Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аффинные преобразования координат

Аффинные преобразования координат


Рассмотрим аффинное преобразование системы координат в пространстве.


Пусть в пространстве заданы две системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3[/math] и [math]O\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_3[/math]. Первую систему координат будем условно называть "старой", а вторую — "новой". Тогда базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] — "старый", а базис [math]\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3[/math] — "новый". Старый и новый базисы представим в виде символических матриц-строк: [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\end{pmatrix}[/math], [math](\vec{e}\,')=\begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2&\vec{e}\,'_3\end{pmatrix}[/math]. Поставим следующие задачи:


1) нахождения координат вектора в новом базисе по координатам того же вектора в старом базисе;

2) нахождения координат точки в новой системе координат по координатам той же точки в старой системе координат.




Преобразование координат вектора при замене базиса


Пусть известны координаты векторов нового базиса относительно старого базиса:


[math]\left\{\!\begin{aligned} \vec{e}\,'_1&= s_{11}\cdot\vec{e}_1+ s_{21}\cdot\vec{e}_2+s_{31}\cdot\vec{e}_3,\\[2pt] \vec{e}\,'_2&= s_{12}\cdot\vec{e}_1+ s_{22}\cdot\vec{e}_2+ s_{32}\cdot\vec{e}_3,\\[2pt]\vec{e}\,'_3&= s_{13}\cdot\vec{e}_1+ s_{23}\cdot\vec{e}_2+ s_{33}\cdot\vec{e}_3. \end{aligned}\right.[/math]
(2.1)

Записывая по столбцам координаты векторов [math]\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], составляем матрицу:


[math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}= \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}& s_{13}\\[2pt] s_{21}& s_{22}& s_{23}\\[2pt] s_{31}& s_{32}& s_{33} \end{pmatrix}.[/math]
(2.2)

Квадратная матрица [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math], составленная из координатных столбцов векторов нового базиса [math](\vec{e}\,')[/math] в старом базисе [math](\vec{e})[/math], называется матрицей перехода от старого базиса к новому (матрицей преобразования базиса).


При помощи матрицы перехода (2.2) формулы (2.1) можно записать в виде:


[math]\begin{pmatrix} \vec{e}\,'_1& \vec{e}\,'_2& \vec{e}\,'_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{e}_1& \vec{e}_2& \vec{e}_3 \end{pmatrix}\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad (\vec{e}\,')=(\vec{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}.[/math]
(2.3)

Умножение символической матрицы-строки [math](\vec{e})[/math] на матрицу перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] в (2.3) производится по правилам умножения матриц (см. разд.П.3).


Пусть в базисе [math](\vec{e})[/math] вектор [math]\vec{v}[/math] имеет координаты [math]v_1,v_2,v_3[/math], а в базисе [math](\vec{e}\,')[/math] — координаты [math]v'_1,v'_2,v'_3[/math], т.е.


[math]\vec{v}=v_1\cdot\vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3=v'_1\cdot\vec{e}\,'_1+v'_2\cdot\vec{e}\,'_2+v'_3\cdot\vec{e}\,'_3[/math] или, короче, [math]\vec{v}=(\vec{e})\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=(\vec{e}\,')\mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')},[/math]

где [math]\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}^T,~\mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\begin{pmatrix}v'_1&v'_2&v'_3\end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы вектора [math]\vec{v}[/math].

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (2.3), получаем [math]\vec{v}=(\vec{e})\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=(\vec{e})\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\mathop{\vec{v}\,'}\limits_{(\vec{e}\,')}[/math] — два разложения вектора [math]\vec{v}[/math] в одном и том же базисе [math](\vec{e})[/math]. Коэффициенты этих разложений совпадают (по теореме 1.5), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому


[math]\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot \mathop{\vec{v}\,'}\limits_{(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix}v'_1\\v'_2\\v'_3\end{pmatrix}.[/math]
(2.4)

Формула (2.4) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.


Аналогично находится связь координат вектора на плоскости при замене базиса:


[math]\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot \mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix}v'_1\\v'_2\end{pmatrix}.[/math]
(2.5)

где [math]\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}\!,\, \begin{pmatrix} v'_1\\v'_2\end{pmatrix}[/math] — координатные столбцы вектора [math]\vec{v}[/math] относительно базисов [math](\vec{e})= \begin{pmatrix} \vec{e}_1& \vec{e}_2 \end{pmatrix}[/math] и [math](\vec{e}\,')= \begin{pmatrix} \vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix}[/math] на плоскости соответственно, [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}[/math] — матрица перехода от базиса [math](\vec{e})[/math] к базису [math](\vec{e}\,')[/math].




Матрица перехода от одного базиса к другому обладает следующими свойствами.


1. Пусть в пространстве имеются три базиса [math](\vec{e}),(\vec{f}),(\vec{g})[/math] и известны матрицы перехода: [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] от базиса [math](\vec{e})[/math] к базису [math](\vec{f})[/math]; [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}[/math] от [math](\vec{f})[/math] к [math](\vec{g})[/math]; [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}[/math] от [math](\vec{e})[/math] к [math](\vec{g})[/math]. Тогда матрица [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}[/math] композиции преобразований базисов [math](\vec{e})\to(\vec{f})[/math] и [math](\vec{f})\to(\vec{g})[/math] равна произведению матриц преобразований базисов:


[math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}.[/math]
(2.6)

[b]2. Если [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] -матрица перехода от базиса [math](\vec{e})[/math] к базису [math](\vec{f})[/math], то матрица [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] обратимая (невырожденная) и обратная матрица является матрицей перехода от базиса [math](\vec{f})[/math] к базису [math](\vec{e})\colon\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}[/math]. Координаты вектора [math]\vec{v}[/math] в базисах [math](\vec{e})[/math] и [math](\vec{f})[/math] связаны формулами:


[math]\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{f})},\qquad \mathop{v}\limits_{(\vec{f})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}.[/math]

3. Определитель матрицы [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}[/math] перехода от базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2&\vec{f}_3\end{pmatrix}[/math] к базмсу [math](\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{pmatrix}[/math] равен отношению ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,а):


[math]\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\frac{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)}{(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3)}.[/math]

Определитель матрицы [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}[/math] перехода от базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math] на плоскости к базису [math](\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2\end{pmatrix}[/math] равен отношению ориентированных площадей параллелограммов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,б):


[math]\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\frac{\vec{g}_1\land\vec{g}_2}{\vec{f}_1\land\vec{f}_2}.[/math]

Определитель матрицы перехода положительный, если эти базисы одноименные (оба правых или оба левых), и отрицательный, если базисы разноименные (один правый, а другой левый).


Ориентированные площади и объёмы параллелограммов, построенные на базисных векторах

4. Любая невырожденная квадратная матрица (2-го или 3-го порядков) может служить матрицей перехода от базиса к базису (на плоскости или в пространстве соответственно).




Докажем первое свойство. Запишем связь (2.4) для данных базисов:


[math](\vec{f})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})};\qquad (\vec{g})=(\vec{f})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})};\qquad (\vec{g})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}.[/math]

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем [math](\vec{g})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}[/math]. Сравнивая с третьим равенством, приходим к (2.6).


Докажем второе свойство. Пусть [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}[/math] — матрица перехода от базиса [math](\vec{f})[/math] к базису [math](\vec{e})[/math]. Учитывая, что матрица перехода от базиса [math](\vec{e})[/math] к базису [math](\vec{e}[/math] — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам [math](\vec{e}),(\vec{f}),(\vec{e})\colon E=\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}[/math]. Для трех базисов [math](\vec{f}),(\vec{e}),(\vec{f})[/math] аналогично получаем: [math]E=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math]. Следовательно, [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] (см.разд.П.9).


Докажем третье свойство для базисов в пространстве. Пусть [math]\mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\\f_{31}&f_{32}&f_{33}\end{pmatrix}[/math] матрица перехода от стандартного базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2&\vec{f}_3\end{pmatrix}[/math], где [math]\vec{f}_1=f_{11}\vec{i}+f_{21}\vec{j}+f_{31}\vec{k}[/math], [math]\vec{f}_2=f_{12}\vec{i}+f_{22}\vec{j}+f_{32}\vec{k}[/math], [math]\vec{f}_3=f_{13}\vec{i}+f_{23}\vec{j}+f_{33}\vec{k}[/math]. По формуле (1.20) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3[/math] смешанному произведению [math](\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3)[/math] или, что то же самое, определителю [math]\det\mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math]. Аналогично, если [math]\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}[/math] — матрица перехода от стандартного базиса к базису [math](\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{pmatrix}[/math], то [math]\det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}=(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)[/math]. Из первых двух свойств матрицы перехода следует, что [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\mathop{F^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}[/math]. По свойствам определителя (см. разд.П.9)


[math]\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\det\mathop{F^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}=\frac{\det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}}{\det\mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}}=\frac{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)}{(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3)},[/math] что и требовалось доказать.



Преобразование координат точки при замене системы координат


Связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве

Пусть в пространстве заданы две системы координат [math]O\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] (старая) и [math]O\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3[/math] (новая), известна матрица (2.2) перехода от базиса [math](\vec{e})[/math] к базису [math](\vec{e}\,')[/math], а также координаты вектора переноса начала координат [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] в старом базисе [math](\vec{e})[/math]:


[math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=s_1\cdot\vec{e}_1+s_2\cdot\vec{e}_2+s_3\cdot\vec{e}_3.[/math]

Пусть [math]X(x_1,x_2,x_3)[/math] и [math]X(x'_1,x'_2,x'_3)[/math] — координаты точки [math]X[/math] относительно старой и новой систем координат. Требуется найти формулы, связывающие старые и новые координаты точки [math]X[/math] (рис.2.9).


Запишем векторное равенство [math]\overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OO'}+ \overrightarrow{O'X}[/math] в координатной форме (в старом базисе [math](\vec{e})[/math]), учитывая, что координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки, а старые и новые координаты вектора [math]\overrightarrow{O'X}[/math] связаны формулой (2.4). Получим


[math]\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}& s_{13}\\ s_{21}& s_{22}& s_{23}\\ s_{31}& s_{32}& s_{33} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}~~ \Leftrightarrow~~ \mathop{x}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')} \cdot \mathop{x'}\limits_{(\vec{e}\,')}.[/math]
(2.7)

Формула (2.7) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве, выражая старые координаты через новые.


Аналогичная формула


[math]\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s_1\\s_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}\\ s_{21}& s_{22} \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}~~ \Leftrightarrow~~ \mathop{x}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')}\cdot \mathop{x'}\limits_{(\vec{e}\,')}.[/math]
(2.8)

устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат на плоскости, выражая старые координаты через новые.

Формулы вида (2.7) или (2.8): [math]x=s+S\cdot x'[/math] с любой невырожденной матрицей [math]S[/math] задают аффинное преобразование координат на плоскости или в пространстве. По этим формулам можно для любой старой системы координат установить новую систему координат, поскольку известен вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат (координатный столбец [math]s[/math]) и координаты новых базисных векторов в старом базисе (координатные столбцы являются столбцами матрицы [math]S[/math]), и наоборот, по новой системе координат восстановить старую.




Пример 2.4. В прямоугольной системе координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] на плоскости заданы векторы [math]\vec{f}_1=2\vec{i}+\vec{j},[/math] [math]\vec{f}_2=-\vec{i}+2\vec{j}[/math] и точки [math]O'(3,1),~A(-1,3)[/math] (рис.2.10).Требуется найти:


Векторы в прямоугольной системе координат на плоскости

а) матрицу перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] от стандартного базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math];


б) ориентацию базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math];


в) матрицу перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')}[/math] от стандартного базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{f}\,')=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math];


г) матрицу перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}[/math] от базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math];


д) координаты вектора [math]\vec{a}=\overrightarrow{OA}[/math] в базисе [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math];


е) координаты точки [math]A[/math] в системе координат [math]O'\vec{f}_1\vec{f}_2[/math].


Решение. а) Составляем искомую матрицу [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math], записывая координаты векторов [math]\vec{f}_1,\vec{f}_2[/math] по столбцам: [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}[/math].


б) Определитель найденной матрицы [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math] положительный: [math]\det\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=5[/math], поэтому базис [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math] ориентирован также как стандартный (см. свойство 3 матрицы перехода), т.е. является правым.


в) Составляем искомую матрицу [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')}[/math], записывая координаты векторов [math]\vec{f}_1,\vec{f}_2[/math] (в указанном порядке) по столбцам: [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')}=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}[/math].


г) Учитывая свойство 2, матрицей перехода от базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math] к базису [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math] служит матрица, обратная для [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}[/math]:


[math]\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,\!4&0,\!2\\-0,\!2&0,\!4\end{pmatrix}.[/math]

д) Вектор [math]\vec{a}=\overrightarrow{OA}[/math] является радиус-вектором точки [math]A[/math], поэтому известны его координаты [math](-1,3)[/math] в стандартном базисе [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}[/math]. Составим координатный столбец [math]a=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}[/math] вектора [math]\vec{a}[/math] в стандартном базисе. Координатный столбец [math]a'[/math] этого вектора относительно базиса [math](\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix}[/math] связан с его координатным столбцом [math]a[/math] формулой [math]a'=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot a[/math], следующей из свойства 2 матрицы перехода. Учитывая пункт "г", вычисляем


[math]a'=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot a=\begin{pmatrix}0,\!4&0,\!2\\-0,\!2&0,\!4\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,\!2\\1,\!4\end{pmatrix}[/math], то есть [math]\vec{a}=0,\!2\cdot\vec{f}_1+1,\!4\cdot\vec{f}_2[/math].

е) Составляем координатный столбец [math]s=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}[/math], вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] (радиус-вектор точки [math]O'[/math]) и записываем связь (2.8):


[math]\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{cases}2x'_1-x'_2=-4,\\x'_1+2x'_2=2.\end{cases}[/math]

Решая эту систему, находим координаты [math]x'_1=-1,\!2;~x'_2=1,\!6[/math] точки [math]A[/math] в системе координат [math]O'\vec{f}_1\vec{f}_2[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved