Аффинные координаты
Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве
Пусть в пространстве фиксирована точка . Совокупность точки и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат:
– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) - это точка и ненулевой вектор на прямой (базис на прямой);
– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) - это точка и два неколпинеарных вектора , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);
– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) - это точка и три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).
Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями.
Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.
Координаты векторов и точек в аффинной системе координат
Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).
Для любой точки в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки .
Координатами точки в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.2.1,6), (рис.2.1,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):
 в пространстве,  на плоскости.
 Найдем координаты вектора с началом в точке и концом в точке . Рассмотрим треугольник (рис.2.2). Радиус-векторы и представляются в виде , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор имеет координаты . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.
Замечания 2.1.
1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:
(точка)  (её координаты).
В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.
2. Если вектор с координатами отложить от точки , то конец вектора будет иметь координаты .
3. Координаты точки , которая делит отрезок в отношении , находятся по координатам его концов и :
В частности, координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка :
Координаты точки которая "делит" площадь треугольника в отношении , находятся по координатам его вершин :
В частности, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника :
Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины отрезка , или координаты точки пересечения медиан треугольника 
 Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды (см. рис.2.3): Найти координаты (в той же системе координат):
а) точки пересечения медиан треугольника ;
б) точки , которая делит отрезок в отношении .
Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем:
а) , то есть ;
б) , то есть .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|