Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений

Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений


Пусть имеем ряд (возможно и расходящийся)


[math]A_0+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots+\frac{A_n}{x^n}+\ldots[/math]
(53)

Обозначим через [math]S_n(x)[/math] сумму первых [math]n+1[/math] членов ряда.


Будем говорить, что ряд (53) представляет собой асимптотическое разложение функции [math]f(x)[/math] для достаточно больших [math]|x|[/math], если выражение


[math]R_n(x)=x^n\{f(x)-S_n(x)\}[/math]
удовлетворяет условию
[math]\lim_{|x|\to\infty}R_n(x)=0, \quad \text{or} \quad R_n(x)=o\!\left(\frac{1}{x^n}\right)[/math]
(54)

([math]n[/math] — любое фиксированное число), даже если [math]\lim_{n\to\infty}|R_n(x)|[/math] ([math]x[/math] — фиксировано). То обстоятельство, что данный ряд есть асимптотическое разложение функции [math]f(x)[/math] (асимптотический степенной ряд), обозначается так:

[math]f(x)\sim \sum_{n=0}^{\infty}A_nx^{-n}.[/math]

Смысл асимптотического разложения состоит в том, что ряд (53) может служить источником приближенных формул


[math]f(x)\approx A_0+ \frac{A_1}{x}+ \ldots+ \frac{A_n}{x^n}, \quad n=0,1,2,\ldots,[/math]

так что разность [math]f(x)-S_n(x)=\rho_n(x)[/math] при [math]|x|\to\infty[/math] будет бесконечно малой порядка выше [math]n[/math], т.е.

[math]\lim_{|x|\to\infty}\frac{\rho_n(x)}{1/|x|^n}= \lim_{|x|\to\infty}|x|^n\rho_n(x)=0.[/math]



Пример 11. Найти асимптотическое разложение функции


[math]f(x)= \int\limits_{x}^{+\infty}t^{-1}e^{x-t}\,dt, \quad x>0.[/math]
(55)

Решение. Применяя [math]n[/math] раз интегрирование по частям, получаем


[math]f(x)= \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}+ (-1)^nn! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+1}}\,dt.[/math]

Обозначим [math]u_{n-1}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}[/math] и положим


[math]S_n(x)= \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\ldots+ \frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}= \sum_{m=0}^{n}u_m.[/math]
Имеем
[math]\left|\frac{u_m}{u_{m-1}}\right|= \frac{m}{x}\mathop{\to\infty}\limits_{{}_{m\to\infty}},[/math]

так что ряд [math]\textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m}[/math] будет расходящимся для всех значений [math]x[/math]. Однако этот ряд может быть применен для вычисления значений [math]f(x)[/math] при больших значениях [math]x[/math]. В самом деле, фиксируя некоторое значение [math]n[/math], получим

[math]f(x)-S_n(x)= (-1)^{n+1}(n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+2}}\,dt,[/math]

отсюда, поскольку [math]e^{x-t}\leqslant1~(t\geqslant x)[/math], будем иметь

[math]|f(x)-S_n(x)|= (n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{e^{x-t}}{t^{n+2}}\,dt \leqslant(n+1)! \int\limits_{x}^{+\infty}\frac{dt}{t^{n+2}}\,dt =\frac{n!}{x^{n+1}}.[/math]
(56)

Для значений [math]x[/math], достаточно больших, правая часть этого неравенства может быть сделана как угодной малой. Так, для [math]x\geqslant2n[/math] будем иметь


[math]|f(x)-S_n(x)|< \frac{1}{2^{n+1}\cdot n^2},[/math]

поэтому значение функции [math]f(x)[/math] может быть вычислено с большой точностью для больших значений [math]x[/math], если взять сумму надлежащего числа членов ряда [math]\textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m}[/math]. Из оценки (56) следует, что

[math]R_n(x)= x^nx^n\{f(x)-S_n(x)\}\to0 \quad \text{if}\quad x\to\infty[/math]

для всякого фиксированного [math]n[/math], так что ряд [math]\textstyle{\sum\limits_{m=0}^{n}u_m}[/math] дает асимптотическое разложение данной функции [math]f(x)[/math].



Если выполняется условие (54), то для коэффициентов [math]A_k[/math] ряда (53) из (54) получаем


[math]A_0= \lim_{x\to\infty}f(x),\quad A_n= \lim_{x\to\infty}x^n\{f(x)-S_{n-1}(x)\}, n\in\mathbb{N}.[/math]
(57)

Отсюда следует, что если функция [math]f(x)[/math] имеет асимптотическое разложение, то оно единственно.


Напротив, один и тот же ряд вида (53) может служить асимптотическим разложением для разных функций. Например, для функции


[math]f(x)= e^{-x} \quad (0<x<+\infty)[/math]

в силу (57) асимптотическим разложением является ряд (53), все коэффициенты [math]A_n[/math], которого равны нулю. Очевидно, что этот же ряд является асимптотическим разложением и для функции [math]f(x)\equiv0[/math]. Говорят, что асимптотический ряд представляет не одну функцию, а класс асимптотически равных функций.



Операции над асимптотическими рядами


1) Если

[math]f(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}A_kx^{-k}, \quad g(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}B_kx^{-k},[/math]
(58)
то
[math]f(x)\pm g(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}(A_k\pm B_k)x^{-k}.[/math]
(59)

2) Если имеют место асимптотические разложения (58), то асимптотическое разложение функции [math]f(x)\cdot g(x)[/math] может быть получено путем формального перемножения разложений (58).


3) Если функция [math]f(x)[/math] имеет асимптотическое разложение


[math]f(x)\sim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{A_k}{x^k},[/math]
(60)

начинающееся с члена [math]x^{-2}[/math], то имеет место асимптотическое разложение

[math]\int\limits_{x}^{\infty}f(x)\,dx\sim \sum_{k=2}^{\infty} \int\limits_{x}^{\infty}\frac{A_k}{x^k}\,dx = \sum_{k=2}^{\infty} \int\limits_{x}^{\infty}\frac{A_k}{(k-1)x^{k-1}}\,dx[/math]
(61)

т.е. асимптотическое разложение (60) можно формально интегрировать почленно.

4) Формальное почленное дифференцирование асимптотического разложения, вообще говоря, недопустимо.


В самом деле, рассмотрим функцию [math]f(x)=e^{-x}\sin{e^x},~x>0[/math] ее асимптотическим разложением является ряд с коэффициентами [math]A_k=0,~k=0,1,\ldots[/math], в то время как производная функции [math]f'(x)= -e^{-x}\sin{e^x}+\cos{e^x}[/math] не имеет асимптотического разложения, поскольку [math]f'(x)[/math] даже не имеет предела при [math]x\to+\infty[/math].


Однако если функция [math]f(x)\sim A_0+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots[/math] дифференцируема, а функция [math]f'(x)[/math] может быть разложена в асимптотический степенной ряд, то


[math]f'(x)\sim -\frac{A_1}{x^2}-\frac{2A_2}{x^3}-\frac{3A_3}{x^4}-\ldots[/math]



Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений


1. Рассмотрим дифференциальное уравнение


[math]\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x}\,.[/math]
(62)

Ряд
[math]\frac{1}{x}-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}+\ldots+\frac{n!}{x^{n+1}}+\ldots,[/math]
(63)

расходящийся при всех значениях [math]x[/math], формально удовлетворяет данному уравнению, в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой. Уравнению (62) удовлетворяет функция

[math]y=e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}t^{-1}e^t\,dt\,,[/math]

причем интеграл в правой части находится при [math]x<0[/math]. Повторным интегрированием по частям находим

[math]e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}t^{-1}e^t\,dt= \frac{1}{x}-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}+\ldots+\frac{n!}{x^{n+1}}+\rho_n,[/math]
где
[math]\rho_n= (n+1)! e^{-x} \int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t^{n+2}}\,dt\,.[/math]

При [math]x<0[/math] имеем
[math]|\rho_n|\leqslant (n+1)! e^{-x} \frac{1}{|x|^{n+2}} \int\limits_{-\infty}^{x}e^t\,dt= \frac{(n+1)!}{|x|^{n+2}}.[/math]

Следовательно, взяв первые [math]n[/math] членов ряда, мы совершим ошибку, меньшую (n+1)-го члена. Нетрудно видеть, что в данном случае


[math]R_n(x)= x^n\{f(x)-S_n(x)\}= x^n\rho_n(x)\to0 \quad\text{if}\quad x\to-\infty.[/math]

Поэтому построенный ряд является асимптотическим и может быть использован для вычисления интеграла и тем самым решения уравнения (62).




2. Если [math]J_{\nu}(x)[/math] есть решение уравнения Бесселя [math]x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0[/math], то, подставив вместо [math]J_{\nu}[/math] функцию [math]x^{-1/2}y(x)[/math], обнаружим, что [math]y(x)[/math] будет удовлетворять уравнению


[math]y''+\left(1-\frac{\gamma^2-(1/4)}{x^2}\right)\!y=0.[/math]
(64)

Для больших [math]x~(x\gg\nu)[/math] это уравнение естественно попытаться заменить уравнением


[math]y''_1+y_1=0,[/math]
(65)

которое имеет решение [math]y_1= a_0\sin{x}+b_0\cos{x}[/math].

Можно улучшить точность (для больших [math]x[/math]) заменой постоянных [math]a_0[/math] и [math]b_0[/math] разложениями по отрицательным степеням [math]x[/math]:


[math]\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{-n}, \quad \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{-n}.[/math]

Это означает, что решение уравнения (64) можно искать в виде


[math]y(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{-n}\sin{x}+ \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{-n}\cos{x}\,.[/math]
(66)

Подставив выражение (66) в уравнение (64), получим

[math]\begin{aligned} y(x)=& \left(a_0-\frac{\nu^2-1/2}{2x}\,b_0-\frac{(\nu^2-1/4)(\nu^2-9/4)}{2\,(2x)^2}\,a_0+\ldots\right)\!\sin{x}\,+\\ &+\left(b_0-\frac{\nu^2-1/2}{2x}\,a_0-\frac{(\nu^2-1/4)(\nu^2-9/4)}{2\,(2x)^2}\,b_0+\ldots\right)\!\cos{x}\,. \end{aligned}[/math]
(67)

Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно заметить, что эти выражения приводят к точному результату для [math]\nu=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\ldots[/math] (см. Бесселевы функции полуцелого индекса). Уравнение (65) является, как говорят, предельным уравнением для уравнения (64) (уравнение (65) получается из (64), если в коэффициенте при [math]y[/math] совершить предельный переход при [math]x\to\infty[/math]). Решение уравнения (65) для больших [math]x[/math] (особенно для [math]\nu=\pm\frac{2k+1}{2}[/math]) достаточно хорошо определяет поведение решения исходного уравнения (64).




Примеры показывают, что асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения не всегда можно вывести из поведения решений предельного уравнения.


Возьмем функцию

[math]y(x)= x^{\alpha}\sin(x^{\beta}+C), \quad \alpha>0,~\beta>0[/math]
(68)

и сконструируем дифференциальное уравнение, для которого [math]y(x)[/math] будет решением. Имеем

[math]\begin{aligned}y'&= \alpha x^{\alpha-1}\sin(x^{\beta}+C)+ \beta x^{\alpha+\beta-1}\cos(x^{\beta}+C),\\ y''&= \left[\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}-\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}\right]x^{\alpha}\sin(x^{\beta}+C)+ \beta (2\alpha+\beta-1)x^{\alpha+\beta-2}\cos(x^{\beta}+C). \end{aligned}[/math]

Попробуем, чтобы [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] были связаны соотношением


[math]\beta(2\alpha+\beta-1)=0.[/math]
(69)

Тогда заданная функция [math]y(x)[/math] будет удовлетворять дифференциальному уравнению


[math]y''+ \left[\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}\right]y=0.[/math]
(70)

Предположим, что [math]0<\beta<1[/math], например, [math]\beta=1/2[/math]. Тогда из условия (69) найдем [math]\alpha=1/4[/math] и решение


[math]y(x)= \sqrt[4]{x}\sin(\sqrt{x}+C)[/math]
(71)

уравнения (70) при [math]x\to+\infty[/math] будет колеблющимся. С другой стороны,

[math]\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\beta^2}{x^{2-2\beta}}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{x^2}\right]=0,[/math]

поэтому предельным уравнением, соответствующим уравнению (70), будет

[math]y''=0.[/math]
(72)
Его общее решение
[math]y=Ax+B[/math]
(73)
не содержит колеблющейся части.

Итак, асимптотическое поведение решения (71) дифференциального уравнения (70) нельзя "угадать" по поведению решения (73) предельного уравнения (72).


Приведем некоторые относящиеся сюда результаты. Пусть дано дифференциальное уравнение


[math]y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0,[/math]
(74)
где
[math]p_1(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\ldots, \quad p_2(x)=b_0+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+\ldots,[/math]
(75)
так что
[math]\lim_{x\to\infty}p_1(x)=a_0, \quad \lim_{x\to\infty}p_2(x)=b_0.[/math]
(76)

Предельное уравнение в данном случае имеет вид


[math]y''+a_0y'+b_0y=0[/math]
(77)

и является уравнением с постоянными коэффициентами. Пусть [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] — корни (которые мы для простоты предполагаем различными) характеристического уравнения

[math]\lambda^2+a_0\lambda+b_0=0.[/math]
(78)

Решения предельного уравнения — экспоненты [math]e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x}[/math].


Оказывается [16], что асимптотическое поведение решений уравнения (74) аналогично не поведению линейных комбинаций экспонент [math]e^{\lambda_1x},~e^{\lambda_2x}[/math], а поведению линейных функций


[math]e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}, \quad e^{\lambda_2x}x^{\sigma_2},[/math]
(79)

где показатели [math]\sigma_1,~\sigma_2[/math] определяются формулами

[math]\sigma_1= -\frac{a_1\lambda_1+b_1}{a_0+2\lambda_1}, \quad \sigma_2= -\frac{a_1\lambda_2+b_1}{a_0+2\lambda_2}.[/math]
(80)

Функции (79) зависят не только от [math]a_0[/math] и [math]b_0[/math], т.е. не только от предельных значений [math]p_1(x)[/math] и [math]p_2(x)[/math] при [math]x\to+\infty[/math], но также и от коэффициентов [math]a_1,\,b_1[/math], участвующих в правых частях равенств (75).




Теорема. Если характеристическое уравнение [math]\lambda^2+a_0\lambda+b_0=0[/math] имеет различные корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] и если


[math]\sigma_1= -\frac{a_1\lambda_1+b_1}{2\lambda_1+a_0}, \quad \sigma_2= -\frac{a_1\lambda_2+b_1}{2\lambda_2+a_0},[/math]
то уравнение
[math]y''+ \left(a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\ldots\right)\!y'+ \left(a_0+\frac{b_1}{x}+\frac{b_2}{x^2}+\ldots\right)\!y=0[/math]

обладает линейно независимыми решениями [math]y_1(x)[/math] и [math]y_2(x)[/math], которые можно представить асимптотическими рядами:

[math]y_1(x)\sim e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}\!\left(1+\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\ldots\right)\!, \quad y_2(x)\sim e^{\lambda_2x}x^{\sigma_2}\!\left(1+\frac{B_1}{x}+\frac{B_2}{x^2}+\ldots\right)\!.[/math]
(81)

Если корни характеристического уравнения совпадают, то может появиться логарифмический член. Решение [math]y_1(x)[/math] можно представить асимптотическим рядом типа первого ряда (81), тогда как другое решение [math]y_2(x)[/math] теперь представимо рядом вида


[math]y_2(x)\sim Ay_1(x)\ln{x}+e^{\lambda_1x}x^{\sigma_1}\!\left(K+\frac{K_1}{x}+\frac{K_2}{x^2}+\ldots\right)\!.[/math]
(82)

Коэффициенты [math]A_i,\,B_i,\,K_i[/math] могут быть при этом найдены известным способом неопределенных коэффициентов путем подстановки выражений (81) или (82) в уравнение и приравнивания нулю коэффициентов при степенях [math]1/x[/math]. При этом формальное дифференцирование асимптотических разложений, законность которого априори неясна, приводит к правильным асимптотическим представлениям искомых функций.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved