Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Алгебраические уравнения линий на плоскости

Алгебраические уравнения линий на плоскости


Напомним, что многочленом степени [math]n[/math] одной переменной [math]x[/math] называется выражение вида


[math]p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot x+a_0,[/math]

где [math]a_0,a_1,\ldots,a_n[/math] — действительные числа (коэффициенты многочлена), [math]a_n\ne0[/math] — старший коэффициент, [math]a_0[/math] — свободный член. Степень многочлена обозначается [math]\deg p(x)=n[/math].


Многочленом двух переменных [math]x_1,\,x_2[/math] называется выражение вида


[math]p(x_1,x_2)=a_1\cdot x_1^{k_1}\cdot x_2^{l_1}+a_2\cdot x_1^{k_2}\cdot x_2^{l_2}+\cdots+a_m\cdot x_1^{k_m}\cdot x_2^{l_m},[/math]

где [math]a_1,a_2,\ldots,a_m[/math] — действительные числа (коэффициенты многочлена), [math]k_1,\ldots,k_m[/math] и [math]l_1,\ldots,l_m[/math] — целые неотрицательные числа. Число


[math]\deg p(x_1,x_2)= \max\{k_1+l_1;k_2+l_2;\ldots;k_m+l_m\}[/math]

называется степенью многочлена двух переменных.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат [math]Ox_1x_2[/math] может быть задано уравнением вида


[math]p(x_1,x_2)=0,[/math]
(3.4)

где [math]p(x_1,x_2)[/math] — многочлен двух переменных [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math].


Уравнение вида (3.4) называется алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. Степенью уравнения (3.4) называется степень многочлена [math]p(x_1,x_2)[/math]. Одна и та же линия может быть задана уравнением вида (3.4) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической линии называется наименьшая из степеней этих многочленов.


Всякую неалгебраическую линию называют трансцендентной.


В примере 3.1,а,б,в,г,е — линии алгебраические: а — первого порядка, б,в,г,е — второго порядка. Примером трансцендентной линии служит синусоида, т.е. график функции [math]y=\sin{x}[/math]. Эту линию нельзя задать уравнением вида (3.4).




Теорема (3.1) об инвариантности порядка алгебраической линии


Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.


Действительно, пусть в аффинной системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] уравнение имеет вид (3.4):


[math]a_1\cdot x_1^{k_1}\cdot x_2^{l_1}+a_2\cdot x_1^{k_2}\cdot x_2^{l_2}+\cdots+a_m\cdot x_1^{k_m}\cdot x_2^{l_m}=0.[/math]

Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math]. Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):


[math]\begin{cases} x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2,\\[2pt] x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2, \end{cases}[/math]

где [math]s_1,\,s_2[/math] — координаты вектора переноса начала координат [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math], а [math]s_{11},\,s_{12},\,s_{21},\,s_{22}[/math] — элементы матрицы перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e} )\to(\vec{e}\,')}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}[/math] базиса [math]\begin{pmatrix}\vec{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2\end{pmatrix}[/math] к новому [math]\begin{pmatrix} \vec{e}\,' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix}[/math]. Подставим эти выражения в одночлен [math]a_1\cdot x_1^{k_1}\cdot x_2^{l_1}[/math]:


[math]a_1\cdot x_1^{k_1}\cdot x_2^{l_1}= a_1\cdot{\!\left(s_1+ s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2\right)\!}^{k_1}\cdot {\!\left(s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2\right)\!}^{l_1}[/math]

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных [math]x'_1,\,x'_2[/math], степень которого не больше, чем [math](k_1+l_1)[/math]. Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен [math]\widetilde{p}(x'_1,x'_2)[/math], степень которого не превосходит степени исходного многочлена [math]p(x_1,x_2) \colon \deg \widetilde{p}\leqslant\deg p[/math]. Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.




В аналитической геометрии на плоскости изучаются:


– алгебраические линии первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с двумя неизвестными:


[math]a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+a_3=0;[/math]

– алгебраические линии второго порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с двумя неизвестными:


[math]a_1\cdot x_1^2+a_2\cdot x_1\cdot x_2+a_3\cdot x_2^2+a_4\cdot x_1+a_5\cdot x_2+a_6=0.[/math]



Замечания 3.1


1. Теорема 3.1 фактически выражает свойство многочленов: при линейной невырожденной замене переменных


[math]\begin{cases} x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2,\\[2pt] x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2, \end{cases}[/math] или [math]x=s+S\cdot x',[/math]

где [math]s=\begin{pmatrix} s_1\\s_2 \end{pmatrix},~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix},~\det S\ne0[/math], степень многочлена [math]p(x_1,x_2)[/math] не изменяется.


Действительно, преобразование уравнения [math]p(x_1,x_2)=0[/math] при переходе от одной системы координат к другой соответствует линейной невырожденной замене переменных [math]x_1,x_2[/math] многочлена [math]p(x_1,x_2)[/math] в левой части уравнения.


2. Алгебраическое уравнение (3.4) может не иметь действительных решений. Например, на плоскости [math]Ox_1x_2[/math] нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению [math]x_1^2+x_2^2+1=0[/math]. Однако в области комплексных чисел, согласно основной теоремы алгебры, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (3.4) [math]p(z_1,z_2)[/math], где [math]z_1=x_1+iy_1\in\mathbb{C}[/math] и [math]z_2=x_2+iy_2\in\mathbb{C}[/math], задает некоторую алгебраическую линию на двумерной комплексной плоскости [math]\mathbb{C}^2[/math] (см. пункт 2 замечаний 2.9). Если все точки этой линии вещественные (действительные), т.е. [math]z_1=x_1,~z_2=x_2[/math], а [math]y_1=y_2=0[/math], то линию называют вещественной (действительной). В противном случае линию называют мнимой.


3. Алгебраическими неравенствами с двумя неизвестными называются неравенства вида


[math]p(x_1,x_2)\geqslant0, \quad p(x_1,x_2)\leqslant0, \quad p(x_1,x_2)>0, \quad p(x_1,x_2)<0,[/math]

где [math]p(x_1,x_2)[/math] — многочлен двух переменных [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math]. Степенью алгебраического неравенства называется степень многочлена [math]p(x_1,x_2)[/math].


4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными.


5. Многочлен второй степени


[math]p(x_1,x_2)=a_{11}\cdot x_1^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+a_{22}\cdot x_2^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+a_0[/math]

называется также квадратичной функцией двух переменных; многочлен [math]a_{11}\cdot x_1^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+a_{22}\cdot x_2^2[/math] называется квадратичной формой (квадратичной частью функции), многочлен [math]a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2[/math] — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент [math]a_0[/math] — свободным членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований.


6. Квадратичную функцию можно записать:


а) в матричном виде
[math]p(x)=p(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}x_1&x_2&1\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\1 \end{pmatrix}= \widehat{x}^T\cdot P\cdot \widehat{x},[/math]

где [math]P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}[/math] — матрица квадратичной функции; [math]\widehat{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\1 \end{pmatrix}[/math] расширенный (дополненный единицей)
столбец переменных;

б) выделяя квадратичную и линейную части:
[math]\begin{aligned} p(x)=p(x_1,x_2)&= \begin{pmatrix} x_1&x_2 \end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}+ 2\cdot\!\begin{pmatrix} a_1&a_2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix} x_1&x_2\end{pmatrix} +a_0=\\[3pt] &=x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_0,\end{aligned}[/math]

где [math]A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{12}& a_{22}\end{pmatrix}[/math] — матрица квадратичной формы; [math]a=\begin{pmatrix}a_1&a_2\end{pmatrix}[/math] — столбец коэффициентов линейной формы;
[math]x=\begin{pmatrix} x_1&x_2 \end{pmatrix}[/math] — столбец переменных.

7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадратичными (квадратными).


8. Линии, задаваемые системой алгебраических уравнений и неравенств, называются полуалгебраическими. Например, уравнение [math]y=|x|[/math] задает на координатной плоскости [math]Oxy[/math] полуалгебраическую линию:


[math]\begin{cases}y^2-x^2=0,\\[2pt] y\geqslant0.\end{cases}[/math]

9. Теорема 3.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат являются ортогональными (см. пункт замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных [math]x=s+S\cdot x'[/math] (см. пункт 1) с ортогональной матрицей [math]S~(S^T=S^{-1})[/math] называются ортогональными (неоднородными при [math]s\ne0[/math] или однородными при [math]s=0[/math]). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved