Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аффинные преобразования пространства

Аффинные преобразования пространства


Напомним (см. равенство и подобие), что преобразованием пространства называется правило [math]f[/math], которое каждой точке [math]X[/math] пространства ставит в соответствие единственную точку [math]Y=f(X)[/math] того же пространства, при этом точка [math]Y[/math] называется образом точки [math]X[/math], а точка [math]X[/math] — прообразом точки [math]Y[/math]. Преобразование называется взаимно однозначным, если у каждой точки [math]Y[/math] пространства существует единственный прообраз [math]X[/math].


Два преобразования [math]f[/math] и [math]g[/math] пространства называются равными, если [math]f(X)=g(X)[/math] для любой точки [math]X[/math].


Композицией преобразований [math]g[/math] и [math]f[/math] называется преобразование [math]f\circ g[/math], определяемое равенством [math](f\circ g)(X)=f(g(X))[/math].


Преобразование [math]\varepsilon[/math] называется тождественным, если каждой точке пространства ставится в соответствие эта же точка: [math]\varepsilon(X)=X[/math].


Преобразование [math]f^{-1}[/math] называется обратным для преобразования [math]f[/math], если [math]f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\varepsilon[/math]. Преобразование [math]f[/math] называется обратимым, если для него существует обратное преобразование. Необходимым и достаточным условием обратимости является условие взаимной однозначности преобразования.


Аналогичные понятия определяются для преобразований плоскости.


Преобразование [math]f[/math] пространства можно представить в координатной форме. Пусть в пространстве задана система координат, в которой точка [math]X[/math] и ее образ [math]Y[/math] имеют координаты [math]X(x_1,x_2,x_3)[/math] и [math]Y(y_1,y_2,y_3)[/math] соответственно. Преобразование [math]f[/math] ставит в соответствие упорядоченной тройке чисел [math]x=(x_1,x_2,x_3)[/math] упорядоченную тройку чисел [math]y=(y_1,y_2,y_3)[/math]. Такое преобразование можно задать при помощи трех скалярных функций:


[math]\begin{cases} y_1=f_1(x_1,x_2,x_3),\\ y_2= f_2(x_1,x_2,x_3),\\ y_3=f_3(x_1,x_2,x_3),\end{cases}[/math] или, что то же самое, вектор-функцией [math]f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)&f_2(x)&f_3(x)\end{pmatrix}^T.[/math]



Формулы аффинного преобразования пространства


Пусть в пространстве фиксирована аффинная система координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math]. Преобразование [math]\mathcal{A}[/math] пространства называется аффинным, если координаты [math]y_1,y_2,y_3[/math] образа [math]Y[/math] выражаются через координаты [math]x_1,x_2,x_3[/math] прообраза [math]X~(Y=\mathcal{A}(X))[/math] по формулам:


[math]\begin{cases}y_1=a_1+a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2+a_{13}\cdot x_3,\\y_2=a_2+a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2+a_{23}\cdot x_3,\\ y_3= a_3+a_{31}\cdot x_1+a_{32}\cdot x_2+a_{33}\cdot x_3,\end{cases} \Leftrightarrow\quad \mathop{y}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{a}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{A}\limits_{(\vec{e})}\cdot \mathop{x}\limits_{(\vec{e})},[/math]
(2.16)

где [math]\mathop{A}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix}[/math] — невырожденная матрица (матрица аффинного преобразования), [math]\mathop{y}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix}\!,\, \mathop{x}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}[/math] — координатные столбцы образа [math]Y[/math] и прообраза [math]X[/math] (координатные столбцы радиус-векторов [math]\overrightarrow{OY}[/math] и [math]\overrightarrow{OX}[/math]) соответственно, [math]\mathop{a}\limits_{(\vec{e})}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}[/math] — координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.16) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.16) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.


Аффинное преобразование пространства, так же как аффинное преобразование плоскости, можно задать несколькими способами.


При первом способе (по определению) нужно зафиксировать в пространстве аффинную систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math] и задать невырожденную матрицу [math]A[/math] и столбец [math]a[/math] в (2.16).


При втором способе нужно взять две аффинные системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math] и [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_3[/math] и определить аффинное преобразование [math]\mathcal{A}[/math], поставив в соответствие каждой точке [math]X[/math] такую точку [math]X'=\mathcal{A}(X)[/math], координаты которой относительно системы координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_3[/math] совпадают с координатами точки [math]X[/math] в системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math]. Говорят, что аффинное преобразование [math]\mathcal{A}[/math] задается переходом от одной аффинной системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math] к другой [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_3[/math].


Третий способ — задание образов четырех точек, не лежащих в одной плоскости, а именно существует единственное аффинное преобразование, переводящее четыре точки [math]O,A,B,C[/math], не лежащие в одной плоскости, в четыре точки [math]O',A',B',C'[/math], также не лежащие в одной плоскости.


Для аффинных преобразований пространства остаются справедливыми свойства 1-3, доказанные для преобразований плоскости. Четвертое свойство формулируется следующим образом:


при аффинном преобразовании (2.16) объем любого параллелепипеда изменяется в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и то же число (называемое коэффициентом искажения объема): [math]V_{\ast'}=\vert\det{A}\vert\cdot V_{\ast}[/math], где [math]V_{\ast}[/math] — объем параллелепипеда, a [math]V_{\ast'}[/math] — объем образа этого параллелепипеда. Другими словами, коэффициент искажения объема при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования.



Примеры аффинных преобразований пространства


Примерами аффинного преобразования пространства могут служить движение, гомотетия, сжатие к плоскости.


Сжатием пространства к плоскости [math]\rho[/math] вдоль пересекающей ее прямой [math]m[/math] с коэффициентом [math]\lambda>0[/math] (косым сжатием) называется преобразование пространства, при котором каждая точка [math]P[/math], принадлежащая плоскости [math]\rho[/math], остается неподвижной (преобразуется в себя: [math]P'=P[/math]), а каждой точке [math]X[/math], не лежащей на плоскости [math]\rho[/math], ставится в соответствие такая точка [math]X'[/math], что [math]\overrightarrow{X_{\rho}X'}=\lambda\cdot\overrightarrow{X_{\rho}X}[/math], где [math]X_{\rho}[/math] — проекция точки [math]X[/math] на плоскость [math]\rho[/math] вдоль прямой [math]m[/math]. При [math]\lambda>1[/math] это преобразование называют также растяжением.


Сжатием пространства к плоскости [math]\rho[/math] называют сжатие вдоль направления, ортогонального плоскости [math]\rho[/math], т.е. в случае, когда прямая [math]m[/math] перпендикулярна плоскости [math]\rho[/math].


Замечания 2.7


1. Справедливо утверждение: любое аффинное преобразование пространства можно представить в виде композиции движения и трех сжатий (во взаимно перпендикулярных направлениях).


2. Для аффинных преобразований пространства остаются справедливыми соотношения (2.12), (2.14), (2.15), полученные для аффинных преобразований плоскости (с соответствующими изменениями размеров матриц [math]A,S[/math] и столбцов [math]a,s,x,y[/math]), a также вывод, аналогичный указанному в пункте 2 замечаний 2.6.




Пример 2.9. Рассматривая эллипсоид как образ сферы при композиции двух сжатий пространства к плоскостям (вдоль взаимно перпендикулярных направлений), доказать, что существуют три взаимно перпендикулярных диаметра эллипсоида, которые называются его главными осями.


Решение. Сформулированное свойство очевидно для диаметров сферы (рис.2.27,а). Пусть [math]AB,CD,EF[/math] — три взаимно перпендикулярных диаметра сферы. Выполним сжатие пространства с коэффициентом [math]0<\lambda_1\leqslant1[/math] к плоскости, проходящей через прямые [math]CD[/math] и [math]EF[/math]. При этом отрезок [math]AB[/math] преобразуется в диаметр [math]A'B'[/math] эллипсоида, а диаметры [math]CD[/math] и [math]EF[/math] останутся без изменений (рис.2.27,6). Если выполнить второе сжатие с коэффициентом [math]0<\lambda_2\leqslant1[/math] к плоскости (рис.2.27,в), проходящей через диаметры [math]A'B'[/math] и [math]CD[/math], то диаметр [math]EF[/math] преобразуется в диаметр [math]E''F''[/math], а диаметры [math]A'B'[/math] и [math]CD[/math] останутся без изменений. В результате получим три взаимно перпендикулярных диаметра [math]A'B',CD[/math] и [math]E''F''[/math] эллипсоида.


Эллипсоид как образ сферы при композиции двух сжатий пространства к плоскостям

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved