Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Аффинные координаты

Аффинные координаты


Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве


Пусть в пространстве фиксирована точка O. Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат:


– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) - это точка O и ненулевой вектор \vec{e} на прямой (базис на прямой);


– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) - это точка O и два неколпинеарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2, взятые в определенном порядке (базис на плоскости);


– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) - это точка O и три некомпланарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, взятые в определенном порядке (базис в пространстве).


Аффинная система координат на прямой, на плоскости и в пространстве

Точка O называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: Ox_1 — ось абсцисс, Ox_2 — ось ординат, Ox_3 — ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями.


Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.




Координаты векторов и точек в аффинной системе координат


Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).


Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор \overrightarrow{OA} начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой A (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки A.


Координатами точки A в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора \overrightarrow{OA} в базисе \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, т.е. коэффициенты a_1,a_2,a_3 в разложении \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2+a_3\cdot\vec{e}_3 (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде A(a_1,a_2,a_3). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде A(a_1,a_2) и A(a) согласно разложениям \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2 (рис.2.1,6), \overrightarrow{OA}=a\cdot\vec{e} (рис.2.1,а). Координаты точки A, или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора \overrightarrow{OA} представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):


\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} в пространстве, \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} на плоскости.

Разность векторов в аффинной системе координат

Найдем координаты вектора \overrightarrow{AB} с началом в точке A(a_1,a_2,a_3) и концом в точке B(b_1,b_2,b_3). Рассмотрим треугольник OAB (рис.2.2). Радиус-векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} представляются в виде \overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{a}_2+a_3\cdot\vec{e}_3, \overrightarrow{OB}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{a}_2+b_3\cdot\vec{e}_3. По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(b_1-a_1)\vec{e}_1+(b_2-a_2)\vec{e}_2+(b_3-a_3)\vec{e}_3, т.е. вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3. Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.




Замечания 2.1.


1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:


(точка) \leftrightarrow (её координаты).

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.


2. Если вектор \vec{v} с координатами v_1,v_2,v_3 отложить от точки A(a_1,a_2,a_3), то конец вектора \overrightarrow{AB}=\vec{v} будет иметь координаты B(a_1+v_1,a_2+v_2,a_3+v_3).


3. Координаты точки M, которая делит отрезок AB в отношении \frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}, находятся по координатам его концов A(a_1,a_2,a_3) и B(b_1,b_2,b_3):


M\!\left(\frac{\alpha\cdot a_1+\beta\cdot b_1}{\alpha+\beta},\frac{\alpha\cdot a_2+\beta\cdot b_2}{\alpha+\beta},\frac{\alpha\cdot a_3+\beta\cdot b_3}{\alpha+\beta}\right).

В частности, координаты середины M отрезка AB равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка (\alpha+\beta):


M\!\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2},\frac{a_3+b_3}{2}\right).

Координаты точки M которая "делит" площадь треугольника ABC в отношении S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma \alpha>0,\,\beta>0,\,\gamma>0, находятся по координатам его вершин A(a_1,a_2,a_3),\,B(b_1,b_2,b_3),\,C(c_1,c_2,c_3):


M\!\left(\frac{\alpha\cdot a_1+\beta\cdot b_1+\gamma\cdot c_1}{\alpha+\beta+\gamma},\frac{\alpha\cdot a_2+\beta\cdot b_2+\gamma\cdot c_2}{\alpha+\beta+\gamma},\frac{\alpha\cdot a_3+\beta\cdot b_3+\gamma\cdot c_3}{\alpha+\beta+\gamma}\right).

В частности, координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника (\alpha=\beta=\gamma):


M\!\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{a_3+b_3+c_3}{3}\right).

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины M отрезка AB\colon M\!\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right), или координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC\colon M\!\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_3}{3}\right)




Пирамида в аффинной системе координат

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды ABCD (см. рис.2.3): A(1;1;3), B(3;5;4), C(-1;3;2), D(5;3;-1). Найти координаты (в той же системе координат):


а) точки M пересечения медиан треугольника ABC;


б) точки Z, которая делит отрезок DN в отношении DZ:ZM=3:1 (\beta=3;~\alpha=1).


Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем:


а) M\!\left(\frac{1+3+(-1)}{3},\frac{1+5+3}{3},\frac{3+4+2}{3}\right), то есть M(1,3,3);


б) Z\!\left(\frac{1\cdot5+3\cdot1}{1+3},\frac{1\cdot3+3\cdot3}{1+3},\frac{1\cdot(-1)+3\cdot3}{1+3}\right), то есть Z(2,3,2).

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved