Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аффинные преобразования плоскости

Аффинные преобразования плоскости


Преобразование плоскости задается двумя скалярными функциями двух переменных:


[math]\begin{cases}y_1=f_1(x_1,x_2),\\y_2=f_2(x_1,x_2).\end{cases}[/math] или, что то же самое, вектор-функцией [math]f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)&f_2(x)\end{pmatrix}^T.[/math]

Формула аффинного преобразования плоскости


Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math]. Преобразование [math]\mathcal{A}[/math] плоскости называется аффинным, если координаты [math]y_1,y_2[/math] образа [math]Y[/math] выражаются через координаты [math]x_1,x_2[/math] прообраза [math]X~(Y=\mathcal{A}(X))[/math] по формулам


[math]\begin{cases} y_1=a_1+ a_{11}x_1+ a_{12}x_2,\\ y_2= a_2+a_{21}x_1+a_{22}x_2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad \mathop{y}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{a}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{A}\limits_{(\vec{e})}\cdot \mathop{x}\limits_{(\vec{e})},[/math]
(2.11)

где [math]\mathop{A}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}[/math] — невырожденная матрица (матрица аффинного преобразования), [math]\mathop{y}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix} y_1\\y_2\end{pmatrix},~\mathop{x}\limits_{(\vec{e})}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}[/math] координатные столбцы образа [math]Y[/math] и прообраза [math]X[/math] (координатные столбцы радиус-векторов [math]\overrightarrow{OY}[/math] и [math]\overrightarrow{OX}[/math]) соответственно, [math]\mathop{a}\limits_{(\vec{e})}= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}[/math] — координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.11) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.11) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.




Замечания 2.4


1. Столбец [math]a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}[/math] в (2.11) определяет координаты образа [math]O'=\mathcal{A}(O)[/math] начала координат. Действительно, подставляя координаты [math]x_1=x_2=0[/math] точки [math]O'=\mathcal{A}(O)[/math] в (2.11), получаем координаты [math]y_1=a_1,\,y_2=a_2[/math] точки [math]\vec{a}=\overrightarrow{OO'}[/math]. Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а=00 , координатный столбец которого равен [math]a[/math].


2. Аффинное преобразование (2.11) в любой другой аффинной системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math] задается формулами того же вида.


Действительно, пусть известны: матрица [math]S= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')}[/math] перехода от старого базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2\end{pmatrix}[/math] к новому базису [math](\vec{e}\,')=\begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix}[/math] и координатный столбец [math]s[/math] вектора переноса начала координат [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] (рис.2.17). Тогда по формуле (2.8) имеем [math]\begin{cases} x=s+S\cdot x',\\ y=s+S\cdot y',\end{cases}[/math] где [math]x,y[/math] и [math]x',y'[/math] — координатные столбцы точек [math]X,Y[/math] (радиус-векторов [math]\overrightarrow{OX}[/math], [math]\overrightarrow{OY}[/math] и [math]\overrightarrow{O'X}[/math], [math]\overrightarrow{O'Y}[/math]) в старой [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и новой [math]O'\vec{e}\,'_1 \vec{e}\,'_2[/math] системах координат.


Координатный столбец вектора переноса начала координат

Подставляя в (2.11), получаем


[math]\underbrace{s+ S\cdot y'}_{y}= a+A\cdot(\underbrace{s+ S\cdot x'}_{x}).[/math]

Учитывая, что матрица [math]S[/math] обратимая (см. свойство 2 матриц перехода в разд.2.2.1), выражаем координатный столбец [math]y'[/math] образа [math]Y[/math] через координатный столбец [math]x'[/math] прообраза [math]X[/math] в системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math]:


[math]y'=\underbrace{S^{-1}\cdot(a+A\cdot s-s)}_{a'}+\underbrace{S^{-1}\cdot A\cdot S}_{A'}\cdot x'=a'+A'\cdot x'.[/math]

В результате получили аффинное преобразование вида (2.11):


[math]\mathop{y'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\mathop{a'}\limits_{(\vec{e}\,')}+\mathop{A'}\limits_{(\vec{e}\,')}\cdot\mathop{x'}\limits_{(\vec{e}\,')}.[/math]

с матрицей [math]A'=S^{-1}\cdot A\cdot S[/math] и координатным столбцом [math]a'=S^{-1}\cdot(a+A\cdot s-s)[/math] вектора переноса.


Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид


[math]\mathop{A'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')}\cdot\mathop{A}\limits_{(\vec{e})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')},\quad\quad \mathop{a'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')}\cdot\! \left(\mathop{a}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{A}\limits_{(\vec{e})}\cdot \mathop{s}\limits_{(\vec{e})}-\mathop{s}\limits_{(\vec{e})}\right),[/math]
(2.12)

где [math]\mathop{A}\limits_{(\vec{e})},\, \mathop{A'}\limits_{(\vec{e}\,')}[/math] — матрицы ([math]\mathop{a}\limits_{(\vec{e})},\mathop{a'}\limits_{(\vec{e}\,')}[/math] — координатные столбцы вектора переноса) аффинного преобразования в старом и новом базисах, a [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] — матрица перехода от старого базиса к новому.


3. Запишем (2.11), обозначив образ точки [math]X[/math] через [math]X'=\mathcal{A}(X)[/math]:


[math]\begin{cases}x'_1=a_1+ a_{11}x_1+ a_{12}x_2,\\x'_2= a_2 +a_{21}x_1+ a_{22}x_2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad x'=a+A\cdot x\,.[/math]
(2.13)

Сравнивая формулы (2.13) аффинного преобразования плоскости с формулами (2.8) аффинного преобразования координат, заключаем, что эти соотношения: [math]x'=a+A\cdot x[/math] и [math]x=s+S\cdot x'[/math] будут равносильными, если положить [math]S=A^{-1}[/math] и [math]s=-A^{-1}\cdot a[/math]. Действительно, умножая обе части равенства [math]x=-A^{-1}\cdot a+A^{-1}\cdot x'[/math], следующего из первого соотношения, на матрицу [math]A[/math] слева, с учетом равенства [math]A\cdot A^{-1}=E[/math] получаем [math]A\cdot x=-A\cdot A^{-1}\cdot a+A\cdot A^{-1}\cdot x'[/math], т.е. [math]A\cdot x=-a+x'[/math], что равносильно [math]x'=a+A\cdot x[/math]. Таким образом, изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию.


4. Аффинное преобразование плоскости порождает преобразование векторов на плоскости, если рассматривать векторы как упорядоченные пары точек, а именно: при аффинном преобразовании [math]\mathcal{A}[/math] каждому вектору [math]\vec{v}[/math] (рассматриваемому как упорядоченная пара точек [math]\vec{v}=\overrightarrow{MN}[/math]) ставится в соответствие вектор [math]\vec{v}\,'[/math] ([math]\vec{v}\,'=\overrightarrow{M'V'}[/math], причем [math]M'=\mathcal{A}(M),~N'=\mathcal{A}(N)[/math]), координаты которого выражаются через координаты прообраза [math]\vec{v}[/math] no формулам:


[math]v'=A\cdot v\,,[/math]
(2.14)

где [math]v,v'[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{v},\,\vec{v}\,'[/math] (относительно одного и того же базиса), [math]A[/math] — матрица аффинного преобразования (в том же базисе).


Это свойство следует из правила нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора надо вычесть координаты его начала. Если [math]m,m',n,n'[/math] — координатные столбцы точек [math]M,M',N,N'[/math] соответственно, то учитывая (2.13): [math]m'=a+ A\cdot m[/math], [math]n'=a+A\cdot n[/math] и, получаем


[math]v'=n'-m'=\underbrace{(a+A\cdot n)}_{n'}-\underbrace{(a+A\cdot m)}_{m'}=A\cdot\underbrace{(n-m)}_{v}=A\cdot v,[/math]
что и требовалось доказать.



Способы задания аффинного преобразования плоскости


Первый способ. Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и формулы (2.11), т.е. задать невырожденную матрицу [math]A[/math] преобразования и координатный столбец [math]a[/math] в (2.11).


Второй способ. Пусть на плоскости заданы две аффинные системы координат: старая [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и новая [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math] (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное преобразование [math]\mathcal{A}[/math] плоскости, которое каждой точке [math]X[/math] ставит в соответствие точку [math]Y=\mathcal{A}(X)[/math], координаты которой в новой системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math] совпадают с координатами точки [math]X[/math] в старой системе координат.


Аффинные системы координат (старая и новая) на плоскости

Действительно, пусть [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] — вектор переноса начала координат, [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] — матрица перехода от старого базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2\end{pmatrix}[/math] к новому базису [math](\vec{e}\,')=\begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix}[/math]. Тогда, учитывая (2.8), имеем [math]\mathop{y}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot\mathop{y'}\limits_{(\vec{e}\,')}[/math]. Подставляя [math]\mathop{y'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\mathop{x}\limits_{(\vec{e})}[/math] (координаты образа [math]Y=\mathcal{A}(X)[/math] в новой системе координат совпадают с координатами прообраза [math]X[/math] в старой системе координат), получаем аффинное преобразование


[math]\mathop{y}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot\mathop{x}\limits_{(\vec{e})}[/math]

вида (2.11) с невырожденной матрицей [math]\mathop{A}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] и столбцом [math]\mathop{a}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{s}\limits_{(\vec{e})}[/math]. Существование аффинного преобразования доказано. Докажем единственность от противного. Пусть преобразование [math]\mathcal{B}[/math] удовлетворяет тем же условиям, что и [math]\mathcal{A}[/math], но для некоторой (хотя бы одной) точки [math]X[/math] образы [math]\mathcal{A}(X)[/math] и [math]\mathcal{B}(X)[/math] не совпадают. Тогда в новой системе координат [math]O'\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_2[/math] разные точки [math]\mathcal{A}(X)[/math] и [math]\mathcal{B}(X)[/math] будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки [math]X[/math] в старой системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math]), чего быть не может (см. пункт 1 замечаний 2.1). Полученное противоречие доказывает единственность аффинного преобразования.

Таким образом, аффинное преобразование (2.15) может быть задано указанием двух аффинных систем координат. Говорят, что аффинное преобразование задано переходом от одной аффинной системы координат к другой.


Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяется образами трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. существует единственное аффинное преобразование, переводящее три точки [math]O,A,B[/math], не лежащие на одной прямой, в три точки [math]O',A',B'[/math], также не лежащие на одной прямой.


В самом деле, заданные точки [math]O,A,B[/math] и [math]O',A',B'[/math] порождают две аффинные системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math], где [math]\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},\,\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}[/math] и [math]\vec{e}\,'_1=\overrightarrow{O'A'},\,\vec{e}\,'_2=\overrightarrow{O'B'}[/math] — пары базисных (неколлинеарных) векторов, и тем самым однозначно определяют аффинное преобразование.




Пример 2.7. В прямоугольной системе координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] заданы точки (рис.2.19):


[math]Q(2,1),\quad A(6,4),\quad B(-2.4),\quad Q'(10,3),\quad A'(10,5),\quad B'(6,6),\quad X(2,7).[/math]

Требуется вывести формулы (2.11) аффинного преобразования [math]\mathcal{A}[/math], отображающего точки [math]Q,A,B[/math] в точки [math]Q',A',B'[/math], и найти координаты образа [math]Y=\mathcal{A}(X)[/math] точки [math]X[/math]:

Формулы аффинного преобразования, отображающего точки

а) в системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2,~\vec{e}_1=\overrightarrow{QA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{QB}[/math];

б) в заданной прямоугольной системе координат.


Решение. а) Искомое преобразование [math]\mathcal{A}[/math] отображает систему координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] в систему координат [math]Q'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math], где [math]\vec{e}\,'_1=\overrightarrow{Q'A'}=\mathcal{A}(\vec{e}_1)[/math], [math]\vec{e}\,'_2=\overrightarrow{Q'B'}=\mathcal{A}(\vec{e}_2)[/math]. Формулы, задающие такое преобразование [math]\mathcal{A}[/math], имеют вид (2.15), где [math]s[/math] — координатный столбец вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{QQ'}[/math] в базисе [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2\end{pmatrix}[/math], а [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] — матрица перехода от базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{e}\,')=\begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix}[/math]. По рис.2.19, учитывая, что [math]\vec{i}=\frac{1}{8}(\vec{e}_1-\vec{e}_2)[/math] и [math]\vec{j}=\frac{1}{6}(\vec{e}_1+\vec{e}_2)[/math] определяем разложения векторов [math]\vec{s},\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2[/math] по базису [math](\vec{e})[/math]:


[math]\begin{gathered}\vec{s}=8\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}=\frac{8}{8}\cdot(\vec{e}_1-\vec{e}_2)+\frac{2}{6}\cdot(\vec{e}_1+\vec{e}_2)=\frac{4}{3}\cdot\vec{e}_1-\frac{2}{3}\cdot\vec{e}_2;\\[3pt]\vec{e}\,'_1=2\cdot\vec{j}=\frac{2}{6}\cdot(\vec{e}_1+\vec{e}_2)=\frac{1}{3}\vec{e}_1+\frac{1}{3}\cdot\vec{e}_2;\quad\vec{e}\,'_2=\vec{e}_2=0\cdot\vec{e}_1+1\cdot\vec{e}_2.\end{gathered}[/math]

Следовательно, в системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] преобразование (2.15) имеет вид


[math]\begin{pmatrix}y_1\\[2pt]y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}\\[8pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&0\\[8pt]\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix},[/math]

поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов [math]\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2[/math] в базисе [math](\vec{e})[/math].

Найдем координаты образа точки [math]X[/math]. В системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] точка [math]X[/math] имеет координаты [math]x_1=1,~x_2=1[/math],так как [math]\overrightarrow{QX}=1\cdot\vec{e}_1+1\cdot\vec{e}_2[/math]. Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координаты образа:


[math]\begin{pmatrix}y_1\\[2pt]y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}\\[8pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&0\\[8pt]\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\[8pt]\dfrac{2}{3}\end{pmatrix},[/math] то есть [math]\mathop{Y}\limits_{(\vec{e})}\!\left(\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right).[/math]

Заметим, что в новой системе координат [math]Q'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math] точка [math]Y=\mathcal{A}(X)[/math] имеет координаты [math]\mathop{Y}\limits_{(\vec{e}\,')}(1,1)[/math], которые совпадают с координатами точки [math]\mathop{X}\limits_{(\vec{e})}(1,1)[/math] в старой системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math].


б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем:


[math]\begin{aligned}Q'&=\mathcal{A}(Q)\colon\quad\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix},\\[3pt]A'&=\mathcal{A}(A)\colon\quad\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix},\\[3pt]B'&=\mathcal{A}(B)\colon\quad\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}.\end{aligned}[/math]

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем


[math]\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}[/math] и [math]\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix},[/math] т.е. [math]\left\{\!\!\begin{aligned}4a_{11}+3a_{12}&=0,\\4a_{21}+3a_{22}&=2,\\-4a_{11}+3a_{12}&=-4,\\-4a_{21}+3a_{22}&=3.\end{aligned}\right.[/math]

Решая эту систему, находим элементы матрицы [math]A= \begin{pmatrix} 1/2& -2/3\\-1/8& 5/6 \end{pmatrix}[/math], после чего определяем столбец [math]a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}29/3\\29/12\end{pmatrix}[/math]. Таким образом, искомое преобразование [math]\mathcal{A}[/math] в заданной прямоугольной системе координат имеет вид


[math]\begin{pmatrix}y_1\\[2pt]y_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_1\\[2pt]a_2 \end{pmatrix}+ A\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{29}{3}\\[8pt] \dfrac{29}{12}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{2}{3}\\[8pt]-\dfrac{1}{8}&\dfrac{5}{6}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}.[/math]

Найдем координаты образа точки [math]X(2,7)[/math]:


[math]\begin{pmatrix}y_1\\[2pt]y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{29}{3}\\[8pt]\dfrac{29}{12}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{2}{3}\\[8pt]-\dfrac{1}{8}&\dfrac{5}{6}\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\[2pt]7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[2pt]8\end{pmatrix},[/math] то есть [math]Y(6,8)[/math].

Получим теперь формулы аффинного преобразования [math]\mathcal{A}[/math] в системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math], используя связи (2.12). Учитывая, что переход от прямоугольной системы координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] системе координат [math]Q\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] определяется матрицей [math]S=\begin{pmatrix}4&-4\\3&3\end{pmatrix}[/math] столбцом [math]s=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}[/math] поскольку [math]\vec{s}=\overrightarrow{OQ}[/math], [math]\vec{e}_1=4\vec{i}+3\vec{j}[/math], [math]\vec{e}_2=-4\vec{i}+3\vec{j}[/math] находим


[math]\begin{aligned}\mathop{A'}\limits_{(\vec{e})}&=S^{-1}\cdot A\cdot S={\begin{pmatrix}4&-4\\[2pt]3&3\end{pmatrix}\!}^{-1}\cdot\!\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{2}{3}\\[8pt]-\dfrac{1}{8}&\dfrac{5}{6}\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}4&-4\\[2pt]3&3\end{pmatrix}=\\ &=\frac{1}{24}\cdot\!\begin{pmatrix}3&4\\[2pt]-3&4\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-4\\[2pt]2&3\end{pmatrix}=\frac{1}{24}\cdot\!\begin{pmatrix}8&0\\[2pt]-8&24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&0\\[8pt]\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}\!,\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned} \mathop{a'}\limits_{(\vec{e})}&= S^{-1}\cdot(a+A\cdot s-s)= {\begin{pmatrix} 4&-4\\ 3&3 \end{pmatrix}\!}^{-1} \cdot\! \left[\begin{pmatrix}\dfrac{29}{3}\\[8pt]\dfrac{29}{12}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{2}{3}\\[8pt]-\dfrac{1}{8}&\dfrac{5}{6}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}\right]=\\[2pt] &=\frac{1}{24}\cdot\! \begin{pmatrix}3&4\\[2pt]-3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{29}{3}+1-\dfrac{2}{3}-2\\[8pt]\dfrac{29}{12}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}-1\end{pmatrix}= \frac{1}{24}\cdot\! \begin{pmatrix}3&4\\[2pt]-3&4\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}8\\[2pt]2\end{pmatrix}= \frac{1}{24}\cdot\!\begin{pmatrix}32\\[2pt]16 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{4}{3}\\[8pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix},\end{aligned}[/math]

что совпадает с результатами пункта "а".



Свойства аффинных преобразований плоскости



1. Аффинное преобразование взаимно однозначное, кроме того:

а) преобразование, обратное к аффинному, является также аффинным;
б) композиция аффинных преобразований является также аффинным преобразованием.

2. При аффинном преобразовании векторы преобразуются следующим образом:

г) равные векторы — в равные;
б) коллинеарные — в коллинеарные, причем отношение коллинеарных векторов сохраняется;
в) неколлинеарные — в неколлинеарные.

3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.


4. При аффинном преобразовании (2.11) площадь любого параллелограмма изменяется в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и то же число (называемое коэффициентом искажения площади): [math]S_{\ast'}=\vert\det\vert\cdot S_{\ast}[/math], где [math]S_{\ast}[/math] — площадь параллелограмма, a [math]S_{\ast'}[/math] — площадь образа этого параллелограмма. Другими словами, коэффициент искажения площади при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования.


Первое свойство следует из обратимости матрицы [math]A[/math] аффинного преобразования, поскольку из (2.11) можно выразить координаты прообраза через координаты образа:


[math]x=-A^{-1}\cdot a+A^{-1}\cdot y.[/math]

Заметим, что эти формулы имеют тот же вид, что и (2.11), т.е. преобразование, обратное к аффинному, является аффинным преобразованием с матрицей [math]A^{-1}[/math] и вектором переноса [math](-A^{-1}\cdot a)[/math]. Композиция аффинных преобразований [math]y=a+A\cdot x[/math] и [math]z=b+B\cdot y[/math]:


[math]z=b+B\cdot\underbrace{(a+A\cdot x)}_{y}=b+B\cdot a+B\cdot A\cdot x[/math]

также является аффинным преобразованием с матрицей [math]B\cdot A[/math] (невырожденной в силу невырожденности [math]B[/math] и [math]A[/math]) и вектором переноса [math]b+B\cdot a[/math].

Докажем второе свойство. Пусть ненулевые векторы [math]\vec{v}[/math] и [math]\vec{w}[/math] коллинеарны, причем [math]\frac{\vec{v}}{\vec{w}}=\lambda[/math]. Надо доказать, что их образы [math]\vec{v}\,'=\mathcal{A}(\vec{v})[/math] и [math]\vec{w}\,'=\mathcal{A}(\vec{w})[/math] также коллинеарны и [math]\frac{\vec{v}\,'}{\vec{w}\,'}=\lambda[/math]. Действительно, если [math]{ v}[/math] и [math]w[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{v}[/math] и [math]\vec{w}[/math], то [math]v=\lambda\cdot w[/math]. Тогда для координатных столбцов [math]v'[/math] и [math]w'[/math] (векторов [math]\vec{v}\,'[/math] и [math]\vec{w}\,'[/math]) по формуле (2.14) получаем (см. пункт 4 замечаний 2.4):


[math]v'=A\cdot v=A\cdot\underbrace{\lambda\cdot w}_{v}=\lambda\cdot\underbrace{A\cdot w}_{w'}=\lambda\cdot w',[/math] то есть [math]v'=\lambda\cdot w'.[/math]

Следовательно, [math]\vec{v}\,'=\lambda\cdot\vec{w}\,'[/math], т.е. векторы [math]\vec{v}\,'[/math] и [math]\vec{w}\,'[/math] коллинеарны и [math]\frac{\vec{v}\,'}{\vec{w}\,'}=\lambda[/math]. Если же хотя бы один из векторов нулевой, например, [math]\vec{v}=\vec{o}[/math], то его образ (по свойству 2) также нулевой вектор [math]\vec{v}\,'=\vec{o}[/math], который коллинеарен любому вектору [math]\vec{w}\,'[/math]. При [math]\lambda=1[/math] получаем, что равные векторы преобразуются в равные. Наконец, неколлинеарные векторы не могут преобразоваться в коллинеарные, поскольку в этом случае при обратном преобразовании коллинеарные векторы преобразуются в неколлинеарные, что противоречит пункту 2,"б".


Третье свойство следует из второго (см. пункт 2,"б"). Действительно, пусть точки [math]A,B,C[/math] отображаются в точки [math]A',B',C'[/math] соответственно. Если точка [math]C[/math] делит отрезок [math]AB[/math] в отношении [math]AC:CB=\alpha:\beta[/math], то векторы [math]\overrightarrow{AC}[/math] и [math]\overrightarrow{AB}[/math] коллинеарные и [math]\overrightarrow{AC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{AB}[/math]. По свойству 2 пункта "б" векторы [math]\overrightarrow{A'C'}[/math] и [math]\overrightarrow{A'B'}[/math] также коллинеарны и [math]\overrightarrow{A'C'}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{A'B'}[/math], т.е. точка [math]C'[/math] делит отрезок [math]A'B'[/math] в отношенииПараллелограмм, построенный на базисных векторах, и его образ


[math]A'C':C'B'=\alpha:\beta=AC:CB\,.[/math]

Обсудим четвертое свойство. На рис.2.20 заштрихованы параллелограмм, построенный на базисных векторах [math]\vec{e}_1\vec{e}_2[/math], и его образ (параллелограмм, построенный на базисных векторах [math]\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2[/math]). Справедливость утверждения для параллелограммов следует из свойства 3 матрицы перехода от одного базиса к другому. Любой параллелограмм разбивается диагональю на два равных треугольника. Следовательно, утверждение справедливо для треугольников, а значит и для многоугольников, поскольку любой многоугольник разбивается на конечное число треугольников. Средствами математического анализа это свойство может быть распространено на произвольную измеримую плоскую фигуру.




Замечания 2.5


1. Третье свойство является характеристическим для аффинного преобразования и может быть взято в качестве эквивалентного определения.


2. Преобразование (2.11) для произвольной квадратной матрицы [math]A[/math] (быть может, вырожденной) называется линейным, при этом матрица [math]A[/math] называется матрицей линейного преобразования. Любое аффинное преобразование является линейным, но не всякое линейное преобразование является аффинным.


3. Квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]A'[/math], связанные соотношением [math]A'=S^{-1}\cdot A\cdot S[/math], называются подобными, а матрица [math]S[/math] — преобразующей. В силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved