Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аннуитет и финансовая рента в инвестициях

Аннуитет и финансовая рента в инвестициях


В большинстве коммерческих операций вместо разовых платежей встречается последовательность денежных поступлений или выплат. Серия потоков поступлений или выплат называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами времени между последовательными платежами в течение определенного количества лет представляет собой аннуитет (финансовая рента).


Денежные поступления при оценке долговых и долевых ценных бумаг, возможных арендных платежей можно представить следующим образом:


[math]CF_1=CF_2=\ldots=CF_n=CF.[/math]
(1.13)

Аннуитеты могут подразделяться по количеству выплат в году, т. е. годовые выплаты (1 раз в год) и срочные (ряд выплат в пределах года), а также по количеству начислений процентов в течение года (ежегодно несколько раз в год или непрерывно).


По времени наступления платежей различают два типа аннуитета:


1. Обыкновенный (постнумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в конце каждого периода.

2. Авансовый (пренумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в начале каждого периода.


По продолжительности денежного потока различают:


3. Срочный аннуитет — денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени.


Примером срочного аннуитета постнумерандо являются арендные платежи, за пользование имуществом, землей и т. п., которые регулярно поступают по истечении очередного периода. В качестве примера срочного аннуитета пренумерандо можно представить схему периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью наполнения определенной суммы, необходимой для решения конкретной задачи.


1. Бессрочный аннуитет — когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время.




Будущая стоимость обыкновенного аннуитета


Будущая стоимость обыкновенного аннуитета рассчитывается по следующей формуле:


[math]FV=CF\cdot\! \frac{(1+r)^n-1}{r}\quad \text{or}\quad FV=CF\cdot F_2,[/math]
(1.14)

где [math]CF[/math] — денежные поступления аннуитета; [math]F_2[/math] — коэффициент наращения будущей стоимости аннуитета.


Для денежного потока из [math]n[/math] периода будущая стоимость авансового аннуитета равна:


[math]FV=CF\cdot \frac{(1+r)^n-1}{r}\cdot(1+r).[/math]
(1.15)

Для определения суммы, которую необходимо депонировать в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов остаток составил необходимую величину, используется функция, называемая фактор фонда возмещения:


[math]F_6=\frac{1}{F_2}= \frac{r}{(1+r)^n-1}= \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}(1+r)^{n-i}}\,.[/math]
(1.16)

Данный фактор учитывает процент, получаемый по депозитам. Сумма ежегодного вклада составит:


[math]FV=A\cdot F_6,[/math]
(1.17)

где [math]A[/math] — стоимость поступлений по истечении срока вложений.


Формула (1.17) применяется для определения суммы, которую следует ежегодно вкладывать на депозитный счет в банк, чтобы через определенное количество лет получить заданную стоимость.


Часто в тех случаях, когда вплоть до истечения срока кредитного договора (долгового обязательства) кредитору выплачивается только процент, заемщики для погашения основной суммы кредита создают специальные фонды возмещения. В каждый период должник вносит в отдельный фонд сумму, которая вместе с начисляемым на нее процентом должна обеспечить погашение основной части кредита.




Пример 3. Чтобы получить 800 тыс. руб. в конце четырехлетнего периода при нулевом проценте, необходимо депонировать [math]800:4=200[/math] тыс. руб. Если процентная ставка составит 10 %, тогда можно депонировать


[math]FV=800\cdot \left(1:\sum_{i=1}^{5}(1+0,\!1)^{5-i}\right)= 800\cdot0,\!16= 131[/math] тыс. руб. в конце каждого года.

Разница четырех взносов (524,2 тыс. руб.) и полученной суммы составит 275,8 тыс. руб.




Настоящая и текущая стоимость обыкновенного аннуитета


Настоящая стоимость обыкновенного аннуитета для денежного потока из [math]n[/math] периодов рассчитывается по формуле:


[math]PV=CF\cdot\! \left(\frac{1}{1+r}+\frac{1}{(1+r)^2}+\ldots+\frac{1}{(1+r)^n}\right)= CF\cdot\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(1+r)^i}\,,[/math]
(1.18)

Отдельные элементы денежного потока относятся к разным временным интервалам, поэтому их суммирование искажает реальную доходность инвестиций. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи функции, называемой текущей стоимостью аннуитета.


Текущая стоимость обыкновенного аннуитета определяется по формуле:


[math]PV=CF\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\quad \text{or}\quad PV=CF\cdot F_4,[/math]
(1.19)

где [math]F_4[/math] — коэффициент дисконтирования настоящей стоимости аннуитета.




Пример 4. В результате осуществления инвестиционного проекта ежегодные доходы в течение 5 лет будут составлять по 500 тыс. руб.


Текущая стоимость денежных потоков составит:


[math]PV=500\cdot\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{(1+0,\!1)^i}= 500\cdot(0,\!91+0,\!83+0,\!75+0,\!68+0,\!62)=1895,\!4[/math] тыс. руб.

В результате дисконтирования дохода за каждый период получим:


[math]454,\!5+413,\!2+375,\!7+341,\!5+310,\!5=1895,\!4[/math] тыс. руб.



В тех случаях, когда денежные поступления приходят в начале периода, настоящая стоимость авансового аннуитета для денежного потока из [math]n[/math] периодов рассчитывают следующим образом:


[math]PV=CF\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\cdot(1+r).[/math]
(1.20)

Формула (1.20) применяется для определения текущей стоимости, если доходы, получаемые за каждый i-й период, равны. При неравенстве доходов по временным периодам их получения рассчитывается дисконтированная стоимость за каждый период.




Функция погашения кредита


Для определения дохода, который необходимо получать ежегодно, чтобы возместить (окупить) инвестиции за определенный период времени с учетом процентной ставки, используется функция погашения кредита:


[math]F_5=\frac{1}{F_4}=\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}\,.[/math]
(1.21)

Формула (1.21) применяется для определения суммы, которую необходимо ежегодно (ежеквартально) вносить в банк для погашения кредита и процентов по нему.


Ежегодный доход (аннуитет) определяется умножением суммы инвестиций на множитель [math]F_5:[/math]


[math]FV= IC\cdot F_5,[/math]
(1.22)

где [math]IC[/math] — начальная сумма инвестиции (вложений).


Пример 5. Инвестиции в проект составили 900 тыс. руб. Чтобы окупить инвестиции в течение 5 лет и получить доход в размере 10 % годовых, ежегодный денежный поток (аннуитет) должен составить:


[math]FV=900\cdot\frac{1}{18,\!954}=47,\!5[/math] тыс. руб.



Настоящая стоимость бессрочного аннуитета


Настоящая стоимость бессрочного аннуитета определяется по формуле:


[math]PV=CV\cdot\frac{1}{r}\,.[/math]
(1.23)

Бессрочным называется такой денежный поток, при котором денежные поступления продолжаются весьма длительное время (например, аренда на 50 лет и более).


При [math]n\to\infty[/math] коэффициент [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{(1+r)^i}\to\frac{1}{r}[/math].


Формула (1.23) показывает максимальную цену, которую инвестор согласен заплатить за бессрочные денежные поступления. Для этого в числителе используют размер годовых поступлений, а в знаменателе в качестве коэффициента дисконтирования обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент по государственным ценным бумагам).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved