Аффинные преобразования координат
Рассмотрим аффинное преобразование системы координат в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две системы координат и . Первую систему координат будем условно называть "старой", а вторую — "новой". Тогда базис — "старый", а базис — "новый". Старый и новый базисы представим в виде символических матриц-строк: , . Поставим следующие задачи:
1) нахождения координат вектора в новом базисе по координатам того же вектора в старом базисе; 2) нахождения координат точки в новой системе координат по координатам той же точки в старой системе координат.
Преобразование координат вектора при замене базиса
Пусть известны координаты векторов нового базиса относительно старого базиса:
(2.1)
Записывая по столбцам координаты векторов относительно базиса , составляем матрицу:
(2.2)
Квадратная матрица , составленная из координатных столбцов векторов нового базиса в старом базисе , называется матрицей перехода от старого базиса к новому (матрицей преобразования базиса).
При помощи матрицы перехода (2.2) формулы (2.1) можно записать в виде:
(2.3)
Умножение символической матрицы-строки на матрицу перехода в (2.3) производится по правилам умножения матриц (см. разд.П.3).
Пусть в базисе вектор имеет координаты , а в базисе — координаты , т.е.
или, короче,
где — координатные столбцы вектора .
Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (2.3), получаем — два разложения вектора в одном и том же базисе . Коэффициенты этих разложений совпадают (по теореме 1.5), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому
(2.4)
Формула (2.4) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.
Аналогично находится связь координат вектора на плоскости при замене базиса:
(2.5)
где — координатные столбцы вектора относительно базисов и на плоскости соответственно, — матрица перехода от базиса к базису .
Матрица перехода от одного базиса к другому обладает следующими свойствами.
1. Пусть в пространстве имеются три базиса и известны матрицы перехода: от базиса к базису ; от к ; от к . Тогда матрица композиции преобразований базисов и равна произведению матриц преобразований базисов:
(2.6)
2. Если -матрица перехода от базиса к базису , то матрица обратимая (невырожденная) и обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Координаты вектора в базисах и связаны формулами:
3. Определитель матрицы перехода от базиса к базмсу равен отношению ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,а):
Определитель матрицы перехода от базиса на плоскости к базису равен отношению ориентированных площадей параллелограммов, построенных на базисных векторах (рис.2.8,б):
Определитель матрицы перехода положительный, если эти базисы одноименные (оба правых или оба левых), и отрицательный, если базисы разноименные (один правый, а другой левый).
4. Любая невырожденная квадратная матрица (2-го или 3-го порядков) может служить матрицей перехода от базиса к базису (на плоскости или в пространстве соответственно).
Докажем первое свойство. Запишем связь (2.4) для данных базисов:
Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем . Сравнивая с третьим равенством, приходим к (2.6).
Докажем второе свойство. Пусть — матрица перехода от базиса к базису . Учитывая, что матрица перехода от базиса к базису — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам . Для трех базисов аналогично получаем: . Следовательно, (см.разд.П.9).
Докажем третье свойство для базисов в пространстве. Пусть матрица перехода от стандартного базиса к базису , где , , . По формуле (1.20) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах смешанному произведению или, что то же самое, определителю . Аналогично, если — матрица перехода от стандартного базиса к базису , то . Из первых двух свойств матрицы перехода следует, что . По свойствам определителя (см. разд.П.9)
что и требовалось доказать.
Преобразование координат точки при замене системы координат
Пусть в пространстве заданы две системы координат (старая) и (новая), известна матрица (2.2) перехода от базиса к базису , а также координаты вектора переноса начала координат в старом базисе :
Пусть и — координаты точки относительно старой и новой систем координат. Требуется найти формулы, связывающие старые и новые координаты точки (рис.2.9).
Запишем векторное равенство в координатной форме (в старом базисе ), учитывая, что координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки, а старые и новые координаты вектора связаны формулой (2.4). Получим
(2.7)
Формула (2.7) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве, выражая старые координаты через новые.
Аналогичная формула
(2.8)
устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат на плоскости, выражая старые координаты через новые.
Формулы вида (2.7) или (2.8): с любой невырожденной матрицей задают аффинное преобразование координат на плоскости или в пространстве. По этим формулам можно для любой старой системы координат установить новую систему координат, поскольку известен вектор переноса начала координат (координатный столбец ) и координаты новых базисных векторов в старом базисе (координатные столбцы являются столбцами матрицы ), и наоборот, по новой системе координат восстановить старую.
Пример 2.4. В прямоугольной системе координат на плоскости заданы векторы и точки (рис.2.10).Требуется найти:
а) матрицу перехода от стандартного базиса к базису ;
б) ориентацию базиса ;
в) матрицу перехода от стандартного базиса к базису ;
г) матрицу перехода от базиса к базису ;
д) координаты вектора в базисе ;
е) координаты точки в системе координат .
Решение. а) Составляем искомую матрицу , записывая координаты векторов по столбцам: .
б) Определитель найденной матрицы положительный: , поэтому базис ориентирован также как стандартный (см. свойство 3 матрицы перехода), т.е. является правым.
в) Составляем искомую матрицу , записывая координаты векторов (в указанном порядке) по столбцам: .
г) Учитывая свойство 2, матрицей перехода от базиса к базису служит матрица, обратная для :
д) Вектор является радиус-вектором точки , поэтому известны его координаты в стандартном базисе . Составим координатный столбец вектора в стандартном базисе. Координатный столбец этого вектора относительно базиса связан с его координатным столбцом формулой , следующей из свойства 2 матрицы перехода. Учитывая пункт "г", вычисляем
, то есть .
е) Составляем координатный столбец , вектора (радиус-вектор точки ) и записываем связь (2.8):
Решая эту систему, находим координаты точки в системе координат .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|