Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Анализ выходных процессов линейных стационарных систем

Анализ выходных процессов линейных
стационарных систем


Содержание

Постановка задачи


В теории автоматического регулирования и управления рассматривается следующая прикладная задача. На вход динамической системы, математическая модель которой описывается в той или иной форме, поступает входной сигнал. Требуется найти выходной сигнал, т.е. реакцию динамической системы на входной сигнал. Эта задача называется основной задачей анализа.


Динамические системы подразделяются на:


– непрерывные (описываются дифференциальными уравнениями) и дискретные (описываются разностными уравнениями);

– линейные и нелинейные (описываются линейными или нелинейными уравнениями);

– стационарные и нестационарные (описываются уравнениями с постоянными или переменными коэффициентами);

– одномерные и многомерные (в многомерных системах суммарное число входов и выходов больше двух).


Рассмотрим особенности применения преобразования Лапласа для решения задач анализа линейных непрерывных одномерных и многомерных стационарных динамических систем.


Одномерные системы


Пусть заданы:


а) входной сигнал [math]g(t),~ t>0[/math];


б) линейная непрерывная одномерная стационарная система (рис. 5.10), описываемая дифференциальным уравнением


[math]a_nx^{(n)}(t)+ \ldots+a_0x(t)= b_mg^{(m)}(t)+ \ldots+ b_0g(t),[/math]
(5.42)

где [math]g(t)[/math] и [math]x(t)[/math] — входной и выходной сигналы; [math]m[/math] и [math]n[/math] — числа; [math]a_n,\ldots,a_n,~ b_m,\ldots,b_0[/math] — коэффициенты, не зависящие от времени;


в) начальные условия: [math]x(0)= x_0,\, \dot{x}(0)= \dot{x}_0,\, \ldots,\, x^{(n-1)}(0)= x_0^{(n-1)}[/math].


Требуется найти выходной сигнал [math]x(t)[/math].


Будем считать, что входной и выходной сигналы принадлежат пространству оригиналов, и применим преобразование Лапласа.


Выходной сигнал через свободное и вынужденное движение представляется с помощью формулы (5.41), которая может быть записана в форме


[math]x(t)= x_c(t)+ x_v(t)\cdot \boldsymbol{1}(t),[/math]

где функции [math]x_c(t),\, x_v(t)[/math] — и раз непрерывно дифференцируемы.


Обозначим [math]X(p)= L[x(t)],~ X_c(p)= L[x_c(t)],~ X_v(p)= L[x_v(t)][/math] — изображения по Лапласу выходного сигнала, свободного и вынужденного движения соответственно.


С использованием свойств преобразования Лапласа и (5.37) получаем:


[math]\begin{gathered}L[x_c^{(n)}(t)]= p^nX_c(p)-p^{n-1}x_0-\ldots-p x_0^{(n-2)}-x_0^{(n-1)},\\ L \bigl[\{x_v(t)\cdot \boldsymbol{1}(t)\}^{(n)}\bigr]= p^nX_v(p). \end{gathered}[/math]

Дифференцируя выражение для [math]x(t)[/math] с учетом двух последних равенств, имеем


[math]L[x^{(n)}(t)]= p^n \bigl[X_c(p)+ X_v(p)\bigr]-p^{n-1}x_0-\ldots-p x_0^{(n-2)}-x_0^{(n-1)}.[/math]

Так как [math]X(p)= X_c(p)+ X_v(p)[/math], то [math]L[x^{(n)}(t)]= p^n X(p)-p^{n-1}x_0-\ldots-p x_0^{(n-2)}-x_0^{(n-1)}[/math].


Используя (5.11),(5.10) при [math]\tau=0[/math], определение производной дельта-функции и [math]\boldsymbol{1}'(t)= \delta(t)[/math] (см. пример 5.10), можно получить равенство [math]L \bigl[\{g(t)\cdot \boldsymbol{1}(t)\}^{(m)}\bigr]= p^mG(p)[/math].


Найдем преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения [math]a_nx^{(n)}(t)+ \ldots+ a_0x(t)= b_m \bigl[g(t) \boldsymbol{1}(t)\bigr]^{(m)}+ b_0g(t) \boldsymbol{1}(t)\colon[/math]


[math]\begin{gathered}L \bigl[a_nx^{(n)}(t)+ \ldots+ a_0x(t)\bigr]= D(p)X(p)-D_h(p),\\ L \bigl[b_m \bigl[g(t) \boldsymbol{1}(t)\bigr]^{(m)}+ b_0g(t) \boldsymbol{1}(t)\bigr]= M(p)G(p), \end{gathered}[/math]

где [math]D(p)= a_np^n+ \ldots+a_0;~ M(p)= b_mp^m+ \ldots+b_0[/math];


[math]\begin{aligned}D_h(p)&= x_0(a_np^{n-1}+ \dots+ a_2p+a_1)+ \dot{x}_0(a_np^{n-2}+ \dots+ a_3p+a_2)+ \ldots+ x_0^{(n-2)}(a_np+a_{n-1})+ x_0^{(n-1)}a_n=\\ &= p^{n-1}a_nx_0+ p^{n-2}[a_n\dot{x}_0+ a_{n-1}x_0]+ \ldots+ [a_nx^{(n-1)}+ a_{n-1} x^{(n-2)}}+ \ldots+ a_2\dot{x}_0+ a_1x_0]. \end{aligned}[/math]

В результате получаем уравнение в изображениях, соответствующее (5.42): [math]D(p)X(p)-D_h(p)= M(p)G(p)[/math].


Обозначим [math]W(p)= \frac{M(p)}{D(p)}[/math]. Функция комплексного переменного [math]W(p)[/math] является передаточной функцией системы. С учетом обозначений запишем выражение для изображения выходного сигнала:


[math]X(p)= \frac{D_h(p)}{D(p)}+ \frac{M(p)}{D(p)}G(p)= \frac{D_h(p)}{D(p)}+ W(p)G(p)= X_c(p)+ X_v(p).[/math]

Если начальные условия нулевые, то [math]D_h(p)=0[/math] и выходной сигнал совпадает с вынужденным движением: [math]X(p)= W(p)G(p)[/math].




Алгоритм решения задачи анализа выходных процессов


1. Найти изображение входного сигнала: [math]\textstyle{G(p)= L[g(t)]= \int\limits_{0}^{+\infty} g(t)e^{-pt}dt}[/math], где [math]g(t)[/math] — сигнал; [math]G(p)[/math] — его изображение по Лапласу.


2. Найти передаточную функцию системы


[math]W(p)= \frac{b_mp^m+ \ldots+ b_1p+b_0}{a_np^n+ \ldots+ a_1p+ a_0}\,,[/math]
(5.43)

и если начальные условия ненулевые, то функции


[math]\begin{gathered}D(p)= a_np^n+ a_{n-1}p^{n-1}+ \ldots+a_0;\\ \begin{aligned} D_h(p)&= x_0(a_np^{n-1}+ \ldots+ a_2p+a_1)+ \dot{x}_0(a_np^{n-2}+ \ldots+ a_3p+a_2)+ \ldots+ x_0^{(n-2)}(a_np+a_{n-1})+ x_0^{(n-1)}a_n=\\ &= p^{n-1}a_nx_0+ p^{n-2}[a_n\dot{x}_0+ a_{n-1}x_0]+ \ldots+ [a_nx^{(n-1)}+ a_{n-1} x^{(n-2}}+ \ldots+ a_2\dot{x}_0+ a_1x_0]. \end{aligned} \end{gathered}[/math]
(5.44)

3. Определить изображение по Лапласу выходного сигнала по формуле


[math]X(p)= \frac{D_h(p)}{D(p)}+ W(p)G(p).[/math]
(5.45)

4. Найти выходной сигнал, используя обратное преобразование Лапласа [math]x(t)= L^{-1}[X(p)][/math].


Замечания 5.10


1. Функция [math]D(p)= a_np^n+ \ldots+ a_1p+ a_0[/math] является характеристическим многочленом. Передаточная функция определяется следующими двумя способами.


Первый способ. Передаточной функцией [math]W(p)[/math] стационарной линейной системы называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции [math]k(t)[/math], соответствующей уравнению (5.42): [math]W(p)= L[k(t)][/math]. Функция [math]k(t)[/math] находится по формуле (5.39).


Второй способ. Передаточной функцией [math]W(p)[/math] называется отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях: [math]W(p)= \frac{X(p)}{G(p)}[/math].


2. Первое слагаемое в (5.45) представляет собой изображение по Лапласу свободного движения (под действием ненулевых начальных условий и нулевом входном сигнале), а второе — вынужденного (под действием входного сигнала при нулевых начальных условиях).


3. Применяя свойства (5.11) и (5.19) преобразования Лапласа, можно получить установившиеся значения выходного сигнала и его производных по изображению [math]X(p)\colon[/math]


[math]x_y= \lim\limits_{t\to+\infty} x(t)= \lim\limits_{p\to0} pX(p),[/math]
(5.46)

[math]x_y^{(k)}= \lim\limits_{t\to+\infty} x^{(k)}(t)= \lim\limits_{p\to0} p^{k+1}\! \left[X(p)-\frac{x_y}{p}-\frac{\dot{x}_y}{p^2}-\ldots-\frac{x_y^{(k-1)}}{p^k}\right]\!,\quad k=1,2,\ldots[/math]

▼ Примеры 5.48-5.53

Пример 5.48. Найти реакцию динамической системы, описываемой уравнением [math]x=5g[/math], на линейный входной сигнал [math]g(t)= t\cdot \boldsymbol{1}(t)[/math] при нулевых начальных условиях.


▼ Решение

1. Найдем изображение входного сигнала [math]g(t)=t\colon\, G(p)= \frac{1}{p^2}[/math].


2. Запишем передаточную функцию: [math]W(p)= \frac{b_0}{a_0}= \frac{5}{1}=5[/math]. Так как начальные условия нулевые, то функция [math]D_h(p)=0[/math].


3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала: [math]X(p)= \frac{5}{p^2}[/math].


4. Найдем выходной сигнал: [math]x(t)= 5t,~ t>0[/math].


В теории автоматического регулирования и управления рассмотренная динамическая система называется усилительным звеном. Заметим, что уравнение, описывающее поведение динамической системы, не является дифференциальным.


Пример 5.49. Найти реакцию динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением [math]\dot{x}(t)= 4g(t)[/math], на входной сигнал [math]g(t)= \sin3t[/math] при нулевых начальных условиях.


▼ Решение

1. Найдем изображение входного сигнала: [math]G(p)= \frac{3}{p^2+9}[/math].

2. Запишем передаточную функцию: [math]W(p)= \frac{4}{p}[/math]. Функция [math]D_h(p)=0[/math], так как начальные условия нулевые.

3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:

[math]X(p)= W(p)\cdot G(p)= \frac{4}{p}\cdot \frac{3}{p^2+9}= \frac{4}{3p}-\frac{4p}{3(p^2+9)}\,.[/math]

4. Найдем выходной сигнал: [math]x(t)= L^{-1}[X(p)]= \frac{4}{3}(1-\cos3t).[/math].

В теории автоматического регулирования и управления рассмотренная система называется интегрирующим звеном.


Пример 5.50. Найти реакцию динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением [math]\dot{x}(t)+ x(t)= g(t)[/math] с начальным условием [math]x(0)= \frac{1}{2}[/math], на входной сигнал [math]g(t)= \boldsymbol{1}(t)[/math].


▼ Решение

1. Найдем изображение входного сигнала: [math]G(p)= \frac{1}{p}[/math].


2. При [math]n=1,~ a_1=1,~ a_0=1,~ x_0=\frac{1}{2}[/math] из (5.43),(5.44) находим передаточную функцию и функции [math]D(p)[/math] и [math]D_h(p)\colon[/math]


[math]W(p)= \frac{1}{p+1}\,,\qquad D(p)=p+1,\qquad D_h(p)=x_0\cdot a_1= \frac{1}{2}\,.[/math]

3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:


[math]X(p)= \frac{1}{\begin{gathered}2(p+1)\\ \Downarrow\\ X_c(p)\end{gathered}}+ \frac{1}{\begin{gathered}p(p+1)\\ \Downarrow\\ X_v(p)\end{gathered}}\,.[/math]

4. Найдем выходной сигнал:

[math]x(t)= \underbrace{\frac{1}{2}\,e^{-t}}_{x_c(t)}+ \underbrace{1-e^{-t}}_{x_v(t)}= 1-\frac{1}{2}\,e^{-t}.[/math]

Полученное решение совпадает с найденным в примере 5.30 п."а". В теории автоматического регулирования и управления рассмотренная система называется апериодическим звеном.


Пример 5.51. Найти реакцию динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением [math]\ddot{x}(t)-3\dot{x}(t)+ 2x(t)= g(t)[/math] с начальными условиями [math]x(0)=1,~ \dot{x}(0)=3[/math], на входной сигнал [math]g(t)= 2e^{3t}\cdot \boldsymbol{1}(t)[/math].


▼ Решение

1. Найдем изображение входного сигнала: [math]G(p)= \frac{2}{p-3}[/math].


2. При [math]n=2,~ a_2=1,~ a_1=-3,~ a_0=2[/math] из (5.43), (5.44) находим передаточную функцию и функции [math]D(p)[/math] и [math]D_h(p)\colon[/math]


[math]W(p)= \frac{1}{p^2-3p+2}\,,\quad D(p)= p^2-3p+2,\quad D_h(p)= x_0(a_1+ a_2p)+ \dot{x}_0a_2= 1\cdot (-3+p)+ 3\cdot1= p.[/math]

3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:


[math]\begin{aligned}X(p)&= \frac{p}{p^2-3p+2}+ \frac{2}{(p^2-3p+2)(p-3)}= \frac{p}{(p-1)(p-2)}+ \frac{2}{(p-1)(p-2)(p-3)}=\\ &=\underbrace{-\frac{1}{p-1}+\frac{2}{p-2}}_{X_c(p)}+ \underbrace{\frac{1}{p-1}-\frac{2}{p-2}+ \frac{1}{p-3}}_{X_v(p)}. \end{aligned}[/math]

4. Найдем выходной сигнал:

[math]x(t)= \underbrace{-e^t+2e^{2t}}_{x_c(p)}+ \underbrace{e^t-2e^{2t}+ e^{3t}}_{x_v(p)}= e^{3t}.[/math]

Полученное вынужденное движение совпадает с найденным в примере 5.45.


Пример 5.52. Найти реакцию динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением [math]\ddot{x}(t)-3\dot{x}(t)+ 2x(t)= \dot{g}(t)-g(t)[/math] с начальными условиями [math]x(0)=1,~ \dot{x}(0)=3[/math], на входной сигнал [math]g(t)= e^{3t}\cdot \boldsymbol{1}(t)[/math].


▼ Решение

1. Найдем изображение входного сигнала: [math]G(p)= \frac{1}{p-3}[/math].


2. Получим передаточную функцию: [math]W(p)= \frac{p-1}{p^2-3p+2}[/math] и функции


[math]D(p)= p^2-3p+2,\qquad D_h(p)= x_0(a_1+ a_2p)+ \dot{x}_0a_2= 1\cdot (-3+p)+ 3\cdot1=p.[/math]

3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:


[math]\begin{aligned}X(p)&= \frac{p}{p^2-3p+2}+ \frac{p-1}{(p^2-3p+2)(p-3)}= \frac{p}{(p-1)(p-2)}+ \frac{p-1}{(p-1)(p-2)(p-3)}=\\ &= \underbrace{-\frac{1}{p-1}+ \frac{2}{p-2}}_{X_c(p)}+ \underbrace{\frac{1}{p-3}-\frac{1}{p-2}}_{X_v(p)}. \end{aligned}[/math]

4. Найдем выходной сигнал:

[math]x(t)= \underbrace{2e^{2t}-e^t}_{x_c(p)}+ \underbrace{e^{3t}-e^{2t}}_{x_v(p)}= e^{3t}+ e^{2t}-e^t.[/math]

Полученное вынужденное решение совпадает с найденным в примере 5.46.


Пример 5.53. Найти реакцию динамической системы, описываемой уравнением

[math]\dddot{x}(t)+ 6\ddot{x}(t)+ 11\dot{x}(t)+ 6x(t)= \ddot{g}(t)+ 5\dot{g}(t)+ 6g(t)[/math]

с начальными условиями [math]x(0)=1,~ \dot{x}(0)=-3,~ \ddot{x}(0)=9[/math], на входной сигнал [math]g(t)= \boldsymbol{1}(t)[/math]. Определить установившиеся значения выходного сигнала и его производных.


▼ Решение

1. Найдем изображение по Лапласу входного сигнала: [math]G(p)= \frac{1}{p}[/math].


2. Получим передаточную функцию: [math]W(p)= \frac{p^2+5p+6}{p^3+ 6p^2+ 11p+6}[/math] и функции


[math]\begin{aligned}&D(p)= p^3+6p^2+11p+6= (p+1)(p+2)(p+3);\\[4pt] &\begin{aligned} D_h(p)&= x_0(a_1+ a_2p+ a_3p^2)+ \dot{x}_0(a_2+ a_3p)+ \ddot{x}_0a_3=\\ &= x_0(11+6p+p^2)+ \dot{x}_0(6+p)+ \ddot{x}_0= p^2+3p+2= (p+1)(p+2). \end{aligned}\end{aligned}[/math]

3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:


[math]X(p)= \frac{(p+1)(p+2)}{(p+1)(p+2)(p+3)}+ \frac{(p+2)(p+3)}{(p+1)(p+2)(p+3)}\cdot \frac{1}{p}= \frac{1}{p+3}+ \frac{1}{p(p+1)}\,.[/math]

По формулам (5.46) найдем установившиеся значения выходного сигнала и его производных. Так как


[math]X(p)= \frac{1}{p+3}+ \frac{1}{p(p+1)}= \frac{p^2+2p+3}{p(p+1)(p+3)}[/math], то

[math]\begin{aligned}x_y&= \lim\limits_{t\to+\infty} x(t)= \lim\limits_{p\to0} pX(p)= \lim\limits_{p\to0} p \frac{p^2+2p+3}{p(p+1)(p+3)}=1,\\[4pt] \dot{x}_y&= \lim\limits_{t\to+\infty} \dot{x}(t)= \lim\limits_{p\to0} p^2\! \left[X(p)- \frac{x_y}{p}\right]= \lim\limits_{p\to0} p^2\! \left[\frac{p^2+2p+3}{p(p+1)(p+3)}- \frac{1}{p}\right]=0,\\[4pt] \ddot{x}_y&= \lim\limits_{t\to+\infty} \ddot{x}(t)= \lim\limits_{p\to0} p^3\! \left[X(p)-\frac{x_y}{p}-\frac{\dot{x}_y}{p^2}\right]= \lim\limits_{p\to0} p^3\! \left[\frac{p^2+2p+3}{p(p+1)(p+3)}- \frac{1}{p}\right]=0. \end{aligned}[/math]

4. Найдем выходной сигнал: [math]x(t)= e^{-3t}+1-e^{-t}[/math]. Результат совпадает с полученным в примере 5.47.




Многомерные системы


Пусть заданы:


а) входной сигнал [math]g(t)= \begin{pmatrix}g_1(t)& \cdots& g_r(t)\end{pmatrix}^T[/math];


б) многомерная линейная непрерывная стационарная динамическая система (рис. 5.11), поведение которой описывается:

уравнением состояния

[math]\dot{x}(t)= Ax(t)+ Bg(t),[/math]
(5.47)

уравнением выхода

[math]y(t)= C\cdot x(t),[/math]
(5.48)

где [math]x[/math] — n-мерный вектор состояния; [math]g[/math] — r-мерный вектор входа; [math]y[/math] — k-мерный вектор выхода; [math]A,\,B,\,C[/math] — матрицы размера [math](n\times n),\, (n\times r),\, (k\times n)[/math] соответственно;


в) начальные условия:

[math]x(0)= x_0= \begin{pmatrix}x_{10}& \cdots& x_{n0}\end{pmatrix}^T.[/math]
(5.49)

Требуется найти законы изменения вектора состояния [math]x(t)[/math] и вектора выхода [math]y(t)[/math].


Предположим, что каждая компонента входного и выходного сигналов, а также вектора состояния принадлежит пространству оригиналов. Применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнений состояния и выхода (5.47),(5.48), имеем


[math]p\,X(p)-x_0= A\cdot X(p)+ B\cdot G(p),\quad Y(p)= C\vdot X(p),[/math]

где [math]X(p)= L[x(t)],~ Y(p)= L[y(t)],~ G(p)= L[g(t)][/math] — изображения по Лапласу векторов состояния, выхода и входа. Отсюда


[math]\begin{aligned}X(p)&= [p\cdot E-A]^{-1}\cdot x_0+ [p\cdot E-A]^{-1}\cdot B\cdot G(p),\\ Y(p)&= C\cdot [p\cdot E-A]^{-1}\cdot x_0+ C\cdot [p\cdot E-A]^{-1}\cdot B\cdot G(p). \end{aligned}[/math]

Обозначим [math]W^x(p)= [p\cdot E-A]^{-1}\cdot B,~ W^y(p)= C\cdot [p\cdot E-A]^{-1}\cdot B[/math]. Функции комплексного переменного [math]W^x(p),~ W^y(p)[/math] являются передаточными функциями системы по состоянию и выходу. С учетом введенных обозначений


[math]\begin{aligned}X(p)&= [p\cdot E-A]^{-1}\cdot x_0+ W^x(p)\cdot G(p),\\ Y(p)&= C\cdot [p\cdot E-A]^{-1}\cdot x_0+ W^y(p)\cdot G(p). \end{aligned}[/math]



Алгоритм решения задачи для многомерных систем


1. Найти изображение входного сигнала:

[math]G(p)= L[g(t)]= \int\limits_{0}^{+\infty} g(t)e^{-pt}dt\,,[/math]

где [math]g(t)[/math] — r-мерный входной сигнал; [math]G(p)[/math] — r-мерный вектор его изображений по Лапласу.


2. Найти матрицы [math][pE-A]^{-1},~ C\,[pE-A]^{-1}[/math] и передаточные функции по формулам (где [math]E[/math] — единичная матрица):


[math]W^x(p)= [pE-A]^{-1}B,\qquad W^y(p)= C\,[pE-A]^{-1}B.[/math]

3. Определить изображение по Лапласу законов изменения векторов состояния и выхода:


[math]\begin{gathered}X(p)= [pE-A]^{-1}x_0+ W^x(p)G(p),\\ Y(p)= C\,[pE-A]^{-1}x_0+ W^y(p)G(p). \end{gathered}[/math]
(5.50)

4. Найти законы изменения векторов состояния и выхода с помощью об- ' ратного преобразования Лапласа:


[math]x(t)= L^{-1}[X(p)],\qquad y(t)= L^{-1}[Y(p)].[/math]

Замечания 5.11


1. Первые слагаемые в (5.50) представляют собой изображения по Лапласу свободного движения (под действием ненулевых начальных условий и при нулевом входном сигнале), а вторые — вынужденного (под действием входного сигнала при нулевых начальных условиях).

2. Передаточная функция [math]W^x(p)[/math] по состоянию и передаточная функция [math]W^y(p)[/math] по выходу представляются матрицами размера [math](n\times r),~ (k\times r)[/math] соответственно. Они определяются как преобразования Лапласа соответствующих импульсных переходных функций.


▼ Примеры 5.54-5.55

Пример 5.54. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы: [math]\begin{cases}\dot{x}_1= x_1+2x_2+g,\\ \dot{x}_2= 2x_1+x_2,\end{cases} y=x_1+x_2,[/math] с начальными условиями [math]x_1(0)=1,~ x_2(0)=-1[/math] при входном сигнале [math]g(t)= e^t \boldsymbol{1}(t)[/math].


▼ Решение

Перепишем уравнения системы в матричной форме:


[math]\frac{d}{dt}\! \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\end{pmatrix}}_{A}\!\! \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}+ \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}}_{B}\! g,\qquad y= \underbrace{\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}_{C}\!\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}\!.[/math]

Здесь [math]n=1,~ r=1,~ k=1[/math].


1. Найдем изображение входного сигнала [math]G(p)= \frac{1}{p-1}[/math].

2. Получим передаточные функции


[math]\begin{aligned}\, [pE-A]&= \begin{pmatrix}p-1&-2\\-2&p-1\end{pmatrix}\!,\\[4pt] \det[pE-A]&= \begin{vmatrix}p-1&-2\\-2&p-1 \end{vmatrix}= p^2-2p-3= (p-3)(p+1);\\[4pt] [pE-A]^{-1}&= \frac{1}{(p-3)(p+1)}\! \begin{pmatrix}p-1&2\\ 2&p-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)}& \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}& \dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)} \end{pmatrix}\!,\\[4pt] C\,[pE-A]^{-1}&= \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\![pE-A]^{-1}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{p-3}& \dfrac{1}{p-3}\end{pmatrix}\!,\\[4pt] W^x(p)&= [pE-A]^{-1}B= [pE-A]^{-1}\! \begin{pmatrix}1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}\end{pmatrix}\!,\\[4pt] W^y(p)&= C\,[pE-A]^{-1} B= \begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\! [pE-A]^{-1}\! \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}= \frac{1}{p-3}\,. \end{aligned}[/math]

3. По формулам (5.50) определим изображения законов изменения векторов состояния и выхода:


[math]\begin{aligned}X(p)&= \begin{pmatrix} \dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)}& \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}& \dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)} \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\dfrac{p-1}{(p-3)(p+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{(p-3)(p+1)}\end{pmatrix}\! \frac{1}{p-1}=\\ &= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{p+1}\\[9pt] \dfrac{-1}{p+1}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\dfrac{1}{(p-3)(p+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{(p-3)(p+1)(p-1)}\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} \dfrac{1}{p+1}\\[9pt] \dfrac{-1}{p+1}\end{pmatrix}}_{X_c(p)}+ \frac{1}{4}\! \underbrace{ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{p-3}-\dfrac{1}{p+1}\\[9pt] \dfrac{1}{p-3}-\dfrac{2}{p-1}+ \dfrac{1}{p+1}\end{pmatrix}}_{X_v(p)}\!,\\[4pt] Y(p)&= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{p-3}& \dfrac{1}{p-3}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\-1 \end{pmatrix}+ \dfrac{1}{p-3}\cdot \dfrac{1}{p-1}= \dfrac{1}{p-3}\cdot \dfrac{1}{p-1}= \dfrac{1}{2(p-3)}-\dfrac{1}{2(p-1)}\,. \end{aligned}[/math]

4. Искомые законы изменения векторов состояния и выхода:


[math]\begin{aligned}x(t)&= \underbrace{\begin{pmatrix} e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}}_{x_c(t)}+ \frac{1}{4}\! \underbrace{\begin{pmatrix}e^{3t}-e^{-t}\\ e^{3t}-2e^{t}+e^{-t} \end{pmatrix}}_{x_v(t)}= \begin{pmatrix}0,\!25e^{3t}+ 0,\!75e^{-t}\\ 0,\!25e^{3t}-0,\!5e^{t}-0,\!75e^{-t} \end{pmatrix}\!,\\[4pt] y(t)&= L^{-1}[Y(p)]= 0,\!5e^{3t}-0,\!5e^{t}. \end{aligned}[/math]

Пример 5.55. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы [math]\begin{cases}\dot{x}_1=-x_2+g_1,\\ \dot{x}_2= x_1+g_2,\end{cases} \begin{matrix}y_1=x_2,\\ y_2= x_1+0,\!5x_2\end{matrix}[/math] с начальными условиями [math]x_1(0)=-1,~ x_2(0)=0[/math] при входном сигнале [math]g_1(t)=2\cdot \boldsymbol{1}(t),~ g_2(t)= \boldsymbol{1}(t)[/math].


▼ Решение

Перепишем уравнение системы в матричной форме:


[math]\frac{d}{dt}\! \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}}_{A}\!\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}+ \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}}_{B}\!\! \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\end{pmatrix}\!,\qquad y= \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0,\!5\end{pmatrix}}_{C}\!\! \!\!\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\!.[/math]

1. Определим изображение входного сигнала [math]g(t)= \begin{pmatrix}g_1(t)\\ g_2(t) \end{pmatrix}\!\colon\, G(p)= \begin{pmatrix}\dfrac{2}{p}& \dfrac{1}{p}\end{pmatrix}^T[/math].


2. Получим передаточные функции:


[math]\begin{aligned}\, [pE-A]&= \begin{pmatrix}p&1\\-1&p\end{pmatrix}\!,\qquad [pE-A]^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{p}{p^2+1}& \dfrac{-1}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\end{pmatrix}\!,\\ C\,[pE-A]^{-1}&= \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0,\!5\end{pmatrix}\! [pE-A]^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{p+0,\!5}{p^2+1}& \dfrac{0,\!5p-1}{p^2+1}\end{pmatrix}\!, \\ W^x(p)&= [pE-A]^{-1}B= [pE-A]^{-1}\! \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{p}{p^2+1}& \dfrac{-1}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\end{pmatrix}\!,\\ W^y(p)&= C\,[pE-A]^{-1}B= \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0,\!5 \end{pmatrix}\! [pE-A]^{-1}\! \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{p+0,\!5}{p^2+1}& \dfrac{0,\!5p-1}{p^2+1} \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

3. По формулам (5.50) найдем изображения законов изменения векторов состояния и выхода:


[math]\begin{aligned} &\begin{aligned}X(p)&= \begin{pmatrix}\dfrac{p}{p^2+1}& \dfrac{-1}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\dfrac{p}{p^2+1}& \dfrac{-1}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1} \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}\dfrac{2}{p}\\[9pt] \dfrac{1}{p}\end{pmatrix}=\\ &= \underbrace{\begin{pmatrix} \dfrac{-p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{-1}{p^2+1} \end{pmatrix}}_{X_c(p)}+ \underbrace{\begin{pmatrix}\dfrac{2p-1}{p(p^2+1)}\\[9pt] \dfrac{2+p}{p(p^2+1)} \end{pmatrix}}_{X_v(p)}= \begin{pmatrix}\dfrac{-p^2+2p-1}{p(p^2+1)}\\[9pt] \dfrac{2}{p(p^2+1)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{-1}{p}+\dfrac{2}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{2}{p}-\dfrac{2p}{p^2+1} \end{pmatrix}\!,\end{aligned}\\ &Y(p)= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{p+0,\!5}{p^2+1}& \dfrac{0,\!5p-1}{p^2+1} \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}-1\\[4pt] 0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{p^2+1}& \dfrac{p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{p+0,\!5}{p^2+1}& \dfrac{0,\!5p-1}{p^2+1} \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}\dfrac{2}{p}\\[9pt] \dfrac{1}{p}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{2}{p(p^2+1)}\\[9pt] \dfrac{2-p}{p^2+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{2}{p}-\dfrac{2p}{p^2+1}\\[9pt] \dfrac{2}{p^2+1}-\dfrac{p}{p^2+1} \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

4. Искомые законы изменения векторов состояния и выхода:


[math]\begin{aligned}x(t)&= L^{-1}[X(p)]= \underbrace{\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}_{x_c(t)}+ \underbrace{\begin{pmatrix}-1+2\sin t+\cos t\\ 2+\sin t-2\cos t\end{pmatrix}}_{x_v(t)}= \begin{pmatrix}-1+2\sin t\\ 2-2\cos t\end{pmatrix}\!,\\ y(t)&= L^{-1}[Y(p)]= \begin{pmatrix}2-2\cos t\\ 2\sin t-\cos t\end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Найденный закон изменения вектора состояния [math]x(t)[/math] совпадает с полученным в примере 5.37.




Анализ устойчивости динамических систем


1. Одномерные системы


Пусть заданы:


а) одномерная линейная непрерывная стационарная динамическая система, поведение которой описывается дифференциальным уравнением (5.35):


[math]a_nx^{(n)}(t)+ \ldots+ a_0x(t)= b_mg^{(m)}(t)+ \ldots+ b_0g(t);[/math]
(5.51)

б) начальные условия: [math]x(0)= x_0,~ \dot{x}(0)= \dot{x}_0,~ \ldots,~ x^{(n-1)}(0)= x_0^{(n-1)}[/math].


Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой. В соответствии с принципом суперпозиции выходной сигнал системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений: [math]x(t)= x_c(t)+ x_v(t)[/math].


Динамическая система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение [math]x_c(t)[/math] ограничено при всех [math]t\in[t_0, +\infty)[/math] и [math]\lim\limits_{t\to+\infty} x_c(t)=0[/math].




Критерий устойчивости динамической системы


Для асимптотической устойчивости динамической системы (5.51) необходим! и достаточно, чтобы корни р: характеристического уравнения


[math]a_np^n+ a_{n-1}p^{n-1}+ \ldots+a_0=0[/math]
(5.52)

имели отрицательные действительные части: [math]\operatorname{Re}p_i<0,~ i=1,2,\ldots,n[/math], т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 5.12).


Замечания 5.12


1. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения (5.52) можно использовать критерий Рауса-Гурвица:


Для устойчивости системы (5.51) необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры [math]\Delta_i[/math] матрицы


[math]\begin{pmatrix}a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& \cdots& 0\\ a_{n}& a_{n-2}& a_{n-4}& \cdots& 0\\ 0& a_{n-1}& a_{n-3}& \cdots& 0\\ 0& a_{n}& a_{n-2}& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& a_0 \end{pmatrix}[/math]

были положительны: [math]\Delta_i>0,~ i=1,2,\ldots,n[/math], где [math]\Delta_1= a_{n-1},~ \Delta_2= \begin{pmatrix}a_{n-1}& a_{n-3}\\ a_n& a_{n-2}\end{pmatrix}[/math] и т.д.


При заполнении этой квадратной матрицы порядка [math]n[/math] отсутствующие в уравнении (5.52) коэффициенты [math]a_{n-i}[/math] и [math]a_i[/math] при [math]i>n[/math] заменяются нулями.


Критерий Рауса-Гурвица называется косвенным, так как в этом случае процедура анализа устойчивости не требует нахождения корней уравнения (5.52).


2. Корни характеристического уравнения (5.52) являются полюсами передаточной функции (5.43).


▼ Пример 5.56
Исследовать устойчивость динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями:
а) [math]3\dot{x}+x=g[/math];
б) [math]4\dot{x}-x=g[/math];
в) [math]\ddot{x}+2\dot{x}+x=g[/math];
г) [math]\ddot{x}+ 2\dot{x}-x=g[/math];
д) [math]\dddot{x}-2\dot{x}+4x=g[/math];
е) [math]\dddot{x}+ 4\ddot{x}+ 6\dot{x}+4x=g[/math];
ж) [math]\dddot{x}+ \ddot{x}+ 4\dot{x}+ 4x=g[/math].

Решение. Для решения задачи применим критерий асимптотической устойчивости.


а) Характеристическое уравнение [math]D(p)=3p+1=0[/math] имеет отрицательный корень [math]p=-1\!\!\not{\phantom{|}}\,3[/math], лежащий в левой полуплоскости. Согласно критерию система асимптотически устойчива.


б) Характеристическое уравнение [math]D(p)=4p-1=0[/math] имеет положительный корень [math]p=1\!\!\not{\phantom{|}}\,4[/math], лежащий в правой полуплоскости. Согласно критерию система не является асимптотически устойчивой.


в) Характеристическое уравнение [math]D(p)= p^2+2p+1=0[/math] имеет отрицательный (кратный) корень [math]p=-1[/math], лежащий в левой полуплоскости. Согласно критерию система асимптотически устойчива.


г) Характеристическое уравнение [math]D(p)= p^2+2p-1=0[/math] имеет два корня: [math]p_1=-1+ \sqrt{2}>0,~ p_2=-1-\sqrt{2}<0[/math], один из которых положительный, лежащий в правой полуплоскости. Согласно критерию система не является асимптотически устойчивой.


д) Характеристическое уравнение [math]D(p)= p^3-2p+4= (p^2-2p+2)(p+2)=0[/math] имеет корни: [math]p_1=-2,[/math] [math]p_2=1+I,[/math] [math]p_3=1-i[/math]. Так как корни [math]p_2[/math] и [math]p_3[/math] лежат в правой полуплоскости, то система не является асимптотически устойчивой.


е) Характеристическое уравнение [math]D(p)= p^3+4p^2+6p+4= (p^2+2p+2)(p+2)=0[/math] имеет корни: [math]p_1=-2,[/math] [math]p_2=-1+i,[/math] [math]p_3=-1-i[/math]. Так как все корни лежат в левой полуплоскости, то система является асимптотически устойчивой.


Решим эту задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица. Составим матрицу и вычислим угловые миноры:


[math]\begin{pmatrix}4&4&6\\ 1&6&0\\ 0&4&4 \end{pmatrix}\!,\qquad \Delta_1=4>0,\qquad \Delta_2=20>0,\qquad \Delta_3=80>0.[/math]

Так как все угловые миноры положительны, то система является асимптотически устойчивой.


ж) Характеристическое уравнение [math]D(p)= p^3+p^2+ 4p+4= (p^2+4)(p+1)[/math] имеет корни: [math]p_1=-1,[/math] [math]p_2=2i,[/math] [math]p_3=-2i[/math]. Так как корни [math]p_2[/math] и [math]p_3[/math] не лежат в левой полуплоскости, то система не является асимптотически устойчивой.


Решим задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица. Составим матрицу и вычислим угловые миноры:


[math]\begin{pmatrix}1&4&0\\ 1&4&0\\ 0&1&4 \end{pmatrix}\!,\qquad \Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=0,\qquad \Delta_3=0.[/math]

Так как не все угловые миноры положительны, то система не является асимптотически устойчивой.


Для анализа устойчивости можно применять частотные критерии устойчивости, не требующие нахождения корней характеристического уравнения. Их использование требует построения годографов частотной характеристики или характеристического многочлена.




Частотная характеристика стационарной линейной системы


Частотной характеристикой [math]W(i \omega)[/math] стационарной линейной системы называется преобразование Фурье импульсной переходной функции [math]k(t)[/math], соответствующей уравнению (5.42):


[math]W(i \omega)= F[k(t)]= \int\limits_{0}^{+\infty} k(t) e^{-i\,\omega\,t}dt\,.[/math]
(5.53)

Частотная характеристика является комплекснозначной функцией действительного аргумента [math]\omega[/math] — частоты, изменяющейся в промежутке от 0 до [math]+\infty[/math], и может быть представлена в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:


[math]W(i \omega)= A(\omega)e^{i\, \varphi(\omega)}= A(\omega) \bigl[\cos \varphi(\omega)+ i\sin \varphi(\omega)\bigr]= U(\omega)+ i\,V(\omega),[/math]
(5.54)

где [math]A(\omega),\, \varphi(\omega)[/math] — амплитудная и фазовая частотные характеристики:


[math]A(\omega)= |W(i \omega)|= \sqrt{U^2(\omega)+ V^2(\omega)},\quad \varphi(\omega)= \begin{cases}\operatorname{arctg} \dfrac{V(\omega)}{U(\omega)}& \text{dlya I i IV chetvertey},\\[8pt] \operatorname{arctg} \dfrac{V(\omega)}{U(\omega)}+\pi& \text{dlya II chetverti},\\[8pt] \operatorname{arctg} \dfrac{V(\omega)}{U(\omega)}-\pi& \text{dlya III chetverti}. \end{cases}[/math]

где [math]U(\omega),\, V(\omega)[/math] — вещественная и мнимая частотные характеристики.


Частотная характеристика [math]W(i \omega)[/math] изображается годографом в координатах [math]U,\,V[/math] или в полярных координатах [math]A,\,\varphi[/math], который называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис. 5.13).


Частотная характеристика [math]W(i \omega)[/math] связана с передаточной функцией [math]W(p)[/math], определяемой по формуле (5.43), соотношением


[math]W(i \omega)= \Bigl.{W(p)}\Bigr|_{p=i \omega}= \left.{\frac{b_mp^m+ \ldots+b_0}{a_np^n+ \ldots+a_0}}\right|_{p=i \omega}.[/math]
(5.55)

▼ Пример 5.57

Изобразить частотные характеристики динамических систем, описываемых следующими уравнениями:

a) [math]x(t)= 5g(t)[/math];

б) [math]x(t)= \dot{g}(t)[/math];

в) [math]\dot{x}(t)= g(t)[/math];

г) [math]2\dot{x}(t)+ x(t)= 2g(t)[/math];

д) [math]\dddot{x}(t)+ 3\ddot{x}(t)+ 3\dot{x}(t)= 3g(t)[/math].


Решение. а) Согласно (5.54), (5.55) имеем [math]W(p)=5;~ W(i \omega)=5;~ A(\omega)=5,~ \varphi(\omega)=0,~ U(\omega)=5,~ V(\omega)=0[/math].


Полученные частотные характеристики изображены на рис. 5.14.


б) По дифференциальному уравнению [math]x(t)= \dot{g}(t)[/math] найдем передаточную пункцию [math]W(p)=p[/math] и связанные с ней частотные характеристики:


[math]W(i \omega)= i \omega= \omega \exp\! \left(i\,\frac{\pi}{2}\right)\!;\quad A(\omega)= \omega,\quad \varphi(\omega)= \frac{\pi}{2},\quad U(\omega)=0,\quad V(\omega)=\omega.[/math]

Полученные частотные характеристики изображены на рис. 5.15. Точка [math]U(\omega)=0,~ V(\omega)=0[/math] соответствует значению [math]\omega=0[/math].


в) По дифференциальному уравнению [math]\dot{x}(t)= g(t)[/math] найдем передаточную функцию [math]W(p)=\frac{1}{p}[/math] и связанные с ней частотные характеристики:


[math]W(i \omega)= \frac{1}{i \omega}=\frac{-i}{i \omega}= \frac{1}{\omega}\\exp\! \left(-i\,\frac{\pi}{2}\right)\!;\quad A(\omega)= \frac{1}{\omega},\quad \varphi(\omega)=-\frac{\pi}{2},\quad U(\omega)=0,\quad V(\omega)=-\frac{1}{\omega}.[/math]

Полученные частотные характеристики изображены на рис. 5.16. Точка [math]U(\omega)=0,~ V(\omega)=0[/math] соответствует значению [math]\omega=+\infty[/math].


г) По дифференциальному уравнению [math]2\dot{x}(t)+ x(t)= 2g(t)[/math] найдем передаточную функцию [math]W(p)= \frac{2}{2p+1}[/math] и связанные с ней частотные характеристики


[math]\begin{gathered}W(i \omega)= \frac{2}{2i \omega+1}= \frac{2(1-2i \omega)}{1+4 \omega^2}= \frac{2}{1+4 \omega^2}-i\,\frac{4 \omega}{1+4 \omega^2}\,;\\ U(\omega)=\frac{2}{1+4 \omega^2},\qquad V(\omega)=-\frac{4\omega}{1+4 \omega^2}<0,\\ A(\omega)= \sqrt{\frac{4+16 \omega^2}{(1+4 \omega^2)^2}}= \frac{2}{\sqrt{1+4 \omega^2}},\qquad \varphi(\omega)=-\operatorname{arctg}2\omega. \end{gathered}[/math]

Искомые частотные характеристики изображены на рис. 5.17. Заметим, что амплитудно-фазовая частотная характеристика представляется графиком нижней полуокружности, так как [math]V(\omega)<0[/math] и [math](U-1)^2+ V^2=1[/math].


д) По дифференциальному уравнению [math]\dddot{x}(t)+ 3\ddot{x}(t)+ 3\dot{x}(t)= 3g(t)[/math] найдем передаточную функцию [math]W(p)= \frac{3}{p^3+3p^2+3p}[/math] и связанные с ней частотные характеристики:


[math]\begin{gathered}W(i \omega)= \frac{3}{i \omega^3-3 \omega^2+ 3i \omega}=-\frac{9}{9 \omega^2+ (3-\omega^2)^2}-i\,\frac{3(3-\omega^2)}{9 \omega^3+ \omega(3-\omega^2)^2}\,;\\ U(\omega)=-\frac{9}{9 \omega^2+ (3-\omega^2)^2},\qquad V(\omega)=-\frac{3(3-\omega^2)}{9 \omega^3+ \omega(3-\omega^2)^2}\,. \end{gathered}[/math]

амплитудно-фазовая характеристика показана на рис. 5.18. Заметим, что


[math]\lim\limits_{\omega\to+\infty} U(\omega)= \lim\limits_{\omega\to+\infty} V(\omega)=0[/math] и [math]\lim\limits_{\omega\to0} V(\omega)=-\infty,~~ \lim\limits_{\omega\to0} U(\omega)=-1[/math].

Для анализа устойчивости одномерных линейных непрерывных стационарах динамических систем используется критерий Михайлова.




Критерий Михайлова устойчивости динамической системы


Для асимптотической устойчивости динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением


[math]a_nx^{(n)}(t)+\ldots+a_0x(t)= b_mg^{(m)}(t)+\ldots+b_0g(t),[/math]

необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлен [math]D(i \omega)= \Bigl.{a_np^n+\ldots+a_0}\Bigr|_{p=i \omega}[/math] при изменении частоты [math]\omega[/math] от 0 до [math]+\infty[/math] охватывая начало координат на угол [math]\varphi= \frac{\pi}{2}n[/math], где [math]n[/math] — порядок характеристического многочлена.


Алгоритм применения критерия Михайлова


1. Определить порядок я характеристического многочлена [math]D(i \omega)[/math].

2. Построить на комплексной плоскости годограф многочлена [math]D(i \omega)[/math] при изменении частоты [math]\omega[/math] от 0 до [math]+\infty[/math].

3. Вычислить величину [math]\varphi[/math] угла, на который годограф охватывает начало ко ординат: [math]\varphi= \Delta \mathop{\operatorname{Arg}}\limits_{0\leqslant \omega<+\infty} D(i \omega)[/math].

4. Проверить выполнение условия [math]\varphi= \frac{\pi}{2}n[/math]. Если условие выполнено, то система асимптотически устойчива, если нет — неустойчива. Если годограф характеристического многочлена проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости (оставаясь неустойчивой). На рис. 5.19 приведены примеры годографов характеристических многочленов устойчивых систем.


▼ Примеры 5.58-5.59

Пример 5.58. Найти все положительные значения коэффициента усиления [math]K[/math], при которых динамическая система, описываемая уравнением [math]\dddot{x}+ 2\ddot{x}+ 3\dot{x}+ (K+2)x= K\,g[/math], асимптотически устойчива.


▼ Решение

1. Характеристический многочлен [math]D(i \omega)= \Bigl.{p^3+ 2p^2+ 3p+K+2}\Bigr|_{p=i \omega}[/math] является многочленом 3-й степени, т.е. [math]n=3[/math].


2. Построим годограф этого многочлена, вычислив значения [math]D(i \omega)= K+2-2 \omega^2+ i \omega(3-\omega^2)[/math] при некоторых частотах [math]\omega[/math] (рис. 5.20).


3. Как видим, при [math]K\in (0;4)[/math] годограф проходит последовательно через I, II, III четверти, охватывая начало координат на угол [math]\varphi=\frac{3\pi}{2}[/math]. При [math]K\in (4;+\infty)[/math] годограф проходит через I, IV, III четверти, а [math]\varphi=-\frac{\pi}{2}[/math].


4. Таким образом, система будет устойчивой при всех [math]K\in (0;4)[/math].


Пример 5.59. Исследовать на устойчивость системы, описываемые дифференциальными уравнениями:

а) [math]2\dot{x}(t)+ x(t)=2g(t)[/math];

б) [math]\dddot{x}+3\ddot{x}+3\dot{x}= 3g[/math].


▼ Решение

а) Решим первую задачу, следуя алгоритму.


1. Характеристический многочлен [math]D(i \omega)= \Bigl.{2p+1}\Bigr|_{p=i \omega}=2i \omega+1[/math] является многочленом первой степени, т.е. [math]n=1[/math].


2. На рис. 5.21,0 изображен годограф [math]D(i \omega)=1+i\,2\omega[/math], так как [math]\operatorname{Re}D(i \omega)=1,~ \operatorname{Im}D(i \omega)=2\omega[/math].


3,4. Очевидно, [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] при изменении [math]\omega[/math] от 0 до [math]+\infty[/math], что удовлетворяет условию [math]\varphi= \frac{\pi}{2}n[/math] при [math]n=1[/math]. Поэтому система асимптотически устойчива.


б) Решим вторую задачу, следуя алгоритму.


1. Характеристический многочлен [math]D(i \omega)= \Bigl.{p^3+3p^2+3p}\Bigr|_{p=i \omega}[/math] является многочленом третьей степени, т.е. [math]n=3[/math].


2. Годограф характеристического многочлена изображен на рис. 5.21 (б), так как [math]D(i \omega)=-3 \omega^2+i \omega\,(3-\omega^2)[/math].


3,4. Угол [math]\varphi= \Delta \mathop{\operatorname{Arg}}\limits_{0 \leqslant \varphi <+\infty} D(i \omega)= \pi\ne \frac{\pi}{2}n[/math] при [math]n=3[/math]. Поэтому система не является асимптотически устойчивой.




Многомерные динамические системы


а) линейная многомерная непрерывная стационарная система, описываемая уравнением состояния (5.47):


[math]\dot{x}(t)= A\,x(t)+ B\,g(t),[/math]
(5.56)

где [math]x[/math] — n-мерный вектор состояния; [math]g[/math] — r-мерный вектор входа; [math]A,\,B[/math] — матрицы размера [math](n\times n),\,(n\times r)[/math] соответственно;


б) начальное условие [math]x(0)=x_0[/math]. Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой.


Динамическая система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение [math]x_c(t)[/math] (при [math]g(t)\equiv0[/math]) ограничено при ограниченных начальных состояниях [math]x_0[/math] и выполняется условие [math]\lim\limits_{t\to+\infty} \|x_c(t)\|=0[/math], где [math]\|x\|[/math] — какая-либо норма вектора [math]x[/math], например, [math]\textstyle{\|x\|= \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2}}[/math].




Критерий устойчивости многомерной динамической системы


Для асимптотической устойчивости многомерной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы корни [math]p_i[/math] характеристического уравнения


[math]\det(A-pE)=0[/math]
(5.57)

имели отрицательные действительные части: [math]\operatorname{Re}p_i<0,~ i=1,2,\ldots,n[/math], т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (см. рис. 5.12).


Замечание 5.13. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения (5.57) можно использовать критерий Рауса-Гурвица (см. п.1 замечаний 5.12).


Пример 5.60. Исследовать устойчивость динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями:

а) [math]\begin{cases}\dot{x}_1= x_1+2x_2,\\ \dot{x}_2= 4x_1+3x_2+g_1;\end{cases}[/math] 6) [math]\begin{cases}\dot{x}_1=x_2,\\ \dot{x}_2=-x_1-2x_2+g_1;\end{cases}[/math] в) [math]\begin{cases}\dot{x}_1=-x_2+g_1,\\ \dot{x}_2=x_1+g_2.\end{cases}[/math]


▼ Решение

Для решения задачи применим критерий асимптотической устойчивости.


а) Здесь [math]A= \begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}[/math]. Характеристическое уравнение [math]\begin{vmatrix}1-p&2\\ 4&3-p\end{vmatrix}=0[/math] или [math]p^2-4p-5=0[/math] имеет действительные корни разных знаков: [math]p_1=5>0,~ p_2=-1<0[/math]. Так как корень [math]p_1[/math] лежит в правой полуплоскости, система не является асимптотически устойчивой.


б) Здесь [math]A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-2\end{pmatrix}[/math]. Характеристическое уравнение [math]\begin{vmatrix}-p&1\\-1&-2-p\end{vmatrix}=0[/math] или [math]p^2+2p+1=0[/math] имеет отрицательный корень (кратности 2): [math]p_{1,2}=-1[/math]. Так как корень лежит в левой полуплоскости, система является асимптотически устойчивой.


в) Перепишем уравнения системы в матричной форме:


[math]\frac{d}{dt}\! \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}}_{A}\!\! \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}+ \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}}_{B}\!\! \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\end{pmatrix}\!.[/math]

Найдем корни характеристического уравнения. Получим: [math]\begin{vmatrix}-p&-1\\1&-p \end{vmatrix}=0\quad \Rightarrow\quad p^2+1=0.[/math].


Отсюда [math]p_1=i,~ p_2=-i[/math]. Так как корни не лежат в левой полуплоскости, система не является асимптотически устойчивой.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved