Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Аффинные преобразования координат

Аффинные преобразования координат


Рассмотрим аффинное преобразование системы координат в пространстве.


Пусть в пространстве заданы две системы координат O\vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3 и O\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2\vec{e}\,'_3. Первую систему координат будем условно называть "старой", а вторую — "новой". Тогда базис \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 — "старый", а базис \vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3 — "новый". Старый и новый базисы представим в виде символических матриц-строк: (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\end{pmatrix}, (\vec{e}\,')=\begin{pmatrix}\vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2&\vec{e}\,'_3\end{pmatrix}. Поставим следующие задачи:


1) нахождения координат вектора в новом базисе по координатам того же вектора в старом базисе;

2) нахождения координат точки в новой системе координат по координатам той же точки в старой системе координат.




Преобразование координат вектора при замене базиса


Пусть известны координаты векторов нового базиса относительно старого базиса:


\left\{\!\begin{aligned} \vec{e}\,'_1&= s_{11}\cdot\vec{e}_1+ s_{21}\cdot\vec{e}_2+s_{31}\cdot\vec{e}_3,\\[2pt] \vec{e}\,'_2&= s_{12}\cdot\vec{e}_1+ s_{22}\cdot\vec{e}_2+ s_{32}\cdot\vec{e}_3,\\[2pt]\vec{e}\,'_3&= s_{13}\cdot\vec{e}_1+ s_{23}\cdot\vec{e}_2+ s_{33}\cdot\vec{e}_3. \end{aligned}\right.
(2.1)

Записывая по столбцам координаты векторов \vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3 относительно базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, составляем матрицу:


\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}= \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}& s_{13}\\[2pt] s_{21}& s_{22}& s_{23}\\[2pt] s_{31}& s_{32}& s_{33} \end{pmatrix}.
(2.2)

Квадратная матрица \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}, составленная из координатных столбцов векторов нового базиса (\vec{e}\,') в старом базисе (\vec{e}), называется матрицей перехода от старого базиса к новому (матрицей преобразования базиса).


При помощи матрицы перехода (2.2) формулы (2.1) можно записать в виде:


\begin{pmatrix} \vec{e}\,'_1& \vec{e}\,'_2& \vec{e}\,'_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{e}_1& \vec{e}_2& \vec{e}_3 \end{pmatrix}\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad (\vec{e}\,')=(\vec{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}.
(2.3)

Умножение символической матрицы-строки (\vec{e}) на матрицу перехода \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')} в (2.3) производится по правилам умножения матриц (см. разд.П.3).


Пусть в базисе (\vec{e}) вектор \vec{v} имеет координаты v_1,v_2,v_3, а в базисе (\vec{e}\,') — координаты v'_1,v'_2,v'_3, т.е.


\vec{v}=v_1\cdot\vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3=v'_1\cdot\vec{e}\,'_1+v'_2\cdot\vec{e}\,'_2+v'_3\cdot\vec{e}\,'_3 или, короче, \vec{v}=(\vec{e})\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=(\vec{e}\,')\mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')},

где \mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}^T,~\mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')}=\begin{pmatrix}v'_1&v'_2&v'_3\end{pmatrix}^T — координатные столбцы вектора \vec{v}.


Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (2.3), получаем \vec{v}=(\vec{e})\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=(\vec{e})\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\mathop{\vec{v}\,'}\limits_{(\vec{e}\,')} — два разложения вектора \vec{v} в одном и том же базисе (\vec{e}). Коэффициенты этих разложений совпадают (по теореме 1.5), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому


\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot \mathop{\vec{v}\,'}\limits_{(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix}v'_1\\v'_2\\v'_3\end{pmatrix}.
(2.4)

Формула (2.4) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.


Аналогично находится связь координат вектора на плоскости при замене базиса:


\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}\cdot \mathop{v'}\limits_{(\vec{e}\,')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix}v'_1\\v'_2\end{pmatrix}.
(2.5)

где \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}\!,\, \begin{pmatrix} v'_1\\v'_2\end{pmatrix} — координатные столбцы вектора \vec{v} относительно базисов (\vec{e})= \begin{pmatrix} \vec{e}_1& \vec{e}_2 \end{pmatrix} и (\vec{e}\,')= \begin{pmatrix} \vec{e}\,'_1&\vec{e}\,'_2\end{pmatrix} на плоскости соответственно, \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix} — матрица перехода от базиса (\vec{e}) к базису (\vec{e}\,').




Матрица перехода от одного базиса к другому обладает следующими свойствами.


1. Пусть в пространстве имеются три базиса (\vec{e}),(\vec{f}),(\vec{g}) и известны матрицы перехода: \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} от базиса (\vec{e}) к базису (\vec{f}); \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})} от (\vec{f}) к (\vec{g}); \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})} от (\vec{e}) к (\vec{g}). Тогда матрица \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})} композиции преобразований базисов (\vec{e})\to(\vec{f}) и (\vec{f})\to(\vec{g}) равна произведению матриц преобразований базисов:


\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}= \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}.
(2.6)

2. Если \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} -матрица перехода от базиса (\vec{e}) к базису (\vec{f}), то матрица \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} обратимая (невырожденная) и обратная матрица является матрицей перехода от базиса (\vec{f}) к базису (\vec{e})\colon\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}. Координаты вектора \vec{v} в базисах (\vec{e}) и (\vec{f}) связаны формулами:


\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{f})},\qquad \mathop{v}\limits_{(\vec{f})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}\cdot\mathop{v}\limits_{(\vec{e})}.

3. Определитель матрицы \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})} перехода от базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2&\vec{f}_3\end{pmatrix} к базмсу (\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{pmatrix} равен отношению ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,а):


\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\frac{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)}{(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3)}.

Определитель матрицы \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})} перехода от базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix} на плоскости к базису (\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2\end{pmatrix} равен отношению ориентированных площадей параллелограммов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,б):


\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\frac{\vec{g}_1\land\vec{g}_2}{\vec{f}_1\land\vec{f}_2}.

Определитель матрицы перехода положительный, если эти базисы одноименные (оба правых или оба левых), и отрицательный, если базисы разноименные (один правый, а другой левый).


Ориентированные площади и объёмы параллелограммов, построенные на базисных векторах

4. Любая невырожденная квадратная матрица (2-го или 3-го порядков) может служить матрицей перехода от базиса к базису (на плоскости или в пространстве соответственно).




Докажем первое свойство. Запишем связь (2.4) для данных базисов:


(\vec{f})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})};\qquad (\vec{g})=(\vec{f})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})};\qquad (\vec{g})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}.

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем (\vec{g})=(\vec{e})\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}. Сравнивая с третьим равенством, приходим к (2.6).


Докажем второе свойство. Пусть \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})} — матрица перехода от базиса (\vec{f}) к базису (\vec{e}). Учитывая, что матрица перехода от базиса (\vec{e}) к базису (\vec{e} — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам (\vec{e}),(\vec{f}),(\vec{e})\colon E=\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}. Для трех базисов (\vec{f}),(\vec{e}),(\vec{f}) аналогично получаем: E=\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}\cdot\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}. Следовательно, \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} (см.разд.П.9).


Докажем третье свойство для базисов в пространстве. Пусть \mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\\f_{31}&f_{32}&f_{33}\end{pmatrix} матрица перехода от стандартного базиса (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\end{pmatrix} к базису (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2&\vec{f}_3\end{pmatrix}, где \vec{f}_1=f_{11}\vec{i}+f_{21}\vec{j}+f_{31}\vec{k}, \vec{f}_2=f_{12}\vec{i}+f_{22}\vec{j}+f_{32}\vec{k}, \vec{f}_3=f_{13}\vec{i}+f_{23}\vec{j}+f_{33}\vec{k}. По формуле (1.20) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3 смешанному произведению (\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3) или, что то же самое, определителю \det\mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}. Аналогично, если \mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})} — матрица перехода от стандартного базиса к базису (\vec{g})=\begin{pmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{pmatrix}, то \det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}=(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3). Из первых двух свойств матрицы перехода следует, что \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\mathop{F^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}. По свойствам определителя (см. разд.П.9)


\det\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{g})}=\det\mathop{F^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot\det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}=\frac{\det\mathop{G}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{g})}}{\det\mathop{F}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}}=\frac{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)}{(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3)}, что и требовалось доказать.



Преобразование координат точки при замене системы координат


Связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве

Пусть в пространстве заданы две системы координат O\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 (старая) и O\vec{e}\,'_1,\vec{e}\,'_2,\vec{e}\,'_3 (новая), известна матрица (2.2) перехода от базиса (\vec{e}) к базису (\vec{e}\,'), а также координаты вектора переноса начала координат \vec{s}=\overrightarrow{OO'} в старом базисе (\vec{e}):


\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=s_1\cdot\vec{e}_1+s_2\cdot\vec{e}_2+s_3\cdot\vec{e}_3.

Пусть X(x_1,x_2,x_3) и X(x'_1,x'_2,x'_3) — координаты точки X относительно старой и новой систем координат. Требуется найти формулы, связывающие старые и новые координаты точки X (рис.2.9).


Запишем векторное равенство \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OO'}+ \overrightarrow{O'X} в координатной форме (в старом базисе (\vec{e})), учитывая, что координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки, а старые и новые координаты вектора \overrightarrow{O'X} связаны формулой (2.4). Получим


\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}& s_{13}\\ s_{21}& s_{22}& s_{23}\\ s_{31}& s_{32}& s_{33} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}~~ \Leftrightarrow~~ \mathop{x}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')} \cdot \mathop{x'}\limits_{(\vec{e}\,')}.
(2.7)

Формула (2.7) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве, выражая старые координаты через новые.


Аналогичная формула


\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s_1\\s_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} s_{11}& s_{12}\\ s_{21}& s_{22} \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}~~ \Leftrightarrow~~ \mathop{x}\limits_{(\vec{e})}= \mathop{s}\limits_{(\vec{e})}+ \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to (\vec{e}\,')}\cdot \mathop{x'}\limits_{(\vec{e}\,')}.
(2.8)

устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат на плоскости, выражая старые координаты через новые.


Формулы вида (2.7) или (2.8): x=s+S\cdot x' с любой невырожденной матрицей S задают аффинное преобразование координат на плоскости или в пространстве. По этим формулам можно для любой старой системы координат установить новую систему координат, поскольку известен вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'} переноса начала координат (координатный столбец s) и координаты новых базисных векторов в старом базисе (координатные столбцы являются столбцами матрицы S), и наоборот, по новой системе координат восстановить старую.




Пример 2.4. В прямоугольной системе координат O\vec{i}\vec{j} на плоскости заданы векторы \vec{f}_1=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{f}_2=-\vec{i}+2\vec{j} и точки O'(3,1),~A(-1,3) (рис.2.10).Требуется найти:


Векторы в прямоугольной системе координат на плоскости

а) матрицу перехода \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} от стандартного базиса (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix} к базису (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix};


б) ориентацию базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix};


в) матрицу перехода \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')} от стандартного базиса (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix} к базису (\vec{f}\,')=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix};


г) матрицу перехода \mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})} от базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix} к базису (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix};


д) координаты вектора \vec{a}=\overrightarrow{OA} в базисе (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix};


е) координаты точки A в системе координат O'\vec{f}_1\vec{f}_2.


Решение. а) Составляем искомую матрицу \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}, записывая координаты векторов \vec{f}_1,\vec{f}_2 по столбцам: \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}.


б) Определитель найденной матрицы \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})} положительный: \det\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=5, поэтому базис (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix} ориентирован также как стандартный (см. свойство 3 матрицы перехода), т.е. является правым.


в) Составляем искомую матрицу \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')}, записывая координаты векторов \vec{f}_1,\vec{f}_2 (в указанном порядке) по столбцам: \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f}\,')}=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}.


г) Учитывая свойство 2, матрицей перехода от базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix} к базису (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix} служит матрица, обратная для \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}:


\mathop{S}\limits_{(\vec{f})\to(\vec{e})}=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,\!4&0,\!2\\-0,\!2&0,\!4\end{pmatrix}.

д) Вектор \vec{a}=\overrightarrow{OA} является радиус-вектором точки A, поэтому известны его координаты (-1,3) в стандартном базисе (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}\end{pmatrix}. Составим координатный столбец a=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} вектора \vec{a} в стандартном базисе. Координатный столбец a' этого вектора относительно базиса (\vec{f})=\begin{pmatrix}\vec{f}_1&\vec{f}_2\end{pmatrix} связан с его координатным столбцом a формулой a'=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot a, следующей из свойства 2 матрицы перехода. Учитывая пункт "г", вычисляем


a'=\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{f})}\cdot a=\begin{pmatrix}0,\!4&0,\!2\\-0,\!2&0,\!4\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,\!2\\1,\!4\end{pmatrix}, то есть \vec{a}=0,\!2\cdot\vec{f}_1+1,\!4\cdot\vec{f}_2.

е) Составляем координатный столбец s=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, вектора \vec{s}=\overrightarrow{OO'} (радиус-вектор точки O') и записываем связь (2.8):


\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{cases}2x'_1-x'_2=-4,\\x'_1+2x'_2=2.\end{cases}

Решая эту систему, находим координаты x'_1=-1,\!2;~x'_2=1,\!6 точки A в системе координат O'\vec{f}_1\vec{f}_2.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved