Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аристотелева силлогистика и методы рассуждений

Аристотелева силлогистика и методы рассуждений


Наиболее часто употребляемые приемы логических рассуждений были впервые охарактеризованы еще аристотелевой логикой и получили название аристотелевых силлогизмов. Создатели известной методической концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике П.М.Эрдниев и Б.П.Эрдниев так характеризуют роль аристотелевской силлогистики в школьном математическом образовании: "В настоящее время образцом логической строгости в школе выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение".


Итак, расклассифицировав описанным в предыдущей лекции образом простые высказывания на типы [math]A,E,I,O[/math], Аристотель приступает к анализу умозаключений, которые можно осуществить на их основе. Он выделяет важнейший вид дедуктивных Умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов [math]A,E,I,O[/math]: два первых высказывания — посылки, третье — заключение.


Более точно, умозаключения аристотелевой силлогистики имеют следующее строение. В них рассматриваются три свойства (Аристотель называет их терминами): [math]S,M,P[/math]. Первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связывающее [math]M[/math] и [math]P[/math]; вторая посылка (называемая малая) связывает [math]M[/math] и [math]S[/math]; следствие связывает [math]S[/math] и [math]P[/math], причем в следствии всегда [math]S[/math] выступает в качестве субъекта, а [math]P[/math] — в качестве предиката. Фактически аристотелевский силлогизм есть установление соотношения между двумя свойствами [math]S[/math] и [math]P[/math] посредством "связующего" свойства [math]M[/math]. В зависимости от расположения "связующего" свойства [math]M[/math] может быть четыре вида силлогизмов (по Аристотелю — четыре фигуры модусов силлогизмов), которые схематически представляются следующим образом (запись в столбец означает, что суждение, записанное под чертой, является следствием суждений, записанных над чертой):


[math]\begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Figure I}\\[2pt] MxP\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure II}\\[2pt] PxM\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure III}\\[2pt] MxP\\ MyS\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure IV}\\[2pt] PxM\\ MyS\end{matrix}}{SzP} \end{array}[/math]

Здесь [math]x,y,z\in\{a,e,i,o\}[/math] и запись [math]SzP[/math] (как и [math]MxP[/math] и [math]SyM[/math] и т. п.) обозначает в зависимости от значения [math]z[/math] одно из четырех суждений видов [math]A,E,I,O[/math], включающих соответствующие предикаты [math]S[/math] и [math]P[/math]. Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): [math]4\cdot4\cdot4=64[/math]. Поскольку фигур 4, то получаем [math]4\cdot64=256[/math] силлогизмов. (Выпишите самостоятельно все силлогизмы каждой из четырех фигур.)


Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.


Для облегчения запоминания всех правильных силлогизмов (или модусов, как их называют) в XIII в. было составлено особое мнемоническое латинское стихотворение. При этом название силлогизма само по себе непереводимо, но дано так, чтобы из гласных букв в него входили лишь те три буквы из [math]a,e,i,o[/math], которые указывают на характер посылок и следствия данного силлогизма. Выпишем все верные модусы с их латинскими названиями:


[math]\begin{array}{cccc}\multicolumn{4}{c}{\mathsf{Figure~I}}\\[4pt] \dfrac{\begin{matrix}\text{Barbara}\\[2pt] MaP\\ SaM\end{matrix}}{SaP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Darii}\\[2pt] MaP\\ SiM\end{matrix}}{SiP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Celarent}\\[2pt] MeP\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferio}\\[2pt] MeP\\ SiM\end{matrix}}{SoP} \end{array}\qquad~ \begin{array}{cccc}\multicolumn{4}{c}{\mathsf{Figure~II}}\\[4pt] \dfrac{\begin{matrix}\text{Baroco}\\[2pt] PaM\\ SoM\end{matrix}}{SoP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Camestres}\\[2pt] PaM\\ SeM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Cesare}\\[2pt] PeM\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Festino}\\[2pt] PeM\\ SiM\end{matrix}}{SoP} \end{array}[/math]

[math]\begin{gathered}\begin{array}{cccccc}\multicolumn{6}{c}{\mathsf{Figure~III}}\\[4pt] \dfrac{\begin{matrix}\text{Darapti}\\ MaP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Datisi}\\ MaP\\ MiS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Disamis}\\ MiP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Bocardo}\\ MoP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Felapton}\\ MeP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferison}\\ MeP\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array}\\[8pt] \begin{array}{cccccc}\multicolumn{5}{c}{\mathsf{Figure~IV}}\\[4pt] \dfrac{\begin{matrix}\text{Bramantip}\\ PaM\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Dimaris}\\ Pim\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Camenes}\\ PaM\\ MeS\end{matrix}}{SeP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fesapo}\\ PeM\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fresison}\\ PeM\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array}\end{gathered}[/math]

В предыдущем пункте было показано, как на языке логики предикатов каждое из категорических суждений [math]A,E,I,O[/math] может быть представлено формулой логики предикатов (см. записи (1), (2), (3), (4)). Тогда каждый из 19 правильных аристотелевых силлогизмов также может быть представлен некоторой формулой логики предикатов. Рассмотрим примеры некоторых силлогизмов и дадим их обоснование методами логики предикатов.




Пример 24.6. Самый распространенный и простой силлогизм Barbara:


"Все [math]M[/math] суть [math]P[/math]", "Все [math]S[/math] суть [math]M[/math]" | "Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]".

Здесь как обе посылки, так и заключение являются общеутвердительными суждениями. Вот пример такого рассуждения. "Все квадраты суть ромбы", "Все ромбы суть параллелограммы". Следовательно, "Все квадраты суть параллелограммы".


Обоснуем справедливость такого рассуждения, для чего представим данный силлогизм на языке логики предикатов:


[math]\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr),\\ (\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).}[/math]

Нужно проверить, что третья (нижняя) формула является логическим следствием первых двух, т.е. нужно показать, что она превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо ее предикатных переменных [math]S(x)[/math] и [math]P(x)[/math] таких конкретных предикатов, при которой обе первые формулы превращаются в истинные высказывания. В самом деле, на основании равносильности (получаемой из тавтологии) теоремы 21.11 (пункт а), для конъюнкции посылок имеем


[math]\begin{aligned}&(\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr) \land (\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\cong\\ &\cong (\forall x)\bigl[\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\land \bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\bigr]. \end{aligned}[/math]

Истинность обеих посылок означает истинность их конъюнкции и, следовательно, ввиду приведенной равносильности — тождественную истинность предиката [math](S(x)\to M(x))\land (M(x)\to P(x))[/math], т.е. истинность высказывания [math](S(a)\to M(a))\land (M(a)\to P(a))[/math] для любого [math]a[/math]. Но тогда, на основании закона силлогизма (тавтология теоремы 3.1, пункт е), для любого [math]a[/math] будет истинно высказывание [math]S(a)\to P(a)[/math], т.е. будет тождественно истинным предикат [math]S(x)\to P(x)[/math]. Последнее означает, что будет истинно высказывание [math](\forall x)(S(x)\to P(x))[/math], являющееся заключением рассматриваемого силлогизма.




Пример 24.7. Совершенно аналогично обосновывается (предлагается проделать самостоятельно) справедливость силлогизма Celarent:


"Все [math]M[/math] суть не [math]P[/math]", "Все [math]s[/math] суть [math]M[/math]" | "Все [math]S[/math] суть не [math]P[/math]".

Пример 24.8. Рассмотрим еще один силлогизм Festino:


"Никакое [math]P[/math] не есть [math]M[/math]", "Некоторые [math]S[/math] суть [math]M[/math]" | "Некоторые [math]S[/math] не суть [math]P[/math]".

Приведем пример рассуждения, основанного на этой схеме. "Никакая окружность не является квадратом", "Некоторые параллелограммы являются квадратами". Следовательно, "Некоторые параллелограммы не являются окружностями".


Запишем данный силлогизм на языке логики предикатов:


[math]\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(P(x)\to\lnot M(x)\bigr),\\ (\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).}[/math]

Покажем, что третья формула является логическим следствием первых двух. Из истинности первого высказывания вытекает истинность высказывания [math]P(a)\to\lnot M(a)[/math] для любого предмета [math]a[/math]. Следовательно, на основе равносильностей теоремы 4.4 (пункты а, б), истинно высказывание [math]M(a)\to\lnot P(a)[/math] для любого [math]a[/math].


Докажем, далее, истинность следующего высказывания:


[math](\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).[/math]
(1)

Допустим, что посылка [math](\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)[/math] истинна. Это означает, что существует такой объект [math]a[/math], что высказывание [math]S(a)\land M(a)[/math] истинно. Следовательно, истинны оба высказывания [math]S(a)[/math] и [math]M(a)[/math]. Из истинности высказываний [math]M(a)[/math] и [math]S(a)\land\lnot P(a)[/math] вытекает истинность высказывания [math]\lnot P(a)[/math] , что вместе с истинностью [math]S(a)[/math] дает истинность конъюнкции [math]S(a)\land\lnot P(a)[/math] для некоторого объекта [math]a[/math]. Последнее означает истинность высказывания [math](\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr)[/math]. Таким образом, истинность импликации (1) установлена.


Итак, показано, что из первой посылки рассматриваемого силлогизма следует формула (1). Символически это можно выразить так: [math]F\vDash G\to H[/math], где [math]F,G[/math] — посылки, а [math]H[/math] — следствие рассматриваемого силлогизма. Тогда, на основании теоремы 6.3, заключаем, что [math]F,G\vDash H[/math], т. е. формула [math]H[/math] является логическим следствием формул [math]F[/math] и [math]G[/math]. Рассматриваемый силлогизм действительно справедлив.




Пример 24.9. Приведем пример неверного силлогизма. "Некоторые [math]B[/math] суть [math]C[/math]", "Некоторые [math]A[/math] суть [math]B[/math]", следовательно, "Некоторые [math]A[/math] суть [math]C[/math]". Действительно, эта схема умозаключения неверна, потому что на основании ее, например, из истинных утверждений "Некоторые выпуклые фигуры — круги" и "Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры" приходим к ложному выводу "Некоторые многоугольники являются кругами". Этому силлогизму соответствует формула логики предикатов:


[math]\bigl((\exists x)(B(x)\land C(x)) \land (\exists x)(A(x)\land B(x))\bigr)\to (\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr),[/math]

не являющаяся общезначимой (примеры соответствующих предикатов только что указаны).



Аристотелева силлогистика и логика предикатов


В предыдущем пункте показано как аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии (общезначимые формулы) логики предикатов, а неправильным силлогизмам — формулы, не являющиеся тавтологиями.


Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями.




Пример 24.10. Рассмотрим формулу, отвечающую силлогизму Darapti:


[math]\Bigl((\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(M(x)\to S(x)\bigr)\Bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).[/math]

Покажем, что эта формула не является общезначимой. Для этого нужно указать такие конкретные предикаты [math]A(x),\,B(x),\,C(x)[/math], заданные над некоторым множеством [math]M[/math], что посылка силлогизма превратится в истинное высказывание


[math](\forall x)\bigl(B(x)\to C(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(B(x)\to A(x)\bigr)[/math], а следствие — в ложное [math](\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr).[/math].

Для этого достаточно, чтобы предикат [math]B(x)[/math] был тождественно ложен, а предикаты [math]A(x)[/math] и [math]C(x)[/math] обладали бы тем свойством, что для любого предмета [math]a\in M[/math] одно из высказываний [math]A(a)[/math] или [math]C(a)[/math] было бы ложным. Последнее возможно, если, например, один из предикатов [math]A(x)[/math] или [math]C(x)[/math] является отрицанием другого. Укажите самостоятельно примеры таких предикатов, например, на множестве натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math].


Выпишите самостоятельно формулы логики предикатов для оставшихся трех "плохих" силлогизмов и докажите, что они не общезначимы. Выпишите также формулы логики предикатов для пятнадцати "хороших" аристотелевых силлогизмов и докажите их общезначимость.


Какой же вывод можно сделать после анализа результатов перевода аристотелевых силлогизмов на язык логики предикатов? Вывод таков, что логика предикатов, как и алгебра высказываний, далеко не является совершенной математической теорией, отражающей (описывающей) процесс человеческого мышления. И эта теория допускает изъяны, приводит к выводам, не сопоставимым с результатами реальных процессов, которые теория призвана описать. Это же обстоятельство приводит, с одной стороны, к задаче создания аксиоматической теории аристотелевых силлогизмов, в которой каждый верный силлогизм по каким-то правилам выводился бы из аксиом, а с другой — к задаче построения такой логической системы, которая все же вписывала бы всю традиционную силлогистику в общий ансамбль современной формальной логики. Эти вопросы будут рассмотрены в следующих лекциях.




Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики


Данная интерпретация, в частности, поможет лучше понять причину того, что не все верные силлогизмы выражаются на языке логики предикатов общезначимой формулой. Обозначим множества истинности предикатов [math]S(x),\,M(x),\,P(x)[/math] через [math]S,M,P[/math] соответственно. Тогда утверждения об истинности категорических суждений [math]A,E,I,O[/math] могут быть следующим образом выражены на теоретико-множественном языке (учитывайте запись этих утверждений на языке логики предикатов, мы говорили уже об этом выше):


[math]\mathbf{A}\colon \,S \subseteq P~ (S\cap P=S),\quad \mathbf{E}\colon\, S\cap P=\varnothing,\quad \mathbf{I}\colon\, S\cap P\ne\varnothing,\quad \mathbf{O}\colon\, S\nsubseteq P~ (S\setminus P\ne\varnothing).[/math]

Нетрудно изобразить с помощью диаграмм Эйлера–Венна взаимоотношения между множествами [math]S[/math] и [math]P[/math] в каждом случае:




Теперь каждый аристотелев силлогизм будет представлять собой утверждение о том, что из каких-то двух соотношений между множествами [math]S,\,M,\,P[/math] непременно следует третье соотно

шение между множествами [math]S[/math] и [math]P[/math].


Пример 24.11. Например, силлогизм Bocardo на теоретико-множественном языке запишется так:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}MoP\\MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \frac{\begin{matrix}M\nsubseteq P\\ M\subseteq S\end{matrix}}{S\nsubseteq P} \end{array}[/math]

Используя свойства отношения включения [math]\subseteq[/math], нетрудно установить справедливость данного силлогизма. В самом деле, допустим, что он несправедлив, т. е. [math]M\nsubseteq P,~ M \subseteq S[/math], но [math]S\subseteq P[/math]. Тогда из второго и третьего условий, в силу транзитивности отношения с, заключаем, что [math]M\subseteq P[/math], а это противоречит первому условию.


Пример 24.12. Пример верного силлогизма Fresison. Его запись:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}PeM\\MiS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}P\cap M=\varnothing\\ M\cap S\ne\varnothing\end{matrix}}{S\nsubseteq P} \end{array}[/math]

Предположим, что [math]S\subseteq P[/math]. Тогда [math]S\cap P=S[/math]. Учитывая это, находим:


[math]S\cap (P\cap M)= (S\cap P)\cap M= S\cap M\ne\varnothing[/math]

(неравенство на основании второго условия). Следовательно, [math]P\cap M\ne\varnothing[/math], что противоречит первому условию.


Пример 24.13. Приведем пример неправильного силлогизма:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}MiP\\SeM\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix} M\cap P\ne\varnothing\\ S\cap M=\varnothing \end{matrix}}{S \nsubseteq P} \end{array}[/math]

Диаграмма показывает, что для трех множеств [math]S,\,M,\,P[/math] возможна ситуация, когда условия выполнены: [math]S\cap P\ne\varnothing[/math] [math]S\cap M=\varnothing[/math], а заключение — нет: [math]S\subseteq P[/math]. Следовательно, данный силлогизм неверен, т.е. рассуждения по данной схеме неправильны.


Наконец обратимся к четырем "плохим" с точки зрения логики предикатов правильным силлогизмам Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo и постараемся понять, почему выражающие их формулы логики предикатов оказались необщезначимыми.


Пример 24.14. Силлогизм Darapti имеет вид:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}MaP\\MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix} M\cap P=M\\ M\cap S=M \end{matrix}}{S\cap P\ne\varnothing} \end{array}[/math]

Из условий вытекает, что [math]M\cap (S\cap P)= M[/math], то есть [math]M \subseteq S\cap P[/math]. Если [math]M\ne\varnothing[/math], то [math]S\cap P\ne\varnothing[/math], и заключение силлогизма выполняется. Если же [math]M=\varnothing[/math], то при выполнении условий силлогизма заключение может и не выполниться: [math]S\cap P=\varnothing[/math]. (Вспомните здесь, что соответствующая формула логики предикатов превращалась в ложное высказывание, если вместо предикатной переменной [math]M(x)[/math] подставить тождественно ложный предикат.)


Пример 24.15. Силлогизм Bramantip имеет вид:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}PaM\\MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}P \subseteq M~ (P\cap M=P)\\ M \subseteq S~ (M\cap S=M)\end{matrix}}{S\cap P\ne\varnothing}\end{array}[/math]

Из условий получаем [math](P\cap M)\cap (M\cap S)= P\cap M[/math], то есть [math]S\cap (P\cap M)=P[/math], откуда [math]S\cap P=P[/math]. Это означает, что если [math]P\ne\varnothing[/math], то [math]S\cap P\ne\varnothing[/math], и заключение силлогизма выполняется. Если же [math]P=\varnothing[/math], то при выполнении условий силлогизма его заключение может и не выполняться: [math]S\cap P=\varnothing[/math].


Пример 24.16. Силлогизм Felaption имеет вид:


[math]\begin{array}{cc}\dfrac{\begin{matrix}MeP\\MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix} M\cap P= \varnothing\\ M \subseteq S\end{matrix} }{S \nsubseteq P} \end{array}[/math]

Допустим, что условия верны, но [math]S\subseteq P[/math]. Тогда [math]M\subseteq P[/math], то есть [math]M\cap P=M[/math], а значит, [math]M=\varnothing[/math]. Таким образом, при [math]M=\varnothing[/math] из выполнимости условий силлогизма может не следовать выполнимость его заключения. Аналогична теоретико-множественная ситуация с силлогизмом Fesapo.
Итак, четыре рассмотренных силлогизма с теоретико-множественной точки зрения не выполняются в тех случаях, когда в них участвуют пустые множества. С точки зрения логики предикатов это означает, что мы не исключаем тождественно ложных предикатов. Это означает, что в теоретико-множественной теории силлогизмов, находящейся в рамках логики предикатов, имеется лишь 15 верных силлогизмов. Если же мы исключим из рассмотрения в логике предикатов тождественно ложные предикаты, то мы будем иметь 19 верных силлогизмов.


Что же касается классической аристотелевской силлогистики, то в ней изначально не предполагались пустые термины, т.е. предикаты с пустым множеством субъектов, или, в нашей терминологии, тождественно ложные предикаты. Поэтому классическая аристотелевская силлогистика включает 19 верных силлогизмов.


Отметим, что М.В.Ломоносов (1711–1765), осуществляя нововведения в традиционную логику, не признавал правильными "плохие" силлогизмы Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo. Это красноречиво говорит о том, насколько глубоко этот гениальный ученый проник и в эту область научного знания.




О других методах логических рассуждений


Аристотелевская силлогистика охватывает далеко не все типы умозаключений так называемой логики свойств, к которой эту силлогистику принято относить. Полная формализация таких умозаключений осуществляется в логике (одноместных) предикатов. Рассмотрим еще ряд некоторых типов умозаключений.


Пример 24.17. Вот один такой широко распространенный способ рассуждений. Приведем сначала примеры таких рассуждений. "Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен". "Всякое нечетное натуральное число является разностью двух квадратов. 7 есть нечетное натуральное число. Следовательно, 7 является разностью двух квадратов". Приведенные рассуждения основаны на следующей схеме:


[math]\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(H(x)\to P(x)\bigr)\\ H(a) \end{matrix}}{P(a)}[/math]

означающей, что третья формула является логическим следствием первых двух. Проверим, что это действительно так. Пусть первые две формулы превратились в истинные высказывания [math](\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)[/math] и [math]A(a)[/math] при подстановке вместо предикатных переменных [math]H[/math] и [math]P[/math] некоторых конкретных предикатов [math]A(x)[/math] и [math]B(x)[/math] соответственно, определенных на некотором множестве [math]M[/math]. Истинность высказывания [math](\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)[/math] означает тождественную истинность предиката [math]A(x)\to B(x)[/math], откуда, в частности, вытекает истинность высказывания [math]A(a)\to B(a)[/math]. Наконец, из истинности высказываний [math]A(a)[/math] и [math]A(a)\to B(a)[/math] следует истинность высказывания [math]B(a)[/math], полученного из заключительной формулы [math]P(a)[/math] в результате подстановки конкретного предиката [math]B[/math] на место предикатной переменной [math]P[/math]. Тем самым справедливость приведенной схемы рассуждений доказана.


И аристотелевские силлогизмы, и приведенная схема рассуждений обосновываются с привлечением лишь одноместных предикатов. Приведем пример рассуждения, для обоснования которого уже нельзя обойтись только одноместными предикатами.




Пример 24.18. "Бинарное отношение [math]<[/math] на множестве натуральных чисел транзитивно и антирефлексивно. Следовательно, оно несимметрично". Символически:


[math]\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x<y\land y<z\to x<z)\\ (\forall x)(\lnot (x<x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(x<y\to\lnot (y<x))}[/math]

Это рассуждение основано на следующей схеме с двухместным предикатом [math]P(x,y)\colon[/math]


[math]\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(P(x,y)\land P(y,z)\to P(x,z))\\ (\forall x)(\lnot P(x,x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(P(x,y)\to\lnot P(y,x))}[/math]

Проверим справедливость этой схемы. Отметим вначале, что тавтологию закона удаления квантора общности (теорема 21.13, пункта) в терминах логического следования можно трактовать так: формула [math]P(y)[/math] является логическим следствием формулы [math](\forall x)(P(x))[/math]. На основании данного закона из первой формулы рассматриваемой схемы следует формула


[math]P(x,y)\land P(y,x)\to P(x,x)[/math]
(1)

(переменную z переименовали в [math]x[/math]). Далее, из второй формулы рассматриваемой схемы по тому же закону удаления квантора общности следует формула

[math]\lnot P(x,x)[/math]
(2)

При фиксированных [math]x[/math] и [math]y[/math] две последние формулы превращаются в формулы алгебры высказываний: [math](A\land B)\to C,~\lnot C[/math]. Используя методы алгебры высказываний, нетрудно проверить, что


[math](A\land B)\to C,~\lnot C\vDash A\to\lnot B.[/math]
(3)

Переводя полученную формулу [math]A\to\lnot B[/math] на первоначальный язык, получим формулу [math]P(x,y)\to\lnot P(y,x)[/math]. Таким образом, выводимость (3) показывает, что формула [math]P(x,y)\to\lnot P(y,x)[/math] является логическим следствием формул (1) и.(2) для каждого значения хну. Следовательно, и формула [math](\forall x)(\forall y)\bigl(P(x,y)\to\lnot P(y,x)\bigr)[/math] будет превращаться в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо предикатной переменной [math]P[/math] конкретного предиката, а вместо предметных переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] — конкретных предметов, при которой в истинные высказывания превращаются формулы (1) и (2). Этим завершается проверка справедливости схемы умозаключения.


В заключение приведем пример доказательства математической теоремы, целиком основанного на одной тавтологии логики предикатов. По существу здесь мы имеем пример теоремы из конкретного раздела математики, доказательство которой носит не математический, а чисто логический характер.




Пример 24.19. Рассмотрим следующую тавтологию логики предикатов:


[math](\forall x)\bigl(P(x)\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\lor Q(x)\bigr).[/math]
(1)

Покажем, как она может быть применена к доказательству следующего утверждения: "Наименьший элемент (если он существует) упорядоченного множества минимален."


Напомним определения. Отношением порядка на множестве [math]A[/math] называется бинарное отношение [math]\prec[/math] на [math]A[/math], удовлетворяющее условиям:


1) рефлексивность: [math](\forall x)(x\prec x)[/math];
2) антисимметричность: [math](\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec x)\to x=y\bigr)[/math];
3) транзитивность: [math](\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec z)\to x\prec z\bigr)[/math].

Множество [math]A[/math] вместе с заданным на нем отношением порядка [math]\prec[/math] называется упорядоченным и обозначается [math]<A;~\prec>[/math]. Элемент [math]a[/math] упорядоченного множества [math]<A;~\prec>[/math] называется наименьшим, если он меньше всех элементов этого множества: [math](\forall x)(a\prec x)[/math], и называется минимальным, если меньше его нет элемента в этом множестве: [math]\lnot (\exists x)(x\prec a)[/math]. Таким образом, утверждение, которое мы хотим доказать, на языке логики предикатов записывается так:


[math](\forall x)(a\prec x)\to\lnot (\exists x)(x\prec a).[/math]
(2)

С помощью равносильных преобразований преобразуем сначала заключение этой импликации:


[math]\begin{aligned}\lnot (\exists x)(x\prec a)&\cong (\forall x)\bigl[\lnot (x\prec a)\bigr]\cong (\forall x) \bigl[a\prec x\lor (\lnot (a\prec x)\land\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl[(a\prec x\lor\lnot (a\prec x))\land (a\prec x\lor\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).\end{aligned}[/math]
Тогда утверждение (2) имеет вид
[math](\forall x)(a\prec x)\to (\forall x)\bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).[/math]
(3)

Именно в это высказывание и превращается формула (1) при подстановке в нее вместо переменной [math]P(x)[/math] предиката "[math]a\prec x[/math]", а вместо переменной [math]Q(x)[/math] — предиката "[math]\lnot (x\prec a)[/math]". Поскольку формула (1), как мы доказали, общезначима, то высказывание (3), а вместе с ним и высказывание (2) истинны.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved