Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аксиоматические построения и логические рассуждения

Аксиоматические построения и логические рассуждения


При построении математической теории обычно применяется аксиоматический подход, при котором сначала определяются основные объекты и основные отношения между ними, которые формулируются в виде аксиом — утверждений, принимаемых без доказательств. Используя основные объекты и отношения, вводятся новые понятия, изучаются свойства, формулируются теоремы. При этом требуется, чтобы каждое новое утверждение (теорема, лемма и т.п.) доказывалось на основе аксиом или ранее доказанных теорем.


Высказывания и предикаты


Рассмотрим логическую конструкцию математических утверждений (теорем, предложений, лемм). Формулировки теорем содержат высказывания. Напомним, что под высказыванием понимается языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Высказываниями, например, являются предложения: "дважды два — четыре", "диагонали прямоугольника равны", "сборная Бразилии не была чемпионом мира по футболу", "Москва — столица Франции". Первые два высказывания — истинны, третье и четвертое — ложны. Предложения: "пойдем на лекцию", "когда закончится этот фильм" высказываниями не являются. Высказывание может принимать только одно из двух истинностных значений: "истина", "ложь".


Отрицанием высказывания [math]A[/math] называется высказывание, которое истинно, если [math]A[/math] ложно, и ложно, когда [math]A[/math] истинно. Отрицание [math]A[/math] обозначается через [math]\lnot A[/math] и читается как "не [math]A[/math]".


Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] два высказывания. Из них можно составить новые высказывания. Рассмотрим четыре высказывания:


1) высказывание "[math]A[/math] и [math]B[/math]" называется конъюнкцией высказываний [math]A[/math] и [math]B[/math] (обозначается [math]A\And B[/math] или [math]A\land B[/math]);


2) высказывание "[math]A[/math] или [math]B[/math]" называется дизъюнкцией высказываний [math]A[/math] и [math]B[/math] (обозначается [math]A\lor B[/math]);


3) высказывание "из [math]A[/math] следует [math]B[/math]" (или "[math]A[/math] влечет [math]B[/math]") называется импликацией высказываний [math]A[/math] и [math]B[/math] (обозначается [math]A\Rightarrow B[/math]); высказывание [math]A[/math] называется посылкой импликации, высказывание [math]B[/math] — заключением;


4) высказывание "[math]A[/math] эквивалентно [math]B[/math]" называется эквиваленцией высказываний [math]A[/math] и [math]B[/math] (обозначается [math]A\sim B[/math] или [math]A\Leftrightarrow B[/math]).


Конъюнкция [math]A\And B[/math] — это высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания [math]A[/math] и [math]B[/math] одновременно.


Дизъюнкция [math]A\lor B[/math] — это высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания [math]A[/math] и [math]B[/math] одновременно.


Импликация [math]A\Rightarrow B[/math] — это высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда [math]A[/math] истинно, а [math]B[/math] ложно. В самом деле, высказывания "из истины следует истина", "из лжи следует ложь", "из лжи следует истина" естественно считать истинными (из неверного условия можно получить любое заключение), а высказывание "из истины следует ложь" следует признать ложным.


Эквиваленция [math]A\sim B[/math] — это высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний [math]A[/math] и [math]B[/math] совпадают. Действительно, высказывания "истина эквивалентна истине", "ложь эквивалентна лжи" естественно считать истинными, а высказывания "истина эквивалентна лжи", "ложь эквивалентна истине" — ложными.


Рассмотрим предложения, зависящие от параметра. Например, "[math]x>0[/math]", "[math]y[/math] и [math]z[/math] близнецы". При подстановке вместо х некоторого числа, а вместо [math]y[/math] и [math]z[/math] — имен конкретных людей, получаем высказывания, истинные или ложные. Такие предложения называются предикатами. На основе предикатов можно составить более общие предложения, чем при помощи высказываний. При этом используются кванторы общности и существования. Пусть [math]A(x)[/math] — некоторое предложение, зависящее от параметра [math]x[/math], которое для каждого значения [math]x[/math] из множества [math]X[/math] либо истинно, либо ложно. Тогда выражение [math]\forall x\in X~ A(x)[/math] читается "для любого [math]x[/math] из [math]X~A(x)[/math]" — это высказывание, которое истинно, если для каждого элемента [math]x[/math] из множества [math]X[/math] высказывание [math]A(x)[/math] истинно, и ложно — в противном случае. Выражение [math]\exists x\inX~A(x)[/math] читается "существует такой [math]x[/math] из [math]X[/math], что [math]A(x)[/math]" или "существует такой [math]x[/math] из [math]X[/math], для которого [math]A(x)[/math]" — это высказывание, которое истинно, если в множестве [math]X[/math] существует такой элемент [math]x[/math], для которого [math]A(x)[/math] истинно, и ложно — в противном случае. Если хотят подчеркнуть, что существует единственный элемент [math]x[/math], для которого [math]A(x)[/math] истинно, то применяют символ [math]\exists![/math], например, [math]\exists!x\in X~A(x)[/math] читается "существует единственный элемент [math]x[/math] из множества [math]X[/math], что [math]A(x)[/math]".




Логические конструкции теорем


Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] два высказывания. Теоремы обычно имеют логическую конструкцию одного из двух видов:


[math]A\,\Rightarrow\,B[/math] или [math]A\,\Leftrightarrow\,B[/math].

В импликации [math]A\Rightarrow B[/math], применительно к теоремам, высказывание [math]A[/math] называют условием теоремы, а [math]B[/math] — заключением теоремы. Формулировку теоремы [math]A\Rightarrow B[/math] можно читать, как "из [math]A[/math] следует [math]B[/math]", "[math]A[/math] влечет [math]B[/math]", "если [math]A[/math], то [math]B[/math] ", "[math]B[/math] необходимо для [math]A[/math]","[math]A[/math] достаточно для [math]B[/math]".


Не всякое необходимое условие является достаточным и не всякое достаточное условие является необходимым, т.е. из справедливости теоремы [math]A\Rightarrow B[/math] не всегда следует справедливость теоремы [math]B\Rightarrow A[/math]. Например, в евклидовой геометрии справедливо утверждение "если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости", но неверно утверждение "если прямые лежат в одной плоскости, то они пересекаются".


С каждой теоремой вида [math]A\Rightarrow B[/math] можно связать еще по крайней мере три теоремы: обратную, противоположную, обратно-противоположную.


Обратной к теореме [math]A\Rightarrow B[/math] называется теорема [math]B\Rightarrow A[/math], в которой условие и заключение по сравнению с исходной теоремой меняются местами. В этом контексте теорему [math]A\Rightarrow B[/math] называют прямой теоремой.


Противоположной к теореме [math]A\Rightarrow B[/math] называется теорема [math]\lnot A\Rightarrow \lnot B[/math], в которой условие [math]A[/math] и заключение [math]B[/math] исходной теоремы заменяются их отрицаниями.


Обратно-противоположной к теореме [math]A\Rightarrow B[/math] называется теорема [math]\lnot B \Rightarrow \lnot A[/math], в которой условие и заключение исходной теоремы заменяются их отрицаниями и меняются местами.


Из истинности теоремы [math]A\Rightarrow B[/math] не всегда следует истинность обратной и противоположной, но всегда следует справедливость обратно-противоположной. Например, справедлива теорема "если натуральное число оканчивается цифрой 2, то его квадрат оканчивается цифрой 4". Обратная теорема "если квадрат натурального числа оканчивается цифрой 4, то само число оканчивается цифрой 2" не справедлива (контрпример: [math]8^2=64[/math]). Противоположная теорема "если натуральное число не оканчивается на 2, то его квадрат не оканчивается на 4" также не справедлива (тот же контрпример). Обратно-противоположная теорема "если квадрат натурального числа не оканчивается на 4, то само число не оканчивается на 2" справедлива.


Формулировку теоремы [math]A\Leftrightarrow B[/math] можно читать, как "[math]A[/math] эквивалентно [math]B[/math]", "из [math]A[/math] следует [math]B[/math], и наоборот, из [math]B[/math] следует [math]B[/math]", "если [math]A[/math], то [math]B[/math], и наоборот, если [math]B[/math], то [math]A[/math]", "[math]A[/math] необходимо и достаточно для [math]B[/math]", "[math]B[/math] необходимо и достаточно для [math]B[/math]", "[math]A[/math] тогда и только тогда, когда [math]B[/math]". Теоремы с такими формулировками называют критериями. Заметим, что теорема [math]A\Leftrightarrow B[/math] эквивалентна конъюнкции [math](A\Rightarrow B)\And(B\Rightarrow A)[/math], т.е. верны прямая и обратная теоремы одновременно.


Довольно широко встречаются теоремы существования и единственности. Их конструкции включают квантор существования:


[math]A\Rightarrow \exists x~B(x)[/math] — "если [math]A[/math], то найдется [math]x[/math], что [math]B(x)[/math]";


[math]A\Rightarrow \exists!x~B(x)[/math] — "если [math]A[/math], то существует единственный [math]x[/math], что [math]B(x)[/math]".


Многие теоремы формулируются с применением квантора общности (так называемые общезначимые теоремы), например,


[math]\forall x~A(x)\Rightarrow B[/math] — "для любого [math]x~ A(x)[/math] влечет [math]B[/math]".



Пример В.15. Даны высказывания:


[math]A[/math] = "треугольник является прямоугольным";

[math]B[/math] = "сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны";

[math]C[/math] = "на небе есть тучи";

[math]C[/math] = "идет дождь".


Сформулировать теоремы: [math]A\Rightarrow B,\, B\Rightarrow A;\, \lnot A\Rightarrow\lnot B;\, \lnot B\Rightarrow\lnot A;\, A\Leftrightarrow B;[/math] [math]C\Rightarrow D;[/math] [math]D\Rightarrow C;[/math] [math]\lnot C\Rightarrow\lnot D;[/math] [math]\lnot D\Rightarrow\lnot C;[/math] [math]C\Rightarrow D[/math] и установить истинность или ложность каждой из них.


Решение. Составим из высказываний формулировки указанных теорем:


1) [math]A\Rightarrow B:[/math] если треугольник является прямоугольным, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны;


2) [math]B\Rightarrow A:[/math] если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным;


3) [math]\lnot A\Rightarrow \lnot B:[/math] если треугольник не является прямоугольным, то сумма квадратов двух сторон треугольника не равна квадрату третьей стороны;


4) [math]\lnot B\Rightarrow \lnot A:[/math] если сумма квадратов двух сторон треугольника не равна квадрату третьей стороны, то треугольник не является прямоугольным;


5) [math]A\Leftrightarrow B:[/math] для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух его сторон равнялась квадрату третьей стороны;


6) [math]C\Rightarrow D:[/math] если на небе тучи, то идет дождь;


7) [math]D\Rightarrow C:[/math] если идет дождь, то на небе тучи;


8) [math]\lnot C\Rightarrow \lnot D:[/math] если на небе нет туч, то дождь не идет;


9) [math]\lnot D\Rightarrow \lnot C:[/math] если дождь не идет, то на небе нет туч;


10) [math]C\Leftrightarrow D:[/math] на небе есть тучи тогда и только тогда, когда идет дождь. Теоремы 1, 2, 3,4, 5,7, 8 справедливы, а теоремы 6, 9, 10 не верны.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved