разд. 1.4): [math]x=\frac{\vec{a}}{\vec{e}}[/math]. Например, если вектор [math]\vec{a}[/math] представляется в виде [math]\vec{a}=-2\cdot\vec{e}[/math], то [math]x=-2[/math] — его координата относительно базиса [math]\vec{e}[/math].


Все ненулевые векторы, одинаково направленные с вектором [math]\vec{e}[/math], имеют положительные координаты, а противоположно направленные — отрицательные. Координата нулевого вектора равна нулю.


Замечания 1.5


1. Базисный вектор на прямой задает направление на этой прямой, а его длина определяет масштабный отрезок. Таким образом, задав базис на прямой, получаем ось.


2. В формулировке теоремы 1.3 прямую можно рассматривать как ось, задаваемую вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math].




Координаты суммы векторов и произведения вектора на число


Нетрудно установить следующие свойства для векторов, коллинеарных данной оси.


1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Координата суммы векторов равна сумме координат слагаемых.

3. Координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на координату вектора.

4. Координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации координат векторов.

5. Отношение ненулевых векторов, коллинеарных прямой, равно отношению их координат, определенных относительно любого базиса на этой прямой.


Первое свойство следует из первого свойства отношений коллинеарных векторов (см. разд. 1.4).


Докажем второе свойство. Пусть векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] — коллинеарны оси, задаваемой вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math]. Пусть [math]x_{\vec{a}}=\vec{a}:\vec{e},[/math] [math]x_{\vec{b}}=\vec{b}:\vec{e},[/math] [math]x_{\vec{a}+\vec{b}}=\bigl(\vec{a}+\vec{b}\bigl):\vec{e}[/math] — координаты векторов [math]\vec{a},\vec{b}[/math] и [math]\vec{a}+\vec{b}[/math] соответственно. Тогда, складывая равенства [math]\vec{a}=x_{\vec{a}}\cdot\vec{e}[/math] и [math]\vec{b}=x_{\vec{b}}\cdot\vec{e}[/math], получаем


[math]\vec{a}+\vec{b}=x_{\vec{a}}\cdot\vec{e}+x_{\vec{b}}\cdot\vec{e}=(x_{\vec{a}}+x_{\vec{b}})\cdot\vec{e}~\Leftrightarrow~(\vec{a}+\vec{b}):\vec{e}=x_{\vec{a}}+x_{\vec{b}},[/math]

что равносильно равенству [math]x_{\vec{a}+\vec{b}}=x_{\vec{a}}+x_{\vec{b}}[/math]. Третье свойство доказывается аналогично.

Четвертое свойство, которое следует из второго и третьего, можно записать в следующем виде:


[math]\frac{\alpha_1\vec{a}_1+\alpha_2\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k}{\vec{e}}=\alpha_1\frac{\vec{a}_1}{\vec{e}}+\alpha_2\frac{\vec{a}_2}{\vec{e}}+\cdots+\alpha_k\frac{\vec{a}_k}{\vec{e}}.[/math]

Пятое свойство следует из свойства 2,г отношений коллинеарных векторов (см. разд. 1.4). Действительно, пусть [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] — ненулевые векторы, коллинеарные оси, задаваемой вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math]. Тогда свойство 5 выражается равенством [math]\vec{a}:\vec{b}=\frac{\vec{a}}{\vec{e}}:\frac{\vec{b}}{\vec{e}}[/math] которое справедливо для любых коллинеарных ненулевых векторов (см. разд. 1.4).




Пример 1.8. Даны векторы [math]\vec{a}=-2\vec{e}[/math] и [math]\vec{b}=4\vec{e}[/math], параллельные оси, задаваемой вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math]. Требуется найти координаты векторов [math]\vec{a}+\vec{b};~\vec{a}-\vec{b};~3\vec{a}+2\vec{b}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}[/math], а также координату вектора [math]\vec{a}+\vec{b}[/math] относительно базиса [math]\vec{b}[/math].


Решение. Используя свойства коллинеарных векторов, находим разложения по базису [math]\vec{e}[/math]:


[math]\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b}&~=~-2\cdot\vec{e}+4\cdot\vec{e}=(-2+4)\cdot\vec{e}=2\cdot\vec{e};\\[2pt] -\vec{b}&~=~(-1)\cdot\vec{b}=(-1)\cdot4\cdot\vec{e}=-4\cdot\vec{e};\\[2pt] \vec{a}-\vec{b}&~=~-2\cdot\vec{e}-4\cdot\vec{e}=(-2-4)\cdot\vec{e}=-6\cdot\vec{e};\\[2pt] 3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}&~=~3\cdot(-2\cdot\vec{e})+2\cdot(4\cdot\vec{e})=[3\cdot(-2)+2\cdot4]\cdot\vec{e}=2\cdot\vec{e}. \end{aligned}[/math]

По свойству 5 находим [math]\frac{\vec{a}+\vec{b}}{\vec{b}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/math]. Заметим, что относительно базиса [math]\vec{e}[/math] вектор [math]\vec{a}+\vec{b}[/math] имеет координату 2, а относительно базиса [math]\vec{b}[/math] — координату, равную [math]\frac{1}{2}[/math], т.е. вектор имеет неравные координаты относительно разных базисов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved