Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Алгебраические линии на плоскости

Алгебраические линии на плоскости


Предметом аналитической геометрии является описание и исследование свойств геометрических фигур средствами алгебры и математического анализа, а также изучение и классификация уравнений с геометрической точки зрения. При этом геометрические свойства фигур выражаются алгебраически, как свойства соответствующих уравнений, и наоборот, результаты анализа уравнений получают геометрическое представление. Тем самым возникает связь алгебры и геометрии, обогащающая оба раздела математики.


В геометрии любую фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (г.м.т.), т.е. как множество точек, каждая из которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству, а точка, не принадлежащая этому множеству, не удовлетворяет этому свойству. Например, в элементарной геометрии окружность определяется как г.м.т., равноудаленных от заданной точки (центра окружности), серединный перпендикуляр к отрезку - как г.м.т., равноудаленных от концов этого отрезка и т.п.


В аналитической геометрии, созданной Ренэ Декартом, геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение


[math]F(x,y)=0[/math]

с двумя неизвестными [math]x,\,y[/math]. Его решением называется пара чисел [math]x_0,\,y_0[/math], при подстановке которых вместо неизвестных [math]x_0,\,y_0[/math] уравнение превращается в верное числовое равенство [math]F(x_0,y_0)=0[/math]. Каждое решение [math]x_0,\,y_0[/math] уравнения [math]F(x,y)=0[/math] можно рассматривать как точку [math]M_0(x_0,\,y_0)[/math] на координатной плоскости с абсциссой [math]x_0[/math] и ординатой [math]y_0[/math]. Таким образом, множество решений уравнения [math]F(x,y)=0[/math] определяет на координатной плоскости [math]\Pi[/math] некоторую фигуру

[math]F=\{M(x,y)\in\Pi\colon F(x,y)=0\}.[/math]

Например, уравнение [math]x^2+y^2=1[/math] в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] задает окружность единичного радиуса с центром [math]O[/math] (рис.3.1,г).


Переход к этому способу описания геометрических фигур базируется на введении системы координат, которая позволяет вместо точек (элементарных геометрических объектов) оперировать с числами (элементарными алгебраическими объектами). В разделе [url]Системы координат[/url] подчеркивалось, что введение системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами (числами или упорядоченными наборами чисел), т.е. соответствие, удовлетворяющее двум условиям:



1) разным точкам множества соответствуют разные наборы координат, отличающиеся хотя бы одной координатой;

2) любому набору координат соответствует некоторая точка.


Введение системы координат позволяет задать любую геометрическую фигуру уравнением, связывающим координаты таким образом, что координаты любой точки, принадлежащей заданной фигуре, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей фигуре, не удовлетворяют уравнению. Такой способ описания геометрических фигур применяется в аналитической геометрии.


Рисунки, изображающие геометрические фигуры, в аналитической геометрии играют вспомогательную роль. Аналитическое решение любой геометрической задачи сводится к алгебраическим методам и вычислительным процедурам, при выполнении которых изображения фигур не используются. Такие методы и процедуры без труда переводятся на алгоритмический язык и реализуются на компьютере. Во всех разбираемых ниже примерах иллюстрация геометрическая фигур приводится, но не используется в ходе решения.


В этом разделе мы рассмотрим следующие разделы аналитической геометрии:



Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Параметрические уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Уравнения прямой, проходящей через точку, с данным угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Типовые задачи с прямыми на плоскости

Канонические уравнения линий второго порядка
Эллипс
Гипербола
Парабола
Классификация линий второго порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Применение линий первого и второго порядков в задачах на экстремум функций

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved