Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений

Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений


Пусть имеем ряд (возможно и расходящийся)


A_0+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots+\frac{A_n}{x^n}+\ldots
(53)

Обозначим через S_n(x) сумму первых n+1 членов ряда.


Будем говорить, что ряд (53) представляет собой асимптотическое разложение функции f(x) для достаточно больших |x|, если выражение


R_n(x)=x^n\{f(x)-S_n(x)\}
удовлетворяет условию
\lim_{|x|\to\infty}R_n(x)=0, \quad \text{or} \quad R_n(x)=o\!\left(\frac{1}{x^n}\right)
(54)

(n — любое фиксированное число), даже если \lim_{n\to\infty}|R_n(x)| (x — фиксировано). То обстоятельство, что данный ряд есть асимптотическое разложение функции f(x) (асимптотический степенной ряд), обозначается так:


f(x)\sim \sum_{n=0}^{\infty}A_nx^{-n}.

Смысл асимптотического разложения состоит в том, что ряд (53) может служить источником приближенных формул


f(x)\approx A_0+ \frac{A_1}{x}+ \ldots+ \frac{A_n}{x^n}, \quad n=0,1,2,\ldots,

так что разность f(x)-S_n(x)=\rho_n(x) при |x|\to\infty будет бесконечно малой порядка выше n, т.е.


\lim_{|x|\to\infty}\frac{\rho_n(x)}{1/|x|^n}= \lim_{|x|\to\infty}|x|^n\rho_n(x)=0.



Пример 11. Найти асимптотическое разложение функции


f(x)= \int\limits_{x}^{+\infty}t^{-1}e^{x-t}\,dt, \quad x>0.
(55)

Решение. Применяя n раз интегрирование по частям, получаем


f(x)= \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}+ (-1)^nn! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+1}}\,dt.

Обозначим u_{n-1}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} и положим


S_n(x)= \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\ldots+ \frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}= \sum_{m=0}^{n}u_m.
Имеем
\left|\frac{u_m}{u_{m-1}}\right|= \frac{m}{x}\mathop{\to\infty}\limits_{{}_{m\to\infty}},

так что ряд \textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m} будет расходящимся для всех значений x. Однако этот ряд может быть применен для вычисления значений f(x) при больших значениях x. В самом деле, фиксируя некоторое значение n, получим


f(x)-S_n(x)= (-1)^{n+1}(n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+2}}\,dt,

отсюда, поскольку e^{x-t}\leqslant1~(t\geqslant x), будем иметь


|f(x)-S_n(x)|= (n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+2}}\,dt \leqslant(n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{dt}{t^{n+2}}\,dt =\frac{n!}{x^{n+1}}.
(56)

Для значений x, достаточно больших, правая часть этого неравенства может быть сделана как угодной малой. Так, для x\geqslant2n будем иметь


|f(x)-S_n(x)|< \frac{1}{2^{n+1}\cdot n^2},

поэтому значение функции f(x) может быть вычислено с большой точностью для больших значений x, если взять сумму надлежащего числа членов ряда \textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m}. Из оценки (56) следует, что


R_n(x)= x^nx^n\{f(x)-S_n(x)\}\to0 \quad \text{if}\quad x\to\infty

для всякого фиксированного n, так что ряд \textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m} дает асимптотическое разложение данной функции f(x).




Если выполняется условие (54), то для коэффициентов A_k ряда (53) из (54) получаем


A_0= \lim_{x\to\infty}f(x),\quad A_n= \lim_{x\to\infty}x^n\{f(x)-S_{n-1}(x)\}, n\in\mathbb{N}.
(57)

Отсюда следует, что если функция f(x) имеет асимптотическое разложение, то оно единственно.


Напротив, один и тот же ряд вида (53) может служить асимптотическим разложением для разных функций. Например, для функции


f(x)= e^{-x} \quad (0<x<+\infty)

в силу (57) асимптотическим разложением является ряд (53), все коэффициенты A_n, которого равны нулю. Очевидно, что этот же ряд является асимптотическим разложением и для функции f(x)\equiv0. Говорят, что асимптотический ряд представляет не одну функцию, а класс асимптотически равных функций.




Операции над асимптотическими рядами


1) Если

f(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}A_kx^{-k}, \quad g(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}B_kx^{-k},
(58)

то

f(x)\pm g(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}(A_k\pm B_k)x^{-k}.
(59)

2) Если имеют место асимптотические разложения (58), то асимптотическое разложение функции f(x)\cdot g(x) может быть получено путем формального перемножения разложений (58).


3) Если функция f(x) имеет асимптотическое разложение


f(x)\sim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{A_k}{x^k},
(60)

начинающееся с члена x^{-2}, то имеет место асимптотическое разложение


\int\limits_{x}^{\infty}f(x)\,dx\sim \sum_{k=2}^{\infty} \int\limits_{x}^{\infty}\frac{A_k}{x^k}\,dx = \sum_{k=2}^{\infty} \int\limits_{x}^{\infty}\frac{A_k}{(k-1)x^{k-1}}\,dx
(61)

т.е. асимптотическое разложение (60) можно формально интегрировать почленно.


4) Формальное почленное дифференцирование асимптотического разложения, вообще говоря, недопустимо.


В самом деле, рассмотрим функцию f(x)=e^{-x}\sin{e^x},~x>0 ее асимптотическим разложением является ряд с коэффициентами A_k=0,~k=0,1,\ldots, в то время как производная функции f'(x)= -e^{-x}\sin{e^x}+\cos{e^x} не имеет асимптотического разложения, поскольку f'(x) даже не имеет предела при x\to+\infty.


Однако если функция f(x)\sim A_0+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots дифференцируема, а функция f'(x) может быть разложена в асимптотический степенной ряд, то


f'(x)\sim -\frac{A_1}{x^2}-\frac{2A_2}{x^3}-\frac{3A_3}{x^4}-\ldots



Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений


1. Рассмотрим дифференциальное уравнение


\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x}\,.
(62)

Ряд

\frac{1}{x}-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}+\ldots+\frac{n!}{x^{n+1}}+\ldots,
(63)

расходящийся при всех значениях x, формально удовлетворяет данному уравнению, в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой. Уравнению (62) удовлетворяет функция


y=e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}t^{-1}e^t\,dt\,,

причем интеграл в правой части находится при x<0. Повторным интегрированием по частям находим


e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}t^{-1}e^t\,dt= \frac{1}{x}-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}+\ldots+\frac{n!}{x^{n+1}}+\rho_n,
где
\rho_n= (n+1)! e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t^{n+2}}\,dt\,.

При x<0 имеем


|\rho_n|\leqslant (n+1)! e^{-x} \frac{1}{|x|^{n+2}} \int\limits_{-\infty}^{x}e^t\,dt= \frac{(n+1)!}{|x|^{n+2}}.

Следовательно, взяв первые n членов ряда, мы совершим ошибку, меньшую (n+1)-го члена. Нетрудно видеть, что в данном случае


R_n(x)= x^n\{f(x)-S_n(x)\}= x^n\rho_n(x)\to0 \quad\text{if}\quad x\to-\infty.

Поэтому построенный ряд является асимптотическим и может быть использован для вычисления интеграла и тем самым решения уравнения (62).




2. Если J_{\nu}(x) есть решение уравнения Бесселя x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, то, подставив вместо J_{\nu} функцию x^{-1/2}y(x), обнаружим, что y(x) будет удовлетворять уравнению


y''+\left(1-\frac{\gamma^2-(1/4)}{x^2}\right)\!y=0.
(64)

Для больших x~(x\gg\nu) это уравнение естественно попытаться заменить уравнением


y''_1+y_1=0,
(65)

которое имеет решение y_1= a_0\sin{x}+b_0\cos{x}.


Можно улучшить точность (для больших x) заменой постоянных a_0 и b_0 разложениями по отрицательным степеням x:


\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{-n}, \quad \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{-n}.

Это означает, что решение уравнения (64) можно искать в виде


y(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{-n}\sin{x}+ \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{-n}\cos{x}\,.
(66)

Подставив выражение (66) в уравнение (64), получим


\begin{aligned} y(x)=& \left(a_0-\frac{\nu^2-1/2}{2x}\,b_0-\frac{(\nu^2-1/4)(\nu^2-9/4)}{2\,(2x)^2}\,a_0+\ldots\right)\!\sin{x}\,+\\ &+\left(b_0-\frac{\nu^2-1/2}{2x}\,a_0-\frac{(\nu^2-1/4)(\nu^2-9/4)}{2\,(2x)^2}\,b_0+\ldots\right)\!\cos{x}\,. \end{aligned}
(67)

Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно заметить, что эти выражения приводят к точному результату для \nu=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\ldots (см. Бесселевы функции полуцелого индекса). Уравнение (65) является, как говорят, предельным уравнением для уравнения (64) (уравнение (65) получается из (64), если в коэффициенте при y совершить предельный переход при x\to\infty). Решение уравнения (65) для больших x (особенно для \nu=\pm\frac{2k+1}{2}) достаточно хорошо определяет поведение решения исходного уравнения (64).




Примеры показывают, что асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения не всегда можно вывести из поведения решений предельного уравнения.


Возьмем функцию

y(x)= x^{\alpha}\sin(x^{\beta}+C), \quad \alpha>0,~\beta>0
(68)

и сконструируем дифференциальное уравнение, для которого y(x) будет решением. Имеем


\begin{aligned}y'&= \alpha x^{\alpha-1}\sin(x^{\beta}+C)+ \beta x^{\alpha+\beta-1}\cos(x^{\beta}+C),\\ y''&= \left[\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}-\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}\right]x^{\alpha}\sin(x^{\beta}+C)+ \beta (2\alpha+\beta-1)x^{\alpha+\beta-2}\cos(x^{\beta}+C). \end{aligned}

Попробуем, чтобы \alpha и \beta были связаны соотношением


\beta(2\alpha+\beta-1)=0.
(69)

Тогда заданная функция y(x) будет удовлетворять дифференциальному уравнению


y''+ \left[\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}\right]y=0.
(70)

Предположим, что 0<\beta<1, например, \beta=1/2. Тогда из условия (69) найдем \alpha=1/4 и решение


y(x)= \sqrt[\LARGE{4}]{x}\sin(\sqrt{x}+C)
(71)

уравнения (70) при x\to+\infty будет колеблющимся. С другой стороны,


\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}\right]=0,

поэтому предельным уравнением, соответствующим уравнению (70), будет


y''=0.
(72)

Его общее решение

y=Ax+B
(73)

не содержит колеблющейся части.


Итак, асимптотическое поведение решения (71) дифференциального уравнения (70) нельзя "угадать" по поведению решения (73) предельного уравнения (72).


Приведем некоторые относящиеся сюда результаты. Пусть дано дифференциальное уравнение


y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0,
(74)
где
p_1(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\ldots, \quad p_2(x)=b_0+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+\ldots,
(75)
так что
\lim_{x\to\infty}p_1(x)=a_0, \quad \lim_{x\to\infty}p_2(x)=b_0.
(76)

Предельное уравнение в данном случае имеет вид


y''+a_0y'+b_0y=0
(77)

и является уравнением с постоянными коэффициентами. Пусть \lambda_1,\,\lambda_2 — корни (которые мы для простоты предполагаем различными) характеристического уравнения


\lambda^2+a_0\lambda+b_0=0.
(78)

Решения предельного уравнения — экспоненты e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x}.


Оказывается [16], что асимптотическое поведение решений уравнения (74) аналогично не поведению линейных комбинаций экспонент e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x}, а поведению линейных функций


e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}, \quad e^{\lambda_2x}x^{\sigma_2},
(79)

где показатели \sigma_1,~\sigma_2 определяются формулами


\sigma_1= -\frac{a_1\lambda_1+b_1}{a_0+2\lambda_1}, \quad \sigma_2= -\frac{a_1\lambda_2+b_1}{a_0+2\lambda_2}.
(80)

Функции (79) зависят не только от a_0 и b_0, т.е. не только от предельных значений p_1(x) и p_2(x) при x\to+\infty, но также и от коэффициентов a_1,\,b_1, участвующих в правых частях равенств (75).




Теорема. Если характеристическое уравнение \lambda^2+a_0\lambda+b_0=0 имеет различные корни \lambda_1 и \lambda_2 и если


\sigma_1= -\frac{a_1\lambda_1+b_1}{2\lambda_1+a_0}, \quad \sigma_2= -\frac{a_1\lambda_2+b_1}{2\lambda_2+a_0},
то уравнение
y''+ \left(a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\ldots\right)\!y'+ \left(a_0+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+\ldots\right)\!y=0

обладает линейно независимыми решениями y_1(x) и y_2(x), которые можно представить асимптотическими рядами:


y_1(x)\sim e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}\!\left(1+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots\right)\!, \quad y_2(x)\sim e^{\lambda_2x}x^{\sigma_2}\!\left(1+\frac{B_1}{x}+\frac{B_2}{x^2}+\ldots\right)\!.
(81)

Если корни характеристического уравнения совпадают, то может появиться логарифмический член. Решение y_1(x) можно представить асимптотическим рядом типа первого ряда (81), тогда как другое решение y_2(x) теперь представимо рядом вида


y_2(x)\sim Ay_1(x)\ln{x}+e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}\!\left(K+\frac{K_1}{x}+\frac{K_2}{x^2}+\ldots\right)\!.
(82)

Коэффициенты A_i,\,B_i,\,K_i могут быть при этом найдены известным способом неопределенных коэффициентов путем подстановки выражений (81) или (82) в уравнение и приравнивания нулю коэффициентов при степенях 1/x. При этом формальное дифференцирование асимптотических разложений, законность которого априори неясна, приводит к правильным асимптотическим представлениям искомых функций.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved