Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Алгебраические уравнения поверхностей

Алгебраические уравнения поверхностей


Напомним, что многочленом степени n одной переменной x называется выражение вида


p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot x+a_0,

где a_0,a_1,\ldots,a_n — действительные числа (коэффициенты многочлена), a_n\ne0 — старший коэффициент, a_0 — свободный член. Степень многочлена обозначается \deg p(x)=n.


Многочленом трех переменных x_1,x_2,x_3 называется выражение вида


p(x_1,x_2,x_3)=a_1\cdot x_1^{k_1}\cdot x_2^{l_1}\cdot x_3^{m_1}+a_2\cdot x_1^{k_2}\cdot x_2^{l_2}\cdot x_3^{m_2}+\cdots+a_n\cdot x_1^{k_n}\cdot x_2^{l_n}\cdot x_3^{m_n},

где a_0,a_1,\ldots,a_n — действительные числа (коэффициенты многочлена), k_1,\ldots,k_n; l_1,\ldots,l_n; m_1,\ldots,m_n — целые неотрицательные числа. Число
\deg p(x_1,x_2,x_3)=\max \{k_1+l_1+m_1; k_2+l_2+m_2; \ldots;k_n+l_n+m_n\}

называется степенью многочлена трёх переменных.


Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат Ox_1x_2x_3 может быть задано уравнением вида


p(x_1,x_2,x_3)=0,
(4.11)

График трансцендентной поверхности - "синусоидальный цилиндр"

где p(x_1,x_2,x_3) — многочлен трех переменных x_1,x_2,x_3.


Уравнение вида (4.11) называется алгебраическим уравнением с тремя неизвестными. Степенью уравнения (4.11) называется степень многочлена p(x_1,x_2,x_3). Одна и та же поверхность может быть задана уравнением вида (4.11) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической поверхности называется наименьшая из степеней этих многочленов.


Всякую неалгебраическую поверхность называют трансцендентной.


В примере 4.1,а,б,в,г — поверхности алгебраические: а — первого порядка. б,в,г — второго порядка. Примером трансцендентной поверхности служит цилиндрическая поверхность y=\sin{x} (см. рисунок), образующие которой, параллельные оси Oz, пересекают координатную плоскость Oxy в точках синусоиды y=\sin{x}. Эту линию нельзя задать уравнением вида (4.11).




Теорема (4.1) об инвариантности порядка алгебраической поверхности


Если в некоторой аффинной системе координат в пространстве поверхность задана уравнением (4.11), то и в любой другой аффинной системе координат эта поверхность задается уравнением того же вида (4.11) и той же степени. Другими словами, порядок алгебраической поверхности является инвариантом (остается неизменным в любой аффинной системе координат).


Теорема доказывается аналогично теореме 3.1.


В аналитической геометрии в пространстве изучаются:


алгебраические поверхности первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными


a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+a_2\cdot x_3+a_4=0;

алгебраические поверхности второго порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с тремя неизвестными


a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+a_4x_1x_2+a_5x_1x_3+a_6x_2x_3+a_7x_1+a_8x_2+a_9x_3+a_{10}=0.



Замечания 4.1.


1. Теорема 4.1 фактически выражает свойство многочленов: при линейной невырожденной замене переменных


\begin{cases}x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2+s_{13}\cdot x'_3,\\x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2+s_{23}\cdot x'_3,\\x_3=s_3+s_{31}\cdot x'_1+s_{32}\cdot x'_2+s_{33}\cdot x'_3,\end{cases} или x=s+S\cdot x',

где s=\begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3 \end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23}\\ s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{pmatrix}\!,~\det S\ne0, степень многочлена p(x_1,x_2,x_3) не изменяется.


2. Алгебраическое уравнение (4.11) может не иметь действительных решений. Например, в пространстве Ox_1,x_2,x_3 нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению x_1^2+x_2^2+x_3^2+1=0. Однако в области комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (4.11) вида p(z_1,z_2,z_3)=0, где z_1=x_1+iy_1\in\mathbb{C}, z_2=x_2+iy_2\in\mathbb{C}, z_3=x_3+iy_3\in\mathbb{C}, задает некоторую алгебраическую поверхность в трехмерном комплексном пространстве \mathbb{C}^3 (см. пункт 2 замечаний 2.9). Если все точки этой поверхности вещественные (действительные), т.е. z_1=x_1, z_2=x_3, z_3=x_3, а y_1=y_2=y_3 то поверхность называют вещественной (действительной). В противном случае поверхность называют мнимой.


3. Алгебраическими неравенствами с тремя неизвестными называются неравенства вида


p(x_1,x_2,x_3)\geqslant0, \quad p(x_1,x_2,x_3)\leqslant0, \quad p(x_1,x_2,x_3)>0, \quad p(x_1,x_2,x_3)<0.

где p(x_1,x_2,x_3) — многочлен трех переменных x_1,x_2,x_3. Степенью алгебраического неравенства называется степень многочлена p(x_1,x_2,x_3).


4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными.


5. Многочлен второй степени


\begin{aligned}p(x_1,x_2,x_3)=& \,\,a_{11}\cdot x_1^2+ a_{22}\cdot x_2^2+ a_{33}\cdot x_3^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot a_{13}\cdot x_1\cdot x_3+\\ &+2\cdot a_{23}\cdot x_2\cdot x_3+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+2\cdot a_3\cdot x_3+a_0 \end{aligned}

называется также квадратичной функцией трех переменных; многочлен


a_{11}\cdot x_1^2+ a_{22}\cdot x_2^2+ a_{33}\cdot x_3^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot a_{13}\cdot x_1\cdot x_3+2\cdot a_{23}\cdot x_2\cdot x_3

называется квадратичной формой (квадратичной частью функции), многочлен a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+a_3\cdot x_3 — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент a_0 — свободным членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований.


6. Квадратичную функцию (см. пункт 5) можно записать:


а) в матричном виде

p(x)=p(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{32}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_2&a_3&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\1 \end{pmatrix}= \widehat{x}^T\cdot P\cdot\widehat{x},

где P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{32}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_2&a_3&0 \end{pmatrix}матрица квадратичной функции; \widehat{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\1\end{pmatrix} — расширенный (дополненный единицей) столбец переменных;


б) выделяя квадратичную и линейную части:


\begin{aligned}p(x)=p(x_1,x_2,x_3)&=\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\\ &\phantom{=}+2\cdot\! \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}+a_0= x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T+a_0, \end{aligned}

где A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} — матрица квадратичной формы, a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} — столбец коэффициентов линейной формы, x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} — столбец переменных.


Матрицы A и P называются также матрицами малой и большой квадратичных форм квадратичной функции p(x).


7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадратичными (квадратными).


8. Теорема 4.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат являются ортогональными (см. пункт 5 замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных x=s+S\cdot x' (см. пункт 1) с ортогональной матрицей S~(S^T=S^{-1}) называются ортогональными (неоднородными при s\ne0 или однородными при s=0). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат Oxyz.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved