Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Дадим сначала неформальную мотивировку той конструкции, которая будет приведена ниже. Будем рассматривать МП-автомат как "игрока", ставящего цели следующего вида: "находясь в состоянии $q$ и имея верхний символ магазина $Z$ , перейти в состояние $s$ ". Условимся записывать такую цель в виде тройки $[qZs]$ . Как может наш "игрок" достичь поставленной цели? Если во множестве команд автомата ("правил игры") есть команда $qaZ\to rX_1X_2\ldots X_k,$ где для каждого $i$ имеем $X_i$ — магазинный символ $(X_i\in \Gamma)$ , то после выполнения этой команды МП-автомат перейдет в состояние $r$ . Если $r=s$ , то цель достигнута, иначе ставим цель $[rX_1s_1]$ , а достигнув ее, ставим цель $[s_1X_2s_2]$ и т.д. Достигнув цели $[s_{k-1}X_ks]$ , "игрок" достигает и цели $[qZs]$ . Так как рассматривается допуск с пустым магазином, то символы $X_i$ должны по очереди покинуть магазин, и только в этом случае может быть достигнута "глобальная" цель МП-автомата: $[q_0Zq_f],~q_f\in F$ ("находясь в начальном состоянии и имея верхним символом магазина начальный магазинный символ, попасть в одно из заключительных состояний, опустошив магазин"). Так как, вообще говоря, "игрок" не знает наперед последовательности состояний $s_1,s_2,\ldots,s_{k-1}$ , ведущих к цели, он должен перебрать все такие последовательности. Эти неформальные соображения лежат в основе следующей конструкции. Пусть дан МП-автомат $M=(Q,V,\Gamma,q_0,F,Z_0,\delta)$ . Определим КС-грамматику $G_M=(V,N,S,P)$ , терминальный алфавит которой совпадает со входным алфавитом МП-автомата $M$ , следующим образом. Нетерминальный алфавит $N$ грамматики есть множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех упорядоченных троек вида $(q,Z,s)$ , где $q,s\in Q,~Z\in\Gamma$ , пополненное символом $S$ , не принадлежащим ни одному из множеств $Q,V,\Gamma$ и объявляемым аксиомой грамматики. Упорядоченные тройки указанного вида записывают обычно как $[qZs]$ , интуитивно понимая каждую такую тройку как охарактеризованную выше цель. Таким образом, $N=\{[qZa]\colon\,q,s\in Q,~Z\in\Gamma\}\cup\{S\}$ . Множество правил вывода $P$ грамматики $G_M$ строится так: а) если команда $qaZ\to rX_1X_2\ldots X_k,~k\geqslant1$ , принадлежит системе команд $\delta$ , то в $P$ записываются все правила вида $[qZs_k]\to a[rX_1s_1][s_1X_2s_2]\ldots [s_{k-1}X_ks_k]$ для любой последовательности $k$ состояний $s_1,\ldots,s_k$ множества $Q$ (тем самым к $P$ добавляется $\|Q\|^k$ правил на каждую команду указанного вида); б) для каждой команды $qaZ\to r\lambda$ в $\delta$ в $P$ добавляется правило $[qZs]\to a$ ; в) для каждого $q_f\in F$ в $P$ вводится правило $S\to[q_0Z_0q_f]$ ; г) никаких других правил в $P$ , кроме определенных пунктов а-в, нет. Пример 8.17. Для МП-автомата $M=(\{q_0,q_1,q_2\}, \{a,b\}, \{a,b,Z\}, q_0, \{q_0\}, Z,\delta)$ с множеством команд $\delta$ , имеющих вид $\begin{array}{lll}q_0aZ\to q_1aZ,&\quad q_1aa\to q_1aa,&\quad q_1ba\to q_2\lambda,\\ q_2ba\to q_2\lambda,&\quad q_2\lambda Z\to q_0\lambda,&\quad q_0\lambda Z\to q_0\lambda, \end{array}$ построим эквивалентную ему КС-грамматику. Можно доказать, что этот МП-автомат допускает язык $\{a^nb^n\colon n\geqslant0\}$ . Заметим, что МП-автомат $M$ допускает пустую цепочку, применяя к начальной конфигурации $(q_0,\lambda,Z)$ последнюю команду. Построенная по данной системе команд грамматика будет иметь следующий вид: $\begin{aligned}&S\to[q_0Zq_0],\\ &[q_0Zs_2]\to a[q_1as_1][s_1Zs_2],~ s_1,s_2\in \{q_0,q_1,q_2\},\\ &[q_1as_2]\to a[q_1as_1][s_1as_2],~ s_1,s_2\in\{q_0,q_1,q_2\},\\ &[q_1aq_2]\to b,\qquad [q_2aq_2]\to b,\\ &[q_2Zq_0]\to\lambda,\qquad [q_0Zq_0]\to\lambda. \end{aligned}$ Подчеркнем, что во второй и третьей строчках имеется не по одному, а по $3^2=9$ правил (число всех последовательностей двух состояний из трехэлементного множества состояний). Выведем в этой грамматике цепочку $aabb:$ $\begin{aligned}S&\vdash [q_0Zq_0]\vdash a[q_1aq_2][q_2Zq_0]\vdash aa[q_1aq_2] [q_2aq_2][q_2Zq_0]\vdash\\ &\vdash aab[q_2aq_2][q_2Zq_0]\vdash aabb[q_2Zq_0]\vdash aabb. \end{aligned}$ На втором шаге этого вывода мы применяем то правило вывода из девяти правил второй строки, которое получается при подстановке вместо $s_1$ состояния $q_2$ , а вместо $s_2$ состояния $q_0$ . Мы "угадываем" эти состояния, зная (по системе команд исходного МП-автомата), что достичь заключительного состояния по прочтении (непустой) входной цепочки наш МП-автомат может только из состояния $q_2$ . В то же время, если бы мы на втором шаге использовали правило второй строки, получающееся подстановкой $s_1=q_1,~s_2=q_2$ , возник бы бесполезный нетерминал $[q_1aq_1]$ и наш вывод зашел бы в тупик. Аналогично на третьем шаге используется то правило из девяти правил третьей строки, в котором $s_1=s_2=q_2$ . После этого применяем по очереди правила четвертой, пятой и шестой строк, завершая вывод. Если мы теперь в построенном выводе "считаем" по шагам магазинные символы, заключенные в квадратных скобках между состояниями, то получим $Z,aZ,aaZ,aZ,Z$ , т.е. получим изменение содержимого магазина (не считая последнего шага, когда происходит его окончате льное опустошение), представленное в следующем выводе на множестве конфигураций МП-автомата $M\colon$ $(q_0,aabb,Z)\vdash (q_1,abb,aZ)\vdash (q_1,bb,aaZ)\vdash (q_2,b,aZ)\vdash (q_2,\lambda,Z)\vdash (q_2,\lambda,\lambda).$ Этот вывод есть не что иное, как допускающая последовательность конфигураций для цепочки $aabb$ . Читая же последовательности состояний в квадратных скобках, мы получим в итоге ту последовательность состояний, которую проходит МП-автомат, допуская написанную выше цепочку. Действительно, после первого шага вывода в грамматике получим последовательность $q_0,q_0$ , что можно интерпретировать так: "из состояния $q_0$ перейти (вернуться) в это же состояние $q_0$ прочитав входную цепочку". После второго шага будем иметь $q_0,q_1,q_1,q_2,q_2,q_0$ , что означает: "чтобы вернуться в $q_0$ , сначала нужно попасть в $q_2$ через $q_1$ "). После третьего шага получим g $q_0,q_1,q_2,q_0$ . Это и есть результирующая последовательность состояний, так как все следующие шаги МП-автомата связаны с "выталкиванием" символов из магазина и не приводят к возникновению новых целей. Как правило, грамматика, которая указанным выше способом строится по МП-автомату, оказывается очень громоздкой, содержит много бесполезных и недостижимых символов. Это связано с тем, что в ней фигурируют произвольные последовательности состояний МП-автомата фиксированной длины. Что касается разобранного примера 8.17, то в этом случае легко написать грамматику для языка $\{a^nb^n\colon n\geqslant0\}$ непосредственно: $S\to aSb\mid ab\mid \lambda.$ По этой грамматике можно построить МП-автомат, используя алгоритм из первой части доказательства основной теоремы, значительно более простой, чем исходный. Его система команд будет иметь следующий вид: $qaS\to qSb\mid qb,\quad qaa\to q\lambda,\quad qbb\to q\lambda,\quad q\lambda S\to q\lambda.$ В общем же случае проблема распознавания эквивалентности двух МП-автоматов (в отличие от такой же проблемы для конечных автоматов) не разрешима, и не существует общего алгоритма "упрощения" (в определенном смысле, "минимизации") МП-автомата, хотя, как мы только что видели, в конкретных случаях это вполне возможно. Теорема 8.7. МП-автомат $M$ эквивалентен грамматике $G_M$ . Индукцией по длине $n$ вывода в $M$ докажем, что $Z\in\Gamma,~(q,x,Z)\vdash^n(r,\lambda,\lambda)$ для любых $q,r\in Q,~x\in V^{\ast}$ влечет $[qZr]\vdash^{\ast}x$ в $G_M$ . Если $n=1$ , то есть $(q,x,Z)\vdash(r,\lambda,\lambda)$ , то $x\in V\cup\{\lambda\}$ , и в $\delta$ есть команда $qZx\to r\lambda$ , откуда в $P$ есть правило $[qZr]\to x$ , и $[qZr]\vdash^{\ast}x$ . Пусть доказываемое верно для каждого $n\leqslant m-1$ , где $m>1$ , и пусть $(q,x,Z)\vdash^m(r,\lambda,\lambda)$ , причем первый шаг соответствующего вывода имеет вид $(q,x,Z)\vdash(p,y,X_1X_2\ldots X_k)$ , где $x=ay$ для некоторого $a\in V\cup\{\lambda\}$ . Аналогично доказательству теоремы 8.6 доказывается, что тогда найдутся такие цепочки $x_1x_2\ldots x_k$ и такая последовательность состояний $s_1,\ldots,s_{k-1}$ , что $y=x_1x_2\ldots x_k$ и $\begin{aligned}(p, x_1x_2\ldots x_k, X_1X_2\ldots X_k)&\vdash^{m_1} (s_1, x_2\ldots x_k, X_2\ldots X_k)\vdash^{m_2}\\ &\vdash^{m_2}\ldots\vdash^{m_{k-1}} (s_{k-1}, x_k, X_k)\vdash^{m_k} (r,\lambda,\lambda),\end{aligned}$ где для любого $i=\overline{1,k}$ выполняется $0\leqslant m_i\leqslant m-1$ . Поэтому в силу теоремы 8.5 для любого $i=\overline{1,k-1}$ имеем $(s_{i-1},x_i,X_i)\vdash^{m_i}(s_i,\lambda,\lambda),$ где $s_0=p$ , а $s_k=r$ , и, согласно предположению индукции, $[s_{i-1}X_is_i]\vdash^{\ast}x_i$ . Следовательно, согласно построению грамматики $G_M$ , имеет место выводимость (что и требовалось доказать) $[qZr]\vdash_{G_M} a[pX_is_i][s_iX_2s_2]\ldots [s_{k-1}X_kr]\vdash_{G_M}^{\ast} ax_1x_2\ldots x_k=ay=x,$ Пусть цепочка $x$ допускается МП-автоматом $M$ . Тогда $(q_0,x,Z)\vdash_{M}^{\ast}(q_f,\lambda,\lambda)$ , где $q_f\in F$ — одно из заключительных состояний МП-автомата $M$ . Согласно только что доказанному, в этом случае для грамматики $G_M$ выполняется $[q_0Z_0q_f] \vdash_{G_M}^{\ast}x$ . Но так как в множестве правил вывода грамматики $G_M$ есть правило $S\to[q_0Z_0q_f]$ , то мы получим $S\vdash_{G_M} [q_0Z_0q_f]\vdash_{G_M}^{\ast}x$ , то есть $x\in L(G_M)$ . Итак, $L(M)\subseteq L(G_M)$ . Для доказательства обратного включения докажем сначала, что $[qZr]\vdash_{G_M}^{\ast}x$ влечет $(q,x,Z)\vdash_{M}^{\ast}(r,\lambda,\lambda)$ для любых $q,r\in Q,~x\in V^{\ast}$ и $Z\in\Gamma$ . Снова проведем индукцию по длине вывода (в грамматике $G_M$ ). При $[qZr]\vdash x$ получаем правило $[qZr]\to x$ в $P$ и, следовательно, команду $qxZ\to r\lambda$ в $\delta$ , то есть $(q,x,Z)\vdash (r,\lambda,\lambda)$ . Если же $[qZr]\vdash^mx$ для некоторого $m\geqslant1$ , то $x=ay$ для некоторого $a\in V\cup\{\lambda\}$ и $[qZr]\vdash a[pX_1s_1][s_1X_2s_2]\ldots[s_{k-1}X_kr],$ причем для всех $i=\overline{1,k}$ , имеем $[s_{i-1}X_is_i]\vdash^{m_i}x_i$ , где $s_0=p,~s_k=r$ и $1\leqslant m_i\leqslant m-1$ , так что $y=x_1x_2\ldots x_k$ . Согласно предположению индукции, тогда для каждого такого $i$ имеем $(s_{i-1},x_i,X_i)\vdash^{\ast}(s_i,\lambda,\lambda).$ Но так как указанный выше первый шаг вывода в грамматике возможен только при наличии команды в МП-автомате $qaZ\to pX_1X_2\ldots X_k$ , то $\begin{aligned}(q,x,Z)&\vdash (p,y, X_1X_2\ldots X_k)\vdash^{\ast} (s_1, x_2\ldots x_k, X_2\ldots X_k) \vdash^{\ast}\\ &\vdash^{\ast} (s_{k-1},x_k,X_k)\vdash^{\ast}(r,\lambda,\lambda). \end{aligned}$ Если теперь цепочка $x$ порождается грамматикой $G$ , то есть $S_{G_M}^{\ast}x$ , то первый шаг вывода $x$ из $S$ , согласно определению системы правил грамматики $G_M$ , будет иметь вид $S\vdash [q_0Z_0q_f]$ для некоторого $q_f\in F$ , и, следовательно, $[q_0Z_0q_f] \vdash_{G_M}^{\ast}x$ . Тогда в силу только что доказанного $(q_0,x,Z_0) \vdash_{M}^{\ast} (q_f,\lambda,\lambda)$ , то есть $x\in L(M)$ . Итак, $L(G_M)\subseteq L(M)$ , а поскольку обратное включение уже доказано, то $L(M)=L(G_M)$ . Из доказанных теорем 8.6 и 8.7 получаем следующую теорему. Теорема 8.8. Язык является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда он допускается некоторым МП-автоматом. Замечание 8.10. Существует одна полезная модификация построения МП-автомата по КС-грамматике. Вернемся к примеру 8.16. Можно заметить, что в этом примере правая часть каждого правила грамматики начинается некоторым терминалом. Учет этой особенности позволяет найти другой МП-автомат, который, как нетрудно показать, тоже эквивалентен данной грамматике. Система команд этого автомата имеет следующий вид: $\begin{aligned}&qaS\to qSbS\mid qS,\quad qcS\to q\lambda,\\ &qaa\to q\lambda,\quad qbb\to q\lambda,\quad qcc\to q\lambda.\end{aligned}$ Его преимущество в том, что он "видит" первый непрочитанный символ входной цепочки и, следовательно, имеет меньше альтернатив при выборе команды: например, если очередной символ есть $b$ , то ни одна из команд первых двух строк не может быть применена. Тогда этот автомат имеет меньше возможностей попасть в тупик. В общем случае, если правая часть любого правила грамматики имеет вид $a\xi$ , где $a\in V$ , МП-автомат, эквивалентный данной грамматике, определяется командами вида $qaA\to a\xi,\qquad qbb\to q\lambda,\quad b\in V,$ (первая — для правила $A\to a\xi$ ). В такой модификации МП-автомат записывает в магазин "хвост" правой части правила, следующей за первым терминалом. Можно доказать, что любая КС-грамматика может быть определена правилами такого вида (так называемая нормальная форма Грейбах). Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату

Дадим сначала неформальную мотивировку той конструкции, которая будет приведена ниже. Будем рассматривать МП-автомат как "игрока", ставящего цели следующего вида: "находясь в состоянии $q$ и имея верхний символ магазина $Z$ , перейти в состояние $s$ ". Условимся записывать такую цель в виде тройки $[qZs]$ . Как может наш "игрок" достичь поставленной цели? Если во множестве команд автомата ("правил игры") есть команда

$qaZ\to rX_1X_2\ldots X_k,$

где для каждого $i$ имеем $X_i$ — магазинный символ $(X_i\in \Gamma)$ , то после выполнения этой команды МП-автомат перейдет в состояние $r$ .

Если $r=s$ , то цель достигнута, иначе ставим цель $[rX_1s_1]$ , а достигнув ее, ставим цель $[s_1X_2s_2]$ и т.д. Достигнув цели $[s_{k-1}X_ks]$ , "игрок" достигает и цели $[qZs]$ . Так как рассматривается допуск с пустым магазином, то символы $X_i$ должны по очереди покинуть магазин, и только в этом случае может быть достигнута "глобальная" цель МП-автомата: $[q_0Zq_f],~q_f\in F$ ("находясь в начальном состоянии и имея верхним символом магазина начальный магазинный символ, попасть в одно из заключительных состояний, опустошив магазин"). Так как, вообще говоря, "игрок" не знает наперед последовательности состояний $s_1,s_2,\ldots,s_{k-1}$ , ведущих к цели, он должен перебрать все такие последовательности.

Эти неформальные соображения лежат в основе следующей конструкции.

Пусть дан МП-автомат $M=(Q,V,\Gamma,q_0,F,Z_0,\delta)$ . Определим КС-грамматику $G_M=(V,N,S,P)$ , терминальный алфавит которой совпадает со входным алфавитом МП-автомата $M$ , следующим образом.

Нетерминальный алфавит $N$ грамматики есть множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех упорядоченных троек вида $(q,Z,s)$ , где $q,s\in Q,~Z\in\Gamma$ , пополненное символом $S$ , не принадлежащим ни одному из множеств $Q,V,\Gamma$ и объявляемым аксиомой грамматики. Упорядоченные тройки указанного вида записывают обычно как $[qZs]$ , интуитивно понимая каждую такую тройку как охарактеризованную выше цель.

Таким образом, $N=\{[qZa]\colon\,q,s\in Q,~Z\in\Gamma\}\cup\{S\}$ .

Множество правил вывода $P$ грамматики $G_M$ строится так:

а) если команда $qaZ\to rX_1X_2\ldots X_k,~k\geqslant1$ , принадлежит системе команд $\delta$ , то в $P$ записываются все правила вида

$[qZs_k]\to a[rX_1s_1][s_1X_2s_2]\ldots [s_{k-1}X_ks_k]$

для любой последовательности $k$ состояний $s_1,\ldots,s_k$ множества $Q$ (тем самым к $P$ добавляется $|Q|^k$ правил на каждую команду указанного вида);

б) для каждой команды $qaZ\to r\lambda$ в $\delta$ в $P$ добавляется правило $[qZs]\to a$ ;
в) для каждого $q_f\in F$ в $P$ вводится правило $S\to[q_0Z_0q_f]$ ;
г) никаких других правил в $P$ , кроме определенных пунктов а-в, нет.

Пример 8.17. Для МП-автомата $M=(\{q_0,q_1,q_2\}, \{a,b\}, \{a,b,Z\}, q_0, \{q_0\}, Z,\delta)$ с множеством команд $\delta$ , имеющих вид

$\begin{array}{lll}q_0aZ\to q_1aZ,&\quad q_1aa\to q_1aa,&\quad q_1ba\to q_2\lambda,\\ q_2ba\to q_2\lambda,&\quad q_2\lambda Z\to q_0\lambda,&\quad q_0\lambda Z\to q_0\lambda, \end{array}$

построим эквивалентную ему КС-грамматику. Можно доказать, что этот МП-автомат допускает язык $\{a^nb^n\colon n\geqslant0\}$ . Заметим, что МП-автомат $M$ допускает пустую цепочку, применяя к начальной конфигурации $(q_0,\lambda,Z)$ последнюю команду. Построенная по данной системе команд грамматика будет иметь следующий вид:

$\begin{aligned}&S\to[q_0Zq_0],\\ &[q_0Zs_2]\to a[q_1as_1][s_1Zs_2],~ s_1,s_2\in \{q_0,q_1,q_2\},\\ &[q_1as_2]\to a[q_1as_1][s_1as_2],~ s_1,s_2\in\{q_0,q_1,q_2\},\\ &[q_1aq_2]\to b,\qquad [q_2aq_2]\to b,\\ &[q_2Zq_0]\to\lambda,\qquad [q_0Zq_0]\to\lambda. \end{aligned}$

Подчеркнем, что во второй и третьей строчках имеется не по одному, а по $3^2=9$ правил (число всех последовательностей двух состояний из трехэлементного множества состояний). Выведем в этой грамматике цепочку $aabb:$

$\begin{aligned}S&\vdash [q_0Zq_0]\vdash a[q_1aq_2][q_2Zq_0]\vdash aa[q_1aq_2] [q_2aq_2][q_2Zq_0]\vdash\\ &\vdash aab[q_2aq_2][q_2Zq_0]\vdash aabb[q_2Zq_0]\vdash aabb. \end{aligned}$

На втором шаге этого вывода мы применяем то правило вывода из девяти правил второй строки, которое получается при подстановке вместо $s_1$ состояния $q_2$ , а вместо $s_2$ состояния $q_0$ . Мы "угадываем" эти состояния, зная (по системе команд исходного МП-автомата), что достичь заключительного состояния по прочтении (непустой) входной цепочки наш МП-автомат может только из состояния $q_2$ . В то же время, если бы мы на втором шаге использовали правило второй строки, получающееся подстановкой $s_1=q_1,~s_2=q_2$ , возник бы бесполезный нетерминал $[q_1aq_1]$ и наш вывод зашел бы в тупик.

Аналогично на третьем шаге используется то правило из девяти правил третьей строки, в котором $s_1=s_2=q_2$ . После этого применяем по очереди правила четвертой, пятой и шестой строк, завершая вывод.

Если мы теперь в построенном выводе "считаем" по шагам магазинные символы, заключенные в квадратных скобках между состояниями, то получим $Z,aZ,aaZ,aZ,Z$ , т.е. получим изменение содержимого магазина (не считая последнего шага, когда происходит его окончате

льное опустошение), представленное в следующем выводе на множестве конфигураций МП-автомата $M\colon$

$(q_0,aabb,Z)\vdash (q_1,abb,aZ)\vdash (q_1,bb,aaZ)\vdash (q_2,b,aZ)\vdash (q_2,\lambda,Z)\vdash (q_2,\lambda,\lambda).$

Этот вывод есть не что иное, как допускающая последовательность конфигураций для цепочки $aabb$ . Читая же последовательности состояний в квадратных скобках, мы получим в итоге ту последовательность состояний, которую проходит МП-автомат, допуская написанную выше цепочку.

Действительно, после первого шага вывода в грамматике получим последовательность $q_0,q_0$ , что можно интерпретировать так: "из состояния $q_0$ перейти (вернуться) в это же состояние $q_0$ прочитав входную цепочку".

После второго шага будем иметь $q_0,q_1,q_1,q_2,q_2,q_0$ , что означает: "чтобы вернуться в $q_0$ , сначала нужно попасть в $q_2$ через $q_1$ ").

После третьего шага получим g $q_0,q_1,q_2,q_0$ . Это и есть результирующая последовательность состояний, так как все следующие шаги МП-автомата связаны с "выталкиванием" символов из магазина и не приводят к возникновению новых целей.

Как правило, грамматика, которая указанным выше способом строится по МП-автомату, оказывается очень громоздкой, содержит много бесполезных и недостижимых символов. Это связано с тем, что в ней фигурируют произвольные последовательности состояний МП-автомата фиксированной длины. Что касается разобранного примера 8.17, то в этом случае легко написать грамматику для языка $\{a^nb^n\colon n\geqslant0\}$ непосредственно:

$S\to aSb\mid ab\mid \lambda.$

По этой грамматике можно построить МП-автомат, используя алгоритм из первой части доказательства основной теоремы, значительно более простой, чем исходный. Его система команд будет иметь следующий вид:

$qaS\to qSb\mid qb,\quad qaa\to q\lambda,\quad qbb\to q\lambda,\quad q\lambda S\to q\lambda.$

В общем же случае проблема распознавания эквивалентности двух МП-автоматов (в отличие от такой же проблемы для конечных автоматов) не разрешима, и не существует общего алгоритма "упрощения" (в определенном смысле, "минимизации") МП-автомата, хотя, как мы только что видели, в конкретных случаях это вполне возможно.

Теорема 8.7. МП-автомат $M$ эквивалентен грамматике $G_M$ .

Индукцией по длине $n$ вывода в $M$ докажем, что $Z\in\Gamma,~(q,x,Z)\vdash^n(r,\lambda,\lambda)$ для любых $q,r\in Q,~x\in V^{\ast}$ влечет $[qZr]\vdash^{\ast}x$ в $G_M$ .

Если $n=1$ , то есть $(q,x,Z)\vdash(r,\lambda,\lambda)$ , то $x\in V\cup\{\lambda\}$ , и в $\delta$ есть команда $qZx\to r\lambda$ , откуда в $P$ есть правило $[qZr]\to x$ , и $[qZr]\vdash^{\ast}x$ .

Пусть доказываемое верно для каждого $n\leqslant m-1$ , где $m>1$ , и пусть $(q,x,Z)\vdash^m(r,\lambda,\lambda)$ , причем первый шаг соответствующего вывода имеет вид

$(q,x,Z)\vdash(p,y,X_1X_2\ldots X_k)$ , где $x=ay$ для некоторого $a\in V\cup\{\lambda\}$ .

Аналогично доказательству теоремы 8.6 доказывается, что тогда найдутся такие цепочки $x_1x_2\ldots x_k$ и такая последовательность состояний $s_1,\ldots,s_{k-1}$ , что $y=x_1x_2\ldots x_k$ и

$\begin{aligned}(p, x_1x_2\ldots x_k, X_1X_2\ldots X_k)&\vdash^{m_1} (s_1, x_2\ldots x_k, X_2\ldots X_k)\vdash^{m_2}\\ &\vdash^{m_2}\ldots\vdash^{m_{k-1}} (s_{k-1}, x_k, X_k)\vdash^{m_k} (r,\lambda,\lambda),\end{aligned}$

где для любого $i=\overline{1,k}$ выполняется $0\leqslant m_i\leqslant m-1$ . Поэтому в силу теоремы 8.5 для любого $i=\overline{1,k-1}$ имеем

$(s_{i-1},x_i,X_i)\vdash^{m_i}(s_i,\lambda,\lambda),$

где $s_0=p$ , а $s_k=r$ , и, согласно предположению индукции, $[s_{i-1}X_is_i]\vdash^{\ast}x_i$ .

Следовательно, согласно построению грамматики $G_M$ , имеет место выводимость (что и требовалось доказать)

$[qZr]\vdash_{G_M} a[pX_is_i][s_iX_2s_2]\ldots [s_{k-1}X_kr]\vdash_{G_M}^{\ast} ax_1x_2\ldots x_k=ay=x,$

Пусть цепочка $x$ допускается МП-автоматом $M$ . Тогда $(q_0,x,Z)\vdash_{M}^{\ast}(q_f,\lambda,\lambda)$ , где $q_f\in F$ — одно из заключительных состояний МП-автомата $M$ . Согласно только что доказанному, в этом случае для грамматики $G_M$ выполняется $[q_0Z_0q_f] \vdash_{G_M}^{\ast}x$ . Но так как в множестве правил вывода грамматики $G_M$ есть правило $S\to[q_0Z_0q_f]$ , то мы получим $S\vdash_{G_M} [q_0Z_0q_f]\vdash_{G_M}^{\ast}x$ , то есть $x\in L(G_M)$ . Итак, $L(M)\subseteq L(G_M)$ .

Для доказательства обратного включения докажем сначала, что $[qZr]\vdash_{G_M}^{\ast}x$ влечет $(q,x,Z)\vdash_{M}^{\ast}(r,\lambda,\lambda)$ для любых $q,r\in Q,~x\in V^{\ast}$ и $Z\in\Gamma$ . Снова проведем индукцию по длине вывода (в грамматике $G_M$ ). При $[qZr]\vdash x$ получаем правило $[qZr]\to x$ в $P$ и, следовательно, команду $qxZ\to r\lambda$ в $\delta$ , то есть $(q,x,Z)\vdash (r,\lambda,\lambda)$ . Если же $[qZr]\vdash^mx$ для некоторого $m\geqslant1$ , то $x=ay$ для некоторого $a\in V\cup\{\lambda\}$ и

$[qZr]\vdash a[pX_1s_1][s_1X_2s_2]\ldots[s_{k-1}X_kr],$

причем для всех $i=\overline{1,k}$ , имеем $[s_{i-1}X_is_i]\vdash^{m_i}x_i$ , где $s_0=p,~s_k=r$ и $1\leqslant m_i\leqslant m-1$ , так что $y=x_1x_2\ldots x_k$ .

Согласно предположению индукции, тогда для каждого такого $i$ имеем

$(s_{i-1},x_i,X_i)\vdash^{\ast}(s_i,\lambda,\lambda).$

Но так как указанный выше первый шаг вывода в грамматике возможен только при наличии команды в МП-автомате $qaZ\to pX_1X_2\ldots X_k$ , то

$\begin{aligned}(q,x,Z)&\vdash (p,y, X_1X_2\ldots X_k)\vdash^{\ast} (s_1, x_2\ldots x_k, X_2\ldots X_k) \vdash^{\ast}\\ &\vdash^{\ast} (s_{k-1},x_k,X_k)\vdash^{\ast}(r,\lambda,\lambda). \end{aligned}$

Если теперь цепочка $x$ порождается грамматикой $G$ , то есть $S_{G_M}^{\ast}x$ , то первый шаг вывода $x$ из $S$ , согласно определению системы правил грамматики $G_M$ , будет иметь вид $S\vdash [q_0Z_0q_f]$ для некоторого $q_f\in F$ , и, следовательно, $[q_0Z_0q_f] \vdash_{G_M}^{\ast}x$ . Тогда в силу только что доказанного $(q_0,x,Z_0) \vdash_{M}^{\ast} (q_f,\lambda,\lambda)$ , то есть $x\in L(M)$ . Итак, $L(G_M)\subseteq L(M)$ , а поскольку обратное включение уже доказано, то $L(M)=L(G_M)$ .

Из доказанных теорем 8.6 и 8.7 получаем следующую теорему.

Теорема 8.8. Язык является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда он допускается некоторым МП-автоматом.

Замечание 8.10. Существует одна полезная модификация построения МП-автомата по КС-грамматике. Вернемся к примеру 8.16. Можно заметить, что в этом примере правая часть каждого правила грамматики начинается некоторым терминалом. Учет этой особенности позволяет найти другой МП-автомат, который, как нетрудно показать, тоже эквивалентен данной грамматике. Система команд этого автомата имеет следующий вид:

$\begin{aligned}&qaS\to qSbS\mid qS,\quad qcS\to q\lambda,\\ &qaa\to q\lambda,\quad qbb\to q\lambda,\quad qcc\to q\lambda.\end{aligned}$

Его преимущество в том, что он "видит" первый непрочитанный символ входной цепочки и, следовательно, имеет меньше альтернатив при выборе команды: например, если очередной символ есть $b$ , то ни одна из команд первых двух строк не может быть применена. Тогда этот автомат имеет меньше возможностей попасть в тупик.

В общем случае, если правая часть любого правила грамматики имеет вид $a\xi$ , где $a\in V$ , МП-автомат, эквивалентный данной грамматике, определяется командами вида

$qaA\to a\xi,\qquad qbb\to q\lambda,\quad b\in V,$

(первая — для правила $A\to a\xi$ ). В такой модификации МП-автомат записывает в магазин "хвост" правой части правила, следующей за первым терминалом.

Можно доказать, что любая КС-грамматика может быть определена правилами такого вида (так называемая нормальная форма Грейбах).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]