Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Наиболее часто употребляемые приемы логических рассуждений были впервые охарактеризованы еще аристотелевой логикой и получили название аристотелевых силлогизмов. Создатели известной методической концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике П.М.Эрдниев и Б.П.Эрдниев так характеризуют роль аристотелевской силлогистики в школьном математическом образовании: "В настоящее время образцом логической строгости в школе выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение". Итак, расклассифицировав описанным в предыдущей лекции образом простые высказывания на типы $A,E,I,O$ , Аристотель приступает к анализу умозаключений, которые можно осуществить на их основе. Он выделяет важнейший вид дедуктивных Умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов $A,E,I,O$ : два первых высказывания — посылки, третье — заключение. Более точно, умозаключения аристотелевой силлогистики имеют следующее строение. В них рассматриваются три свойства (Аристотель называет их терминами): $S,M,P$ . Первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связывающее $M$ и $P$ ; вторая посылка (называемая малая) связывает $M$ и $S$ ; следствие связывает $S$ и $P$ , причем в следствии всегда $S$ выступает в качестве субъекта, а $P$ — в качестве предиката. Фактически аристотелевский силлогизм есть установление соотношения между двумя свойствами $S$ и $P$ посредством "связующего" свойства $M$ . В зависимости от расположения "связующего" свойства $M$ может быть четыре вида силлогизмов (по Аристотелю — четыре фигуры модусов силлогизмов), которые схематически представляются следующим образом (запись в столбец означает, что суждение, записанное под чертой, является следствием суждений, записанных над чертой): $\begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Figure I}\\[2pt] MxP\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure II}\\[2pt] PxM\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure III}\\[2pt] MxP\\ MyS\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure IV}\\[2pt] PxM\\ MyS\end{matrix}}{SzP} \end{array}$ Здесь $x,y,z\in\{a,e,i,o\}$ и запись $SzP$ (как и $MxP$ и $SyM$ и т. п.) обозначает в зависимости от значения $z$ одно из четырех суждений видов $A,E,I,O$ , включающих соответствующие предикаты $S$ и $P$ . Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): $4\cdot4\cdot4=64$ . Поскольку фигур 4, то получаем $4\cdot64=256$ силлогизмов. (Выпишите самостоятельно все силлогизмы каждой из четырех фигур.) Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными. Для облегчения запоминания всех правильных силлогизмов (или модусов, как их называют) в XIII в. было составлено особое мнемоническое латинское стихотворение. При этом название силлогизма само по себе непереводимо, но дано так, чтобы из гласных букв в него входили лишь те три буквы из $a,e,i,o$ , которые указывают на характер посылок и следствия данного силлогизма. Выпишем все верные модусы с их латинскими названиями: $\begin{gathered}\mathsf{Figure~I}\\[2pt] \begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Barbara}\\ MaP\\ SaM\end{matrix}}{SaP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Darii}\\ MaP\\ SiM\end{matrix}}{SiP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Celarent}\\ MeP\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferio}\\ MeP\\ SiM\end{matrix}}{SoP}\end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~II}\\[2pt] \begin{array}{cccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Baroco}\\ PaM\\ SoM\end{matrix}}{SoP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Camestres}\\ PaM\\ SeM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Cesare}\\ PeM\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Festino}\\ PeM\\ SiM\end{matrix}}{SoP} \end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~III}\\[2pt] \begin{array}{cccccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Darapti}\\ MaP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Datisi}\\ MaP\\ MiS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Disamis}\\ MiP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Bocardo}\\ MoP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Felapton}\\ MeP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferison}\\ MeP\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~IV}\\[2pt] \begin{array}{cccccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Bramantip}\\ PaM\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Dimaris}\\ Pim\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Camenes}\\ PaM\\ MeS\end{matrix}}{SeP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fesapo}\\ PeM\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fresison}\\ PeM\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array} \end{gathered}$ В предыдущем пункте было показано, как на языке логики предикатов каждое из категорических суждений $A,E,I,O$ может быть представлено формулой логики предикатов (см. записи (1), (2), (3), (4)). Тогда каждый из 19 правильных аристотелевых силлогизмов также может быть представлен некоторой формулой логики предикатов. Рассмотрим примеры некоторых силлогизмов и дадим их обоснование методами логики предикатов. Пример 24.6. Самый распространенный и простой силлогизм Barbara: "Все $M$ суть $P$ ", "Все $S$ суть $M$ " \| "Все $S$ суть $P$ ". Здесь как обе посылки, так и заключение являются общеутвердительными суждениями. Вот пример такого рассуждения. "Все квадраты суть ромбы", "Все ромбы суть параллелограммы". Следовательно, "Все квадраты суть параллелограммы". Обоснуем справедливость такого рассуждения, для чего представим данный силлогизм на языке логики предикатов: $\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr),\\ (\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).}$ Нужно проверить, что третья (нижняя) формула является логическим следствием первых двух, т.е. нужно показать, что она превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо ее предикатных переменных $S(x)$ и $P(x)$ таких конкретных предикатов, при которой обе первые формулы превращаются в истинные высказывания. В самом деле, на основании равносильности (получаемой из тавтологии) теоремы 21.11 (пункт а), для конъюнкции посылок имеем $\begin{aligned}&(\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr) \land (\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\cong\\ &\cong (\forall x)\bigl[\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\land \bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\bigr]. \end{aligned}$ Истинность обеих посылок означает истинность их конъюнкции и, следовательно, ввиду приведенной равносильности — тождественную истинность предиката $(S(x)\to M(x))\land (M(x)\to P(x))$ , т.е. истинность высказывания $(S(a)\to M(a))\land (M(a)\to P(a))$ для любого $a$ . Но тогда, на основании закона силлогизма (тавтология теоремы 3.1, пункт е), для любого $a$ будет истинно высказывание $S(a)\to P(a)$ , т.е. будет тождественно истинным предикат $S(x)\to P(x)$ . Последнее означает, что будет истинно высказывание $(\forall x)(S(x)\to P(x))$ , являющееся заключением рассматриваемого силлогизма. Пример 24.7. Совершенно аналогично обосновывается (предлагается проделать самостоятельно) справедливость силлогизма Celarent: "Все $M$ суть не $P$ ", "Все $s$ суть $M$ " \| "Все $S$ суть не $P$ ". Пример 24.8. Рассмотрим еще один силлогизм Festino: "Никакое $P$ не есть $M$ ", "Некоторые $S$ суть $M$ " \| "Некоторые $S$ не суть $P$ ". Приведем пример рассуждения, основанного на этой схеме. "Никакая окружность не является квадратом", "Некоторые параллелограммы являются квадратами". Следовательно, "Некоторые параллелограммы не являются окружностями". Запишем данный силлогизм на языке логики предикатов: $\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(P(x)\to\lnot M(x)\bigr),\\ (\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).}$ Покажем, что третья формула является логическим следствием первых двух. Из истинности первого высказывания вытекает истинность высказывания $P(a)\to\lnot M(a)$ для любого предмета $a$ . Следовательно, на основе равносильностей теоремы 4.4 (пункты а, б), истинно высказывание $M(a)\to\lnot P(a)$ для любого $a$ . Докажем, далее, истинность следующего высказывания: $(\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).$ (1) Допустим, что посылка $(\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)$ истинна. Это означает, что существует такой объект $a$ , что высказывание $S(a)\land M(a)$ истинно. Следовательно, истинны оба высказывания $S(a)$ и $M(a)$ . Из истинности высказываний $M(a)$ и $S(a)\land\lnot P(a)$ вытекает истинность высказывания $\lnot P(a)$ , что вместе с истинностью $S(a)$ дает истинность конъюнкции $S(a)\land\lnot P(a)$ для некоторого объекта $a$ . Последнее означает истинность высказывания $(\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr)$ . Таким образом, истинность импликации (1) установлена. Итак, показано, что из первой посылки рассматриваемого силлогизма следует формула (1). Символически это можно выразить так: $F\vDash G\to H$ , где $F,G$ — посылки, а $H$ — следствие рассматриваемого силлогизма. Тогда, на основании теоремы 6.3, заключаем, что $F,G\vDash H$ , т. е. формула $H$ является логическим следствием формул $F$ и $G$ . Рассматриваемый силлогизм действительно справедлив. Пример 24.9. Приведем пример неверного силлогизма. "Некоторые $B$ суть $C$ ", "Некоторые $A$ суть $B$ ", следовательно, "Некоторые $A$ суть $C$ ". Действительно, эта схема умозаключения неверна, потому что на основании ее, например, из истинных утверждений "Некоторые выпуклые фигуры — круги" и "Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры" приходим к ложному выводу "Некоторые многоугольники являются кругами". Этому силлогизму соответствует формула логики предикатов: $\bigl((\exists x)(B(x)\land C(x)) \land (\exists x)(A(x)\land B(x))\bigr)\to (\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr),$ не являющаяся общезначимой (примеры соответствующих предикатов только что указаны). Аристотелева силлогистика и логика предикатов В предыдущем пункте показано как аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии (общезначимые формулы) логики предикатов, а неправильным силлогизмам — формулы, не являющиеся тавтологиями. Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями. Пример 24.10. Рассмотрим формулу, отвечающую силлогизму Darapti: $\Bigl((\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(M(x)\to S(x)\bigr)\Bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).$ Покажем, что эта формула не является общезначимой. Для этого нужно указать такие конкретные предикаты $A(x),\,B(x),\,C(x)$ , заданные над некоторым множеством $M$ , что посылка силлогизма превратится в истинное высказывание $(\forall x)\bigl(B(x)\to C(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(B(x)\to A(x)\bigr)$ , а следствие — в ложное $(\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr).$ . Для этого достаточно, чтобы предикат $B(x)$ был тождественно ложен, а предикаты $A(x)$ и $C(x)$ обладали бы тем свойством, что для любого предмета $a\in M$ одно из высказываний $A(a)$ или $C(a)$ было бы ложным. Последнее возможно, если, например, один из предикатов $A(x)$ или $C(x)$ является отрицанием другого. Укажите самостоятельно примеры таких предикатов, например, на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ . Выпишите самостоятельно формулы логики предикатов для оставшихся трех "плохих" силлогизмов и докажите, что они не общезначимы. Выпишите также формулы логики предикатов для пятнадцати "хороших" аристотелевых силлогизмов и докажите их общезначимость. Какой же вывод можно сделать после анализа результатов перевода аристотелевых силлогизмов на язык логики предикатов? Вывод таков, что логика предикатов, как и алгебра высказываний, далеко не является совершенной математической теорией, отражающей (описывающей) процесс человеческого мышления. И эта теория допускает изъяны, приводит к выводам, не сопоставимым с результатами реальных процессов, которые теория призвана описать. Это же обстоятельство приводит, с одной стороны, к задаче создания аксиоматической теории аристотелевых силлогизмов, в которой каждый верный силлогизм по каким-то правилам выводился бы из аксиом, а с другой — к задаче построения такой логической системы, которая все же вписывала бы всю традиционную силлогистику в общий ансамбль современной формальной логики. Эти вопросы будут рассмотрены в следующих лекциях. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики Данная интерпретация, в частности, поможет лучше понять причину того, что не все верные силлогизмы выражаются на языке логики предикатов общезначимой формулой. Обозначим множества истинности предикатов $S(x),\,M(x),\,P(x)$ через $S,M,P$ соответственно. Тогда утверждения об истинности категорических суждений $A,E,I,O$ могут быть следующим образом выражены на теоретико-множественном языке (учитывайте запись этих утверждений на языке логики предикатов, мы говорили уже об этом выше): $\mathbf{A}\colon \,S \subseteq P~ (S\cap P=S),\quad \mathbf{E}\colon\, S\cap P=\varnothing,\quad \mathbf{I}\colon\, S\cap P\ne\varnothing,\quad \mathbf{O}\colon\, S\nsubseteq P~ (S\setminus P\ne\varnothing).$ Нетрудно изобразить с помощью диаграмм Эйлера–Венна взаимоотношения между множествами $S$ и $P$ в каждом случае: Теперь каждый аристотелев силлогизм будет представлять собой утверждение о том, что из каких-то двух соотношений между множествами $S,\,M,\,P$ непременно следует третье соотношение между множествами $S$ и $P$ . Пример 24.11. Например, силлогизм Bocardo на теоретико-множественном языке запишется так: Используя свойства отношения включения $\subseteq$ , нетрудно установить справедливость данного силлогизма. В самом деле, допустим, что он несправедлив, т. е. $M\nsubseteq P,~ M \subseteq S$ , но $S\subseteq P$ . Тогда из второго и третьего условий, в силу транзитивности отношения с, заключаем, что $M\subseteq P$ , а это противоречит первому условию. Пример 24.12. Пример верного силлогизма Fresison. Его запись: Предположим, что $S\subseteq P$ . Тогда $S\cap P=S$ . Учитывая это, находим: $S\cap (P\cap M)= (S\cap P)\cap M= S\cap M\ne\varnothing$ (неравенство на основании второго условия). Следовательно, $P\cap M\ne\varnothing$ , что противоречит первому условию. Пример 24.13. Приведем пример неправильного силлогизма: Диаграмма показывает, что для трех множеств $S,\,M,\,P$ возможна ситуация, когда условия выполнены: $S\cap P\ne\varnothing$ $S\cap M=\varnothing$ , а заключение — нет: $S\subseteq P$ . Следовательно, данный силлогизм неверен, т.е. рассуждения по данной схеме неправильны. Наконец обратимся к четырем "плохим" с точки зрения логики предикатов правильным силлогизмам Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo и постараемся понять, почему выражающие их формулы логики предикатов оказались необщезначимыми. Пример 24.14. Силлогизм Darapti имеет вид: Из условий вытекает, что $M\cap (S\cap P)= M$ , то есть $M \subseteq S\cap P$ . Если $M\ne\varnothing$ , то $S\cap P\ne\varnothing$ , и заключение силлогизма выполняется. Если же $M=\varnothing$ , то при выполнении условий силлогизма заключение может и не выполниться: $S\cap P=\varnothing$ . (Вспомните здесь, что соответствующая формула логики предикатов превращалась в ложное высказывание, если вместо предикатной переменной $M(x)$ подставить тождественно ложный предикат.) Пример 24.15. Силлогизм Bramantip имеет вид: Из условий получаем $(P\cap M)\cap (M\cap S)= P\cap M$ , то есть $S\cap (P\cap M)=P$ , откуда $S\cap P=P$ . Это означает, что если $P\ne\varnothing$ , то $S\cap P\ne\varnothing$ , и заключение силлогизма выполняется. Если же $P=\varnothing$ , то при выполнении условий силлогизма его заключение может и не выполняться: $S\cap P=\varnothing$ . Пример 24.16. Силлогизм Felaption имеет вид: Допустим, что условия верны, но $S\subseteq P$ . Тогда $M\subseteq P$ , то есть $M\cap P=M$ , а значит, $M=\varnothing$ . Таким образом, при $M=\varnothing$ из выполнимости условий силлогизма может не следовать выполнимость его заключения. Аналогична теоретико-множественная ситуация с силлогизмом Fesapo. Итак, четыре рассмотренных силлогизма с теоретико-множественной точки зрения не выполняются в тех случаях, когда в них участвуют пустые множества. С точки зрения логики предикатов это означает, что мы не исключаем тождественно ложных предикатов. Это означает, что в теоретико-множественной теории силлогизмов, находящейся в рамках логики предикатов, имеется лишь 15 верных силлогизмов. Если же мы исключим из рассмотрения в логике предикатов тождественно ложные предикаты, то мы будем иметь 19 верных силлогизмов. Что же касается классической аристотелевской силлогистики, то в ней изначально не предполагались пустые термины, т.е. предикаты с пустым множеством субъектов, или, в нашей терминологии, тождественно ложные предикаты. Поэтому классическая аристотелевская силлогистика включает 19 верных силлогизмов. Отметим, что М.В.Ломоносов (1711–1765), осуществляя нововведения в традиционную логику, не признавал правильными "плохие" силлогизмы Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo. Это красноречиво говорит о том, насколько глубоко этот гениальный ученый проник и в эту область научного знания. О других методах логических рассуждений Аристотелевская силлогистика охватывает далеко не все типы умозаключений так называемой логики свойств, к которой эту силлогистику принято относить. Полная формализация таких умозаключений осуществляется в логике (одноместных) предикатов. Рассмотрим еще ряд некоторых типов умозаключений. Пример 24.17. Вот один такой широко распространенный способ рассуждений. Приведем сначала примеры таких рассуждений. "Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен". "Всякое нечетное натуральное число является разностью двух квадратов. 7 есть нечетное натуральное число. Следовательно, 7 является разностью двух квадратов". Приведенные рассуждения основаны на следующей схеме: $\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(H(x)\to P(x)\bigr)\\ H(a) \end{matrix}}{P(a)}$ означающей, что третья формула является логическим следствием первых двух. Проверим, что это действительно так. Пусть первые две формулы превратились в истинные высказывания $(\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)$ и $A(a)$ при подстановке вместо предикатных переменных $H$ и $P$ некоторых конкретных предикатов $A(x)$ и $B(x)$ соответственно, определенных на некотором множестве $M$ . Истинность высказывания $(\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)$ означает тождественную истинность предиката $A(x)\to B(x)$ , откуда, в частности, вытекает истинность высказывания $A(a)\to B(a)$ . Наконец, из истинности высказываний $A(a)$ и $A(a)\to B(a)$ следует истинность высказывания $B(a)$ , полученного из заключительной формулы $P(a)$ в результате подстановки конкретного предиката $B$ на место предикатной переменной $P$ . Тем самым справедливость приведенной схемы рассуждений доказана. И аристотелевские силлогизмы, и приведенная схема рассуждений обосновываются с привлечением лишь одноместных предикатов. Приведем пример рассуждения, для обоснования которого уже нельзя обойтись только одноместными предикатами. Пример 24.18. "Бинарное отношение $<$ на множестве натуральных чисел транзитивно и антирефлексивно. Следовательно, оно несимметрично". Символически: $\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x<y\land y<z\to x<z)\\ (\forall x)(\lnot (x<x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(x<y\to\lnot (y<x))}$ Это рассуждение основано на следующей схеме с двухместным предикатом $P(x,y)\colon$ $\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(P(x,y)\land P(y,z)\to P(x,z))\\ (\forall x)(\lnot P(x,x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(P(x,y)\to\lnot P(y,x))}$ Проверим справедливость этой схемы. Отметим вначале, что тавтологию закона удаления квантора общности (теорема 21.13, пункта) в терминах логического следования можно трактовать так: формула $P(y)$ является логическим следствием формулы $(\forall x)(P(x))$ . На основании данного закона из первой формулы рассматриваемой схемы следует формула $P(x,y)\land P(y,x)\to P(x,x)$ (1) (переменную z переименовали в $x$ ). Далее, из второй формулы рассматриваемой схемы по тому же закону удаления квантора общности следует формула $\lnot P(x,x)$ (2) При фиксированных $x$ и $y$ две последние формулы превращаются в формулы алгебры высказываний: $(A\land B)\to C,~\lnot C$ . Используя методы алгебры высказываний, нетрудно проверить, что $(A\land B)\to C,~\lnot C\vDash A\to\lnot B.$ (3) Переводя полученную формулу $A\to\lnot B$ на первоначальный язык, получим формулу $P(x,y)\to\lnot P(y,x)$ . Таким образом, выводимость (3) показывает, что формула $P(x,y)\to\lnot P(y,x)$ является логическим следствием формул (1) и.(2) для каждого значения хну. Следовательно, и формула $(\forall x)(\forall y)\bigl(P(x,y)\to\lnot P(y,x)\bigr)$ будет превращаться в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо предикатной переменной $P$ конкретного предиката, а вместо предметных переменных $x$ и $y$ — конкретных предметов, при которой в истинные высказывания превращаются формулы (1) и (2). Этим завершается проверка справедливости схемы умозаключения. В заключение приведем пример доказательства математической теоремы, целиком основанного на одной тавтологии логики предикатов. По существу здесь мы имеем пример теоремы из конкретного раздела математики, доказательство которой носит не математический, а чисто логический характер. Пример 24.19. Рассмотрим следующую тавтологию логики предикатов: $(\forall x)\bigl(P(x)\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\lor Q(x)\bigr).$ (1) Покажем, как она может быть применена к доказательству следующего утверждения: "Наименьший элемент (если он существует) упорядоченного множества минимален." Напомним определения. Отношением порядка на множестве $A$ называется бинарное отношение $\prec$ на $A$ , удовлетворяющее условиям: 1) рефлексивность: $(\forall x)(x\prec x)$ ; 2) антисимметричность: $(\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec x)\to x=y\bigr)$ ; 3) транзитивность: $(\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec z)\to x\prec z\bigr)$ . Множество $A$ вместе с заданным на нем отношением порядка $\prec$ называется упорядоченным и обозначается $<A;~\prec>$ . Элемент $a$ упорядоченного множества $<A;~\prec>$ называется наименьшим, если он меньше всех элементов этого множества: $(\forall x)(a\prec x)$ , и называется минимальным, если меньше его нет элемента в этом множестве: $\lnot (\exists x)(x\prec a)$ . Таким образом, утверждение, которое мы хотим доказать, на языке логики предикатов записывается так: $(\forall x)(a\prec x)\to\lnot (\exists x)(x\prec a).$ (2) С помощью равносильных преобразований преобразуем сначала заключение этой импликации: $\begin{aligned}\lnot (\exists x)(x\prec a)&\cong (\forall x)\bigl[\lnot (x\prec a)\bigr]\cong (\forall x) \bigl[a\prec x\lor (\lnot (a\prec x)\land\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl[(a\prec x\lor\lnot (a\prec x))\land (a\prec x\lor\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).\end{aligned}$ Тогда утверждение (2) имеет вид $(\forall x)(a\prec x)\to (\forall x)\bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).$ (3) Именно в это высказывание и превращается формула (1) при подстановке в нее вместо переменной $P(x)$ предиката " $a\prec x$ ", а вместо переменной $Q(x)$ — предиката " $\lnot (x\prec a)$ ". Поскольку формула (1), как мы доказали, общезначима, то высказывание (3), а вместе с ним и высказывание (2) истинны. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Аристотелева силлогистика и методы рассуждений

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Аристотелева силлогистика и методы рассуждений

Наиболее часто употребляемые приемы логических рассуждений были впервые охарактеризованы еще аристотелевой логикой и получили название аристотелевых силлогизмов. Создатели известной методической концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике П.М.Эрдниев и Б.П.Эрдниев так характеризуют роль аристотелевской силлогистики в школьном математическом образовании: "В настоящее время образцом логической строгости в школе выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение".

Итак, расклассифицировав описанным в предыдущей лекции образом простые высказывания на типы $A,E,I,O$ , Аристотель приступает к анализу умозаключений, которые можно осуществить на их основе. Он выделяет важнейший вид дедуктивных Умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов $A,E,I,O$ : два первых высказывания — посылки, третье — заключение.

Более точно, умозаключения аристотелевой силлогистики имеют следующее строение. В них рассматриваются три свойства (Аристотель называет их терминами): $S,M,P$ . Первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связывающее $M$ и $P$ ; вторая посылка (называемая малая) связывает $M$ и $S$ ; следствие связывает $S$ и $P$ , причем в следствии всегда $S$ выступает в качестве субъекта, а $P$ — в качестве предиката. Фактически аристотелевский силлогизм есть установление соотношения между двумя свойствами $S$ и $P$ посредством "связующего" свойства $M$ . В зависимости от расположения "связующего" свойства $M$ может быть четыре вида силлогизмов (по Аристотелю — четыре фигуры модусов силлогизмов), которые схематически представляются следующим образом (запись в столбец означает, что суждение, записанное под чертой, является следствием суждений, записанных над чертой):

$\begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Figure I}\\[2pt] MxP\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure II}\\[2pt] PxM\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure III}\\[2pt] MxP\\ MyS\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure IV}\\[2pt] PxM\\ MyS\end{matrix}}{SzP} \end{array}$

Здесь $x,y,z\in\{a,e,i,o\}$ и запись $SzP$ (как и $MxP$ и $SyM$ и т. п.) обозначает в зависимости от значения $z$ одно из четырех суждений видов $A,E,I,O$ , включающих соответствующие предикаты $S$ и $P$ . Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): $4\cdot4\cdot4=64$ . Поскольку фигур 4, то получаем $4\cdot64=256$ силлогизмов. (Выпишите самостоятельно все силлогизмы каждой из четырех фигур.)

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

Для облегчения запоминания всех правильных силлогизмов (или модусов, как их называют) в XIII в. было составлено особое мнемоническое латинское стихотворение. При этом название силлогизма само по себе непереводимо, но дано так, чтобы из гласных букв в него входили лишь те три буквы из $a,e,i,o$ , которые указывают на характер посылок и следствия данного силлогизма. Выпишем все верные модусы с их латинскими названиями:

$\begin{gathered}\mathsf{Figure~I}\\[2pt] \begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Barbara}\\ MaP\\ SaM\end{matrix}}{SaP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Darii}\\ MaP\\ SiM\end{matrix}}{SiP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Celarent}\\ MeP\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferio}\\ MeP\\ SiM\end{matrix}}{SoP}\end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~II}\\[2pt] \begin{array}{cccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Baroco}\\ PaM\\ SoM\end{matrix}}{SoP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Camestres}\\ PaM\\ SeM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Cesare}\\ PeM\\ SaM\end{matrix}}{SeP}&\quad\dfrac{\begin{matrix}\text{Festino}\\ PeM\\ SiM\end{matrix}}{SoP} \end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~III}\\[2pt] \begin{array}{cccccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Darapti}\\ MaP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Datisi}\\ MaP\\ MiS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Disamis}\\ MiP\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Bocardo}\\ MoP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Felapton}\\ MeP\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Ferison}\\ MeP\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array}\\[8pt] \mathsf{Figure~IV}\\[2pt] \begin{array}{cccccc} \dfrac{\begin{matrix}\text{Bramantip}\\ PaM\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Dimaris}\\ Pim\\ MaS\end{matrix}}{SiP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Camenes}\\ PaM\\ MeS\end{matrix}}{SeP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fesapo}\\ PeM\\ MaS\end{matrix}}{SoP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Fresison}\\ PeM\\ MiS\end{matrix}}{SoP} \end{array} \end{gathered}$

В предыдущем пункте было показано, как на языке логики предикатов каждое из категорических суждений $A,E,I,O$ может быть представлено формулой логики предикатов (см. записи (1), (2), (3), (4)). Тогда каждый из 19 правильных аристотелевых силлогизмов также может быть представлен некоторой формулой логики предикатов. Рассмотрим примеры некоторых силлогизмов и дадим их обоснование методами логики предикатов.

Пример 24.6. Самый распространенный и простой силлогизм Barbara:

"Все $M$ суть $P$ ", "Все $S$ суть $M$ " | "Все $S$ суть $P$ ".

Здесь как обе посылки, так и заключение являются общеутвердительными суждениями. Вот пример такого рассуждения. "Все квадраты суть ромбы", "Все ромбы суть параллелограммы". Следовательно, "Все квадраты суть параллелограммы".

Обоснуем справедливость такого рассуждения, для чего представим данный силлогизм на языке логики предикатов:

$\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr),\\ (\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).}$

Нужно проверить, что третья (нижняя) формула является логическим следствием первых двух, т.е. нужно показать, что она превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо ее предикатных переменных $S(x)$ и $P(x)$ таких конкретных предикатов, при которой обе первые формулы превращаются в истинные высказывания. В самом деле, на основании равносильности (получаемой из тавтологии) теоремы 21.11 (пункт а), для конъюнкции посылок имеем

$\begin{aligned}&(\forall x)\bigl(S(x)\to M(x)\bigr) \land (\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\cong\\ &\cong (\forall x)\bigl[\bigl(S(x)\to M(x)\bigr)\land \bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\bigr]. \end{aligned}$

Истинность обеих посылок означает истинность их конъюнкции и, следовательно, ввиду приведенной равносильности — тождественную истинность предиката $(S(x)\to M(x))\land (M(x)\to P(x))$ , т.е. истинность высказывания $(S(a)\to M(a))\land (M(a)\to P(a))$ для любого $a$ . Но тогда, на основании закона силлогизма (тавтология теоремы 3.1, пункт е), для любого $a$ будет истинно высказывание $S(a)\to P(a)$ , т.е. будет тождественно истинным предикат $S(x)\to P(x)$ . Последнее означает, что будет истинно высказывание $(\forall x)(S(x)\to P(x))$ , являющееся заключением рассматриваемого силлогизма.

Пример 24.7. Совершенно аналогично обосновывается (предлагается проделать самостоятельно) справедливость силлогизма Celarent:

"Все $M$ суть не $P$ ", "Все $s$ суть $M$ " | "Все $S$ суть не $P$ ".

Пример 24.8. Рассмотрим еще один силлогизм Festino:

"Никакое $P$ не есть $M$ ", "Некоторые $S$ суть $M$ " | "Некоторые $S$ не суть $P$ ".

Приведем пример рассуждения, основанного на этой схеме. "Никакая окружность не является квадратом", "Некоторые параллелограммы являются квадратами". Следовательно, "Некоторые параллелограммы не являются окружностями".

Запишем данный силлогизм на языке логики предикатов:

$\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(P(x)\to\lnot M(x)\bigr),\\ (\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\end{matrix}}{(\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).}$

Покажем, что третья формула является логическим следствием первых двух. Из истинности первого высказывания вытекает истинность высказывания $P(a)\to\lnot M(a)$ для любого предмета $a$ . Следовательно, на основе равносильностей теоремы 4.4 (пункты а, б), истинно высказывание $M(a)\to\lnot P(a)$ для любого $a$ .

Докажем, далее, истинность следующего высказывания:

$(\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).$

(1)

Допустим, что посылка $(\exists x)\bigl(S(x)\land M(x)\bigr)$ истинна. Это означает, что существует такой объект $a$ , что высказывание $S(a)\land M(a)$ истинно. Следовательно, истинны оба высказывания $S(a)$ и $M(a)$ . Из истинности высказываний $M(a)$ и $S(a)\land\lnot P(a)$ вытекает истинность высказывания $\lnot P(a)$ , что вместе с истинностью $S(a)$ дает истинность конъюнкции $S(a)\land\lnot P(a)$ для некоторого объекта $a$ . Последнее означает истинность высказывания $(\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr)$ . Таким образом, истинность импликации (1) установлена.

Итак, показано, что из первой посылки рассматриваемого силлогизма следует формула (1). Символически это можно выразить так: $F\vDash G\to H$ , где $F,G$ — посылки, а $H$ — следствие рассматриваемого силлогизма. Тогда, на основании теоремы 6.3, заключаем, что $F,G\vDash H$ , т. е. формула $H$ является логическим следствием формул $F$ и $G$ . Рассматриваемый силлогизм действительно справедлив.

Пример 24.9. Приведем пример неверного силлогизма. "Некоторые $B$ суть $C$ ", "Некоторые $A$ суть $B$ ", следовательно, "Некоторые $A$ суть $C$ ". Действительно, эта схема умозаключения неверна, потому что на основании ее, например, из истинных утверждений "Некоторые выпуклые фигуры — круги" и "Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры" приходим к ложному выводу "Некоторые многоугольники являются кругами". Этому силлогизму соответствует формула логики предикатов:

$\bigl((\exists x)(B(x)\land C(x)) \land (\exists x)(A(x)\land B(x))\bigr)\to (\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr),$

не являющаяся общезначимой (примеры соответствующих предикатов только что указаны).

Аристотелева силлогистика и логика предикатов

В предыдущем пункте показано как аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии (общезначимые формулы) логики предикатов, а неправильным силлогизмам — формулы, не являющиеся тавтологиями.

Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями.

Пример 24.10. Рассмотрим формулу, отвечающую силлогизму Darapti:

$\Bigl((\forall x)\bigl(M(x)\to P(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(M(x)\to S(x)\bigr)\Bigr)\to (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).$

Покажем, что эта формула не является общезначимой. Для этого нужно указать такие конкретные предикаты $A(x),\,B(x),\,C(x)$ , заданные над некоторым множеством $M$ , что посылка силлогизма превратится в истинное высказывание

$(\forall x)\bigl(B(x)\to C(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(B(x)\to A(x)\bigr)$ , а следствие — в ложное $(\exists x)\bigl(A(x)\land C(x)\bigr).$ .

Для этого достаточно, чтобы предикат $B(x)$ был тождественно ложен, а предикаты $A(x)$ и $C(x)$ обладали бы тем свойством, что для любого предмета $a\in M$ одно из высказываний $A(a)$ или $C(a)$ было бы ложным. Последнее возможно, если, например, один из предикатов $A(x)$ или $C(x)$ является отрицанием другого. Укажите самостоятельно примеры таких предикатов, например, на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ .

Выпишите самостоятельно формулы логики предикатов для оставшихся трех "плохих" силлогизмов и докажите, что они не общезначимы. Выпишите также формулы логики предикатов для пятнадцати "хороших" аристотелевых силлогизмов и докажите их общезначимость.

Какой же вывод можно сделать после анализа результатов перевода аристотелевых силлогизмов на язык логики предикатов? Вывод таков, что логика предикатов, как и алгебра высказываний, далеко не является совершенной математической теорией, отражающей (описывающей) процесс человеческого мышления. И эта теория допускает изъяны, приводит к выводам, не сопоставимым с результатами реальных процессов, которые теория призвана описать. Это же обстоятельство приводит, с одной стороны, к задаче создания аксиоматической теории аристотелевых силлогизмов, в которой каждый верный силлогизм по каким-то правилам выводился бы из аксиом, а с другой — к задаче построения такой логической системы, которая все же вписывала бы всю традиционную силлогистику в общий ансамбль современной формальной логики. Эти вопросы будут рассмотрены в следующих лекциях.

Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Данная интерпретация, в частности, поможет лучше понять причину того, что не все верные силлогизмы выражаются на языке логики предикатов общезначимой формулой. Обозначим множества истинности предикатов $S(x),\,M(x),\,P(x)$ через $S,M,P$ соответственно. Тогда утверждения об истинности категорических суждений $A,E,I,O$ могут быть следующим образом выражены на теоретико-множественном языке (учитывайте запись этих утверждений на языке логики предикатов, мы говорили уже об этом выше):

$\mathbf{A}\colon \,S \subseteq P~ (S\cap P=S),\quad \mathbf{E}\colon\, S\cap P=\varnothing,\quad \mathbf{I}\colon\, S\cap P\ne\varnothing,\quad \mathbf{O}\colon\, S\nsubseteq P~ (S\setminus P\ne\varnothing).$

Нетрудно изобразить с помощью диаграмм Эйлера–Венна взаимоотношения между множествами $S$ и $P$ в каждом случае:

Взаимоотношения между множествами на диаграммах Эйлера-Венна

Теперь каждый аристотелев силлогизм будет представлять собой утверждение о том, что из каких-то двух соотношений между множествами $S,\,M,\,P$ непременно следует третье соотношение между множествами $S$ и $P$ .

Пример 24.11. Например, силлогизм Bocardo на теоретико-множественном языке запишется так:

Используя свойства отношения включения $\subseteq$ , нетрудно установить справедливость данного силлогизма. В самом деле, допустим, что он несправедлив, т. е. $M\nsubseteq P,~ M \subseteq S$ , но $S\subseteq P$ . Тогда из второго и третьего условий, в силу транзитивности отношения с, заключаем, что $M\subseteq P$ , а это противоречит первому условию.

Пример 24.12. Пример верного силлогизма Fresison. Его запись:

Предположим, что $S\subseteq P$ . Тогда $S\cap P=S$ . Учитывая это, находим:

$S\cap (P\cap M)= (S\cap P)\cap M= S\cap M\ne\varnothing$

(неравенство на основании второго условия). Следовательно, $P\cap M\ne\varnothing$ , что противоречит первому условию.

Пример 24.13. Приведем пример неправильного силлогизма:

Диаграмма показывает, что для трех множеств $S,\,M,\,P$ возможна ситуация, когда условия выполнены: $S\cap P\ne\varnothing$ $S\cap M=\varnothing$ , а заключение — нет: $S\subseteq P$ . Следовательно, данный силлогизм неверен, т.е. рассуждения по данной схеме неправильны.

Наконец обратимся к четырем "плохим" с точки зрения логики предикатов правильным силлогизмам Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo и постараемся понять, почему выражающие их формулы логики предикатов оказались необщезначимыми.

Пример 24.14. Силлогизм Darapti имеет вид:

Из условий вытекает, что $M\cap (S\cap P)= M$ , то есть $M \subseteq S\cap P$ . Если $M\ne\varnothing$ , то $S\cap P\ne\varnothing$ , и заключение силлогизма выполняется. Если же $M=\varnothing$ , то при выполнении условий силлогизма заключение может и не выполниться: $S\cap P=\varnothing$ . (Вспомните здесь, что соответствующая формула логики предикатов превращалась в ложное высказывание, если вместо предикатной переменной $M(x)$ подставить тождественно ложный предикат.)

Пример 24.15. Силлогизм Bramantip имеет вид:

Из условий получаем $(P\cap M)\cap (M\cap S)= P\cap M$ , то есть $S\cap (P\cap M)=P$ , откуда $S\cap P=P$ . Это означает, что если $P\ne\varnothing$ , то $S\cap P\ne\varnothing$ , и заключение силлогизма выполняется. Если же $P=\varnothing$ , то при выполнении условий силлогизма его заключение может и не выполняться: $S\cap P=\varnothing$ .

Пример 24.16. Силлогизм Felaption имеет вид:

Допустим, что условия верны, но $S\subseteq P$ . Тогда $M\subseteq P$ , то есть $M\cap P=M$ , а значит, $M=\varnothing$ . Таким образом, при $M=\varnothing$ из выполнимости условий силлогизма может не следовать выполнимость его заключения. Аналогична теоретико-множественная ситуация с силлогизмом Fesapo.
Итак, четыре рассмотренных силлогизма с теоретико-множественной точки зрения не выполняются в тех случаях, когда в них участвуют пустые множества. С точки зрения логики предикатов это означает, что мы не исключаем тождественно ложных предикатов. Это означает, что в теоретико-множественной теории силлогизмов, находящейся в рамках логики предикатов, имеется лишь 15 верных силлогизмов. Если же мы исключим из рассмотрения в логике предикатов тождественно ложные предикаты, то мы будем иметь 19 верных силлогизмов.

Что же касается классической аристотелевской силлогистики, то в ней изначально не предполагались пустые термины, т.е. предикаты с пустым множеством субъектов, или, в нашей терминологии, тождественно ложные предикаты. Поэтому классическая аристотелевская силлогистика включает 19 верных силлогизмов.

Отметим, что М.В.Ломоносов (1711–1765), осуществляя нововведения в традиционную логику, не признавал правильными "плохие" силлогизмы Darapti, Felaption, Bramantip и Fesapo. Это красноречиво говорит о том, насколько глубоко этот гениальный ученый проник и в эту область научного знания.

О других методах логических рассуждений

Аристотелевская силлогистика охватывает далеко не все типы умозаключений так называемой логики свойств, к которой эту силлогистику принято относить. Полная формализация таких умозаключений осуществляется в логике (одноместных) предикатов. Рассмотрим еще ряд некоторых типов умозаключений.

Пример 24.17. Вот один такой широко распространенный способ рассуждений. Приведем сначала примеры таких рассуждений. "Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен". "Всякое нечетное натуральное число является разностью двух квадратов. 7 есть нечетное натуральное число. Следовательно, 7 является разностью двух квадратов". Приведенные рассуждения основаны на следующей схеме:

$\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)\bigl(H(x)\to P(x)\bigr)\\ H(a) \end{matrix}}{P(a)}$

означающей, что третья формула является логическим следствием первых двух. Проверим, что это действительно так. Пусть первые две формулы превратились в истинные высказывания $(\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)$ и $A(a)$ при подстановке вместо предикатных переменных $H$ и $P$ некоторых конкретных предикатов $A(x)$ и $B(x)$ соответственно, определенных на некотором множестве $M$ . Истинность высказывания $(\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)$ означает тождественную истинность предиката $A(x)\to B(x)$ , откуда, в частности, вытекает истинность высказывания $A(a)\to B(a)$ . Наконец, из истинности высказываний $A(a)$ и $A(a)\to B(a)$ следует истинность высказывания $B(a)$ , полученного из заключительной формулы $P(a)$ в результате подстановки конкретного предиката $B$ на место предикатной переменной $P$ . Тем самым справедливость приведенной схемы рассуждений доказана.

И аристотелевские силлогизмы, и приведенная схема рассуждений обосновываются с привлечением лишь одноместных предикатов. Приведем пример рассуждения, для обоснования которого уже нельзя обойтись только одноместными предикатами.

Пример 24.18. "Бинарное отношение $<$ на множестве натуральных чисел транзитивно и антирефлексивно. Следовательно, оно несимметрично". Символически:

$\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x<y\land y<z\to x<z)\\ (\forall x)(\lnot (x<x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(x<y\to\lnot (y<x))}$

Это рассуждение основано на следующей схеме с двухместным предикатом $P(x,y)\colon$

$\dfrac{\begin{matrix}(\forall x)(\forall y)(\forall z)(P(x,y)\land P(y,z)\to P(x,z))\\ (\forall x)(\lnot P(x,x)) \end{matrix}}{(\forall x)(\forall y)(P(x,y)\to\lnot P(y,x))}$

Проверим справедливость этой схемы. Отметим вначале, что тавтологию закона удаления квантора общности (теорема 21.13, пункта) в терминах логического следования можно трактовать так: формула $P(y)$ является логическим следствием формулы $(\forall x)(P(x))$ . На основании данного закона из первой формулы рассматриваемой схемы следует формула

$P(x,y)\land P(y,x)\to P(x,x)$

(1)

(переменную z переименовали в $x$ ). Далее, из второй формулы рассматриваемой схемы по тому же закону удаления квантора общности следует формула

$\lnot P(x,x)$

(2)

При фиксированных $x$ и $y$ две последние формулы превращаются в формулы алгебры высказываний: $(A\land B)\to C,~\lnot C$ . Используя методы алгебры высказываний, нетрудно проверить, что

$(A\land B)\to C,~\lnot C\vDash A\to\lnot B.$

(3)

Переводя полученную формулу $A\to\lnot B$ на первоначальный язык, получим формулу $P(x,y)\to\lnot P(y,x)$ . Таким образом, выводимость (3) показывает, что формула $P(x,y)\to\lnot P(y,x)$ является логическим следствием формул (1) и.(2) для каждого значения хну. Следовательно, и формула $(\forall x)(\forall y)\bigl(P(x,y)\to\lnot P(y,x)\bigr)$ будет превращаться в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо предикатной переменной $P$ конкретного предиката, а вместо предметных переменных $x$ и $y$ — конкретных предметов, при которой в истинные высказывания превращаются формулы (1) и (2). Этим завершается проверка справедливости схемы умозаключения.

В заключение приведем пример доказательства математической теоремы, целиком основанного на одной тавтологии логики предикатов. По существу здесь мы имеем пример теоремы из конкретного раздела математики, доказательство которой носит не математический, а чисто логический характер.

Пример 24.19. Рассмотрим следующую тавтологию логики предикатов:

$(\forall x)\bigl(P(x)\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\lor Q(x)\bigr).$

(1)

Покажем, как она может быть применена к доказательству следующего утверждения: "Наименьший элемент (если он существует) упорядоченного множества минимален."

Напомним определения. Отношением порядка на множестве $A$ называется бинарное отношение $\prec$ на $A$ , удовлетворяющее условиям:

1) рефлексивность: $(\forall x)(x\prec x)$ ;
2) антисимметричность: $(\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec x)\to x=y\bigr)$ ;
3) транзитивность: $(\forall x,y,z)\bigl((x\prec y\land y\prec z)\to x\prec z\bigr)$ .

Множество $A$ вместе с заданным на нем отношением порядка $\prec$ называется упорядоченным и обозначается $<A;~\prec>$ . Элемент $a$ упорядоченного множества $<A;~\prec>$ называется наименьшим, если он меньше всех элементов этого множества: $(\forall x)(a\prec x)$ , и называется минимальным, если меньше его нет элемента в этом множестве: $\lnot (\exists x)(x\prec a)$ . Таким образом, утверждение, которое мы хотим доказать, на языке логики предикатов записывается так:

$(\forall x)(a\prec x)\to\lnot (\exists x)(x\prec a).$

(2)

С помощью равносильных преобразований преобразуем сначала заключение этой импликации:

$\begin{aligned}\lnot (\exists x)(x\prec a)&\cong (\forall x)\bigl[\lnot (x\prec a)\bigr]\cong (\forall x) \bigl[a\prec x\lor (\lnot (a\prec x)\land\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl[(a\prec x\lor\lnot (a\prec x))\land (a\prec x\lor\lnot (x\prec a))\bigr]\cong\\ &\cong (\forall x) \bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).\end{aligned}$

Тогда утверждение (2) имеет вид

$(\forall x)(a\prec x)\to (\forall x)\bigl(a\prec x\lor\lnot (x\prec a)\bigr).$

(3)

Именно в это высказывание и превращается формула (1) при подстановке в нее вместо переменной $P(x)$ предиката " $a\prec x$ ", а вместо переменной $Q(x)$ — предиката " $\lnot (x\prec a)$ ". Поскольку формула (1), как мы доказали, общезначима, то высказывание (3), а вместе с ним и высказывание (2) истинны.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]