Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Аффинные координаты

Аффинные координаты


Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве


Пусть в пространстве фиксирована точка [math]O[/math]. Совокупность точки [math]O[/math] и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат:


– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) - это точка [math]O[/math] и ненулевой вектор [math]\vec{e}[/math] на прямой (базис на прямой);


– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) - это точка [math]O[/math] и два неколпинеарных вектора [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math], взятые в определенном порядке (базис на плоскости);


– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) - это точка [math]O[/math] и три некомпланарных вектора [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], взятые в определенном порядке (базис в пространстве).


Аффинная система координат на прямой, на плоскости и в пространстве

Точка [math]O[/math] называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: [math]Ox_1[/math] — ось абсцисс, [math]Ox_2[/math] — ось ординат, [math]Ox_3[/math] — ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями.


Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.




Координаты векторов и точек в аффинной системе координат


Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).


Для любой точки [math]A[/math] в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор [math]\overrightarrow{OA}[/math] начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой [math]A[/math] (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки [math]A[/math].


Координатами точки [math]A[/math] в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] в базисе [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], т.е. коэффициенты [math]a_1,a_2,a_3[/math] в разложении [math]\overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2+a_3\cdot\vec{e}_3[/math] (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде [math]A(a_1,a_2,a_3)[/math]. Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде [math]A(a_1,a_2)[/math] и [math]A(a)[/math] согласно разложениям [math]\overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2[/math] (рис.2.1,6), [math]\overrightarrow{OA}=a\cdot\vec{e}[/math] (рис.2.1,а). Координаты точки [math]A[/math], или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):


[math]\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}[/math] в пространстве, [math]\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}[/math] на плоскости.

Разность векторов в аффинной системе координат

Найдем координаты вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] с началом в точке [math]A(a_1,a_2,a_3)[/math] и концом в точке [math]B(b_1,b_2,b_3)[/math]. Рассмотрим треугольник [math]OAB[/math] (рис.2.2). Радиус-векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] представляются в виде [math]\overrightarrow{OA}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{a}_2+a_3\cdot\vec{e}_3[/math], [math]\overrightarrow{OB}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{a}_2+b_3\cdot\vec{e}_3[/math]. По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем [math]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(b_1-a_1)\vec{e}_1+(b_2-a_2)\vec{e}_2+(b_3-a_3)\vec{e}_3[/math], т.е. вектор [math]\overrightarrow{AB}[/math] имеет координаты [math]b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3[/math]. Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.




Замечания 2.1.


1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:


(точка) [math]\leftrightarrow[/math] (её координаты).

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.


2. Если вектор [math]\vec{v}[/math] с координатами [math]v_1,v_2,v_3[/math] отложить от точки [math]A(a_1,a_2,a_3)[/math], то конец вектора [math]\overrightarrow{AB}=\vec{v}[/math] будет иметь координаты [math]B(a_1+v_1,a_2+v_2,a_3+v_3)[/math].


3. Координаты точки [math]M[/math], которая делит отрезок [math]AB[/math] в отношении [math]\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}[/math], находятся по координатам его концов [math]A(a_1,a_2,a_3)[/math] и [math]B(b_1,b_2,b_3)[/math]:


[math]M\!\left(\frac{\alpha\cdot a_1+\beta\cdot b_1}{\alpha+\beta},\frac{\alpha\cdot a_2+\beta\cdot b_2}{\alpha+\beta},\frac{\alpha\cdot a_3+\beta\cdot b_3}{\alpha+\beta}\right).[/math]

В частности, координаты середины [math]M[/math] отрезка [math]AB[/math] равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка [math](\alpha+\beta)[/math]:


[math]M\!\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2},\frac{a_3+b_3}{2}\right).[/math]

Координаты точки [math]M[/math] которая "делит" площадь треугольника [math]ABC[/math] в отношении [math]S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma[/math] [math]\alpha>0,\,\beta>0,\,\gamma>0[/math], находятся по координатам его вершин [math]A(a_1,a_2,a_3),\,B(b_1,b_2,b_3),\,C(c_1,c_2,c_3)[/math]:


[math]M\!\left(\frac{\alpha\cdot a_1+\beta\cdot b_1+\gamma\cdot c_1}{\alpha+\beta+\gamma},\frac{\alpha\cdot a_2+\beta\cdot b_2+\gamma\cdot c_2}{\alpha+\beta+\gamma},\frac{\alpha\cdot a_3+\beta\cdot b_3+\gamma\cdot c_3}{\alpha+\beta+\gamma}\right).[/math]

В частности, координаты точки [math]M[/math] пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math] равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника [math](\alpha=\beta=\gamma)[/math]:


[math]M\!\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{a_3+b_3+c_3}{3}\right).[/math]

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины [math]M[/math] отрезка [math]AB\colon M\!\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)[/math], или координаты точки [math]M[/math] пересечения медиан треугольника [math]ABC\colon M\!\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_3}{3}\right)[/math]




Пирамида в аффинной системе координат

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды [math]ABCD[/math] (см. рис.2.3): [math]A(1;1;3),[/math] [math]B(3;5;4),[/math] [math]C(-1;3;2),[/math] [math]D(5;3;-1).[/math] Найти координаты (в той же системе координат):


а) точки [math]M[/math] пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math];


б) точки [math]Z[/math], которая делит отрезок [math]DN[/math] в отношении [math]DZ:ZM=3:1[/math] [math](\beta=3;~\alpha=1)[/math].


Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем:


а) [math]M\!\left(\frac{1+3+(-1)}{3},\frac{1+5+3}{3},\frac{3+4+2}{3}\right)[/math], то есть [math]M(1,3,3)[/math];


б) [math]Z\!\left(\frac{1\cdot5+3\cdot1}{1+3},\frac{1\cdot3+3\cdot3}{1+3},\frac{1\cdot(-1)+3\cdot3}{1+3}\right)[/math], то есть [math]Z(2,3,2)[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved